18.4 整数指数幂（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.4 整数指数幂（第1课时） 负整数指数幂及其运算 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 当时，利用约分计算；若仍用指数相减，结果应写成什么形式？ 答：约分得；指数相减得到。 。 为了使成立，需要规定。 新知讲授 符号推广要保持运算规律 旧知识的范围 正整数指数幂表示相同因式反复相乘，零指数幂规定非零数的零次幂为。当指数继续减小时，需要一种能保持原运算规律的新定义。 推广的目标 希望在时仍成立。由于约分结果是倒数，负整数指数幂也应与对应的正整数指数幂的倒数相联系。 新知讲授 负整数指数幂的规定 规定 一般地，当是正整数时，（）。 含义 这就是说，（）是的倒数。 新知讲授 负指数不表示负数 指数中的负号 是正数。指数中的负号表示取对应正整数幂的倒数，不是在幂的结果前添一个负号。 底数中的负号 ；。底数为负时，仍由幂指数的奇偶性决定符号。 例题讲解 示例 计算。 答：。 先取对应平方的倒数：。 也可先取倒数后平方：。 新知讲授 零底数为什么不允许 倒数要求 的右边有分母，因此。例如不能解释为，因为它对应，没有意义。 本节约定 今后，如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为。 新知探究 示例 分别计算、与，并比较与指数相加的结果。 答：依次为。 分别用倒数定义得到。 指数相加分别为。 新知讲授 整数指数幂的运算性质 同底数幂与幂的乘方 ；，其中为整数，相关底数非零。指数范围扩大后，相加与相乘的规则仍保持不变。 积的乘方 ，其中为整数。若为负整数，底数必须非零，才能分别取倒数。 新知探究 示例 用倒数定义验证与。 答：两式都等于。 。 。 新知探究 示例 用倒数定义验证。 答：两边均为。 左边。 右边。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 。 （2） 答：。 倒数平方为。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 乘方后得，再转为正指数。 （4） 答：。 括号内乘方得。 合并指数得。 新知讲授 除法也可以统一为乘法 同底数幂相除 ，又有，所以。除以某个幂，相当于乘以它的倒数。 商的乘方 ，因此。商的乘方可以转化为积的乘方，再分别处理两个因式。 课堂练习 练习 填空： （1） ，。 （2） ，。 （3） ，。 （1） 答：；。 非零数零次幂为，负二次幂是平方的倒数。 （2） 答：；。 负数的平方为正。 课堂练习 练习 填空： （1） ，。 （2） ，。 （3） ，。 （3） 答：；（）。 两式都要求底数非零。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （1） 答：。 先得。 （2） 答：。 先得。 指数相减得。 课堂练习 练习 填空： （1） 若有意义，则的取值范围为________。 （2） ；；。 （1） 答：。 负指数幂的底数不能为零。 （2） 答：；；。 依次用倒数定义、指数相加、倒数平方。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （1） 答：。 三项分别为。 。 （2） 答：。 先得。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 系数相乘，指数相加得。 （2） 答：。 系数相除，指数分别相减。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 系数立方为，字母分别乘方。 （4） 答：。 先得。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （1） 答：。 分子为，相除时指数相减。 （2） 答：。 第一括号化为，第二括号化为。 分别求负整数次幂再相除；原条件。 课堂练习 习题 7 已知，求、的值。 答：分别为、。 ，故前者为。 再平方：，后者为。 数学活动 活动 2 填写下表，分别求出当时的值。 答：依次为。 分别计算与后相加。 数学活动 活动 2 填写下表，分别求出当时的值。 答：依次为。 互为相反数或互为倒数的两个非零数，代入后得到相同结果。 数学活动 示例 由填写完成的表，你能提出关于的值的一些猜想吗？能证明你提出的猜想吗？ 答：；在或时等号成立。 。 等号要求，即。 例题讲解 示例 比较与。 答：分别为与。 第一个负号在乘方之外，第二个负号包含在底数中。 例题讲解 示例 在什么条件下有意义，值是多少？ 答：时有意义，值为。 本册规定非零数的零次幂为。 例题讲解 示例 计算，并从倒数的角度解释结果。 答：。 指数相加为，所以结果为。 两个因数互为倒数，其积为。 例题讲解 示例 计算。 答：。 指数为，不是。 课堂总结 整数指数幂 定义 ，。 零指数 非零数满足。 运算法则 同底数相乘指数相加，幂的乘方指数相乘。 除法 同底数相除指数相减，可转为乘倒数。 注意 负指数表示倒数；底数负号另按奇偶性判断。 针对训练 训练 等于：A.；B.；C.；D.。 答：C 。 指数负号表示取倒数，不表示结果为负。 针对训练 训练 有意义的条件是________。 答：。 负整数指数幂的底数不能为零。 检查整个底数，不是只检查x是否为零。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 错误 负二次幂是平方的倒数。 （2） 。 正确 先平方再取倒数。 （3） 对也成立。 错误 本册零次幂规定要求底数非零。 （4） （）。 正确 指数相加为2。 针对训练 训练 计算。 答：。 取倒数后立方：。 负底数的奇次幂仍为负。 针对训练 训练 计算。 答：。 指数相减：。 减去负指数时要加括号。 针对训练 训练 计算。 答：。 各因式分别乘方得。 系数2也要作负二次幂。 针对训练 训练 计算。 答：。 同底数分别合并指数，得。 不同底数的指数分别处理，不能交叉相加。 针对训练 训练 已知，求。 答：。 两边平方得。 减去中间项。 完全平方的中间项是2，不可遗漏。 针对训练 训练 一块正方形标牌按边长缩小为原来的制作样品。用整数指数幂表示样品面积与原面积之比，并求这个比。 答：。 面积比等于边长比的平方，即。 长度缩放倍数需要平方后才是面积倍数。 针对训练 训练 两个正方体盒子的边长比为。用负整数指数幂表示小盒子与大盒子的容积比，并计算该比值。 答：。 容积比等于边长比的立方，即。 体积随长度的三次方变化。 方法归纳 让指数规则保持一致 负指数先看倒数 ① 是的倒数，底数必须非零。 ② 底数含负号时，符号仍由幂的奇偶性决定。 运算后检查形式 ① 同底数乘除分别加减指数，幂的乘方把指数相乘。 ② 把最终负指数转为正指数分式，核对系数和底数条件。 $