16.3 乘法公式（第3课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第16章　整式的乘法 16.3 乘法公式（第3课时） 添括号与乘法公式的综合运用 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 三项因式中也能找到公式 情境 观察。每个因式都有三项，怎样把它们看成两个整体的和与差？ 发现 把看成一个整体，原式可写成。添括号把隐藏的平方差结构显示出来。 新知讲授 先辨认结构，再决定分组 思考与解释 平方差公式要求“一同一反”，完全平方公式要求“同一个整体的平方”。式子项数较多时，可以把几项合成一个整体。 结论与使用 分组必须保持式子的值不变。尤其括号前带负号时，括入的各项必须改变符号，不能凭外观随意加括号。 新知讲授 正号前添括号 思考与解释 由，反过来得到。同样，。 结论与使用 括号前为正号时，括号内的每一项保持原符号。添括号只是把几项组成一个整体，没有改变它们的和。 新知讲授 负号前添括号 思考与解释 由，反过来得到。同样，。 结论与使用 括号前为负号时，括入的每一项都变号。原来的在括号内变为，原来的变为。 新知讲授 添括号法则 法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 检验 添完括号后再去括号，检查能否还原原式。这个逆向检验能逐项发现漏变号或多变号。 例题讲解 示例 把写成______，并用去括号检验。 答：括号内应为。 负号前添括号，原来的分别变为。 检验，与原式一致。 每个被括入的项都要变号，不只改变第一项。 新知巩固 辨析 判断并改正错误。 （1） 。 错误 应为。 （2） 。 正确 正号前添括号，各项不变号。 （3） 。 正确 负号前添括号，两个负项都变号。 把右边去括号后，与左边逐项比较。 例题讲解 示例 对于，应选哪两个整体来套用平方差公式？ 答：选与。 第一个因式是。 第二个因式是，符合一同一反。 第二因式中的−2y+3是整体2y−3的相反数。 例题讲解 例5 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 。 展开为。 减去整个平方展开式，括号内的三项都要变号。 例题讲解 例5 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （2） 答：。 。 展开并整理，三个平方项与三组二倍乘积项都保留。 把a+b作为一个整体，先用一次完全平方公式。 例题讲解 示例 用作为分组，展开，并与先把分组的结果比较。 答：结果相同：。 。 展开后仍有三个平方项及三组不同项的二倍乘积。 分组方式可以不同，但每一步必须保持原式相等。 新知讲授 三项平方中的六个部分 思考与解释 包含三个平方项，以及三组二倍乘积。每一对不同的项都要配到。 结论与使用 若有负项，例如，仍可按三项分别平方、两两乘积的方式检查，但含的两组交叉项取负号。 例题讲解 示例 计算。 答：。 看成。 展开后合并，保留两个含的负交叉项。 负项自身平方为正，与其他项相乘的交叉项为负。 新知巩固 辨析 说明下面各式适合怎样开始计算。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：把看成整体，用平方差公式。 相同部分为，相反部分为。 （2） 答：把看成整体，用完全平方公式。 两个因式完全相同，是一个整体的平方。 （3） 答：用多项式乘法。 两因式既不相同，也不符合一同一反。 公式只适用于符合结构的式子，不能只凭项数选择。 例题讲解 示例 计算。 答：。 改写为。 再展开，得。 相同部分可能由不相邻的项组成，先调整项的次序。 例题讲解 示例 化简。 答：。 先去外层括号，得。 再用完全平方公式展开。 先处理外层的减号，能减少不必要的展开。 方法归纳 先整理，再用公式 添括号 ① 正号前不变号，负号前各项都变号。 ② 添后去括号验证，确保原式没有改变。 确定整体 ① 相同部分和相反部分组成平方差。 ② 相同因式的乘积组成完全平方，再逐层展开。 课堂练习 练习1 在等号右边的括号内填上适当的项。 （1） ______。 （2） ______。 （3） ______。 （4） ______。 （1） 答：。 正号前添括号，符号不变。 （2） 答：。 负号前添括号，两项都变号。 同一个b−c在正号和负号之后，去括号的结果不同。 课堂练习 练习1 在等号右边的括号内填上适当的项。 （1） ______。 （2） ______。 （3） ______。 （4） ______。 （3） 答：。 原来的正b变负b，负c变正c。 （4） 答：。 两项原来都为正，括入后都为负。 负号前添括号，每个正项都改为负项。 课堂练习 练习2 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 把作为共同整体。 先得，再展开。 （2） 答：。 把作为相反部分。 先得，再展开。 第一题共同部分为x−1，第二题共同部分为2x。 课堂练习 练习3 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 先写为。 再展开并整理。 取a+2b作整体，最后减2时要乘到两个项。 课堂练习 练习3 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （2） 答：。 先写为。 再展开并整理。 2x与−y的交叉项为负，2x与1的交叉项为正。 课堂练习 巩固 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 第一平方为。 第二平方为。 （2） 答：。 先用平方差得，再展开。 第一个差保留括号，第二个积先认出共同整体。 课堂练习 巩固 运用乘法公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 把作整体，算。 （4） 答：。 先得，再用完全平方公式。 先处理内层乘积或分组，再处理外层平方。 课堂练习 练习 先化简，再求值：，其中，。 答：。 原式。 代入得。 先消去相同的平方项，再代入分数计算。 课堂练习 数学活动1 如图1是某月的月历。 （1） 选择图中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论？请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律。 （2） 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？ （3） 请利用整式的运算对以上的规律加以证明。 （4） 你还能发现其他规律吗？ （1） 答：左上×右下减右上×左下，结果为−7。 例如；。 课堂练习 数学活动1 如图1是某月的月历。 （1） 选择图中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论？请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律。 （2） 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？ （3） 请利用整式的运算对以上的规律加以证明。 （4） 你还能发现其他规律吗？ （2） 答：有同样规律。 相邻日期相差1，同列相邻两行相差7，这些关系不随月份改变。 课堂练习 数学活动1 如图1是某月的月历。 （1） 选择图中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论？请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律。 （2） 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？ （3） 请利用整式的运算对以上的规律加以证明。 （4） 你还能发现其他规律吗？ （3） 答：。 左上为时，其余为，展开后含x的项抵消。 课堂练习 数学活动1 如图1是某月的月历。 （1） 选择图中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论？请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律。 （2） 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？ （3） 请利用整式的运算对以上的规律加以证明。 （4） 你还能发现其他规律吗？ （4） 答：两条对角线上的两个数之和相等。 。 列式后比较两边是否相等。 课堂练习 练习 计算下列式子：，，，……你能发现什么规律？验证你发现的规律。利用你发现的规律，计算。 答：前三个结果为、、。 将与分别乘第二因式，各个中间次幂两两抵消。 仅保留最高次幂与常数项负1。 按降幂排列，能直接看出哪两项互相抵消。 课堂练习 练习 计算下列式子：，，，……你能发现什么规律？验证你发现的规律。利用你发现的规律，计算。 答：；所求和为1023。 逐项相乘后中间项相消，证明等式。 令，左侧系数，故和为。 这里直接使用乘法恒等式，无须对x−1作除法。 课堂总结 添括号与公式综合 添括号 正号不变号，负号各项变号。 选择整体 找相同部分或互为相反数的部分。 公式选择 一同一反用平方差，相同因式用完全平方。 分层计算 先内层后外层，每次保留必要括号。 最后检查 去括号的符号、交叉项、同类项。 针对训练 训练 等于哪一项？A．；B．；C．；D．。 答：B。 负号前添括号，变为。 把每个选项去括号，可逐项检查符号。 针对训练 训练 ______。 答：。 因为，与第二因式一致。 先把第二因式减号后的整体还原出来。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 。 正确 负号去括号后得到负y加1。 （2） 。 错误 漏掉三组交叉项。 （3） 。 正确 共同整体为x+y，常数项互为相反数。 先检查恒等变形，再检查公式结构。 针对训练 训练 计算。 答：。 写为。 展开后减去三项，得。 减去一个完全平方展开式，其三项均要变号。 针对训练 训练 计算。 答：。 共同部分为，先得。 再展开。 先调整加法项的次序，完整项必须连同符号移动。 针对训练 训练 计算。 答：。 写为。 展开并合并，检查三平方项和三交叉项。 三项平方通常有六部分，按配对关系检查不漏项。 针对训练 训练 计算。 答：。 内层乘积为。 外层平方为。 把x²看作第二次公式中的整体，平方后为x⁴。 针对训练 训练 化简，说明结果与是否有关。 答：结果为，与无关。 前一积为，后一积为。 二次项与一次项都抵消，只剩。 相同的次数项抵消后，可以解释结果为何固定。 针对训练 训练 长方形标牌的长为，宽为，其中。求面积，并展开成多项式。 答：。 把作为整体，面积为。 再用完全平方公式展开。 先用相同整体套平方差，再展开整体的平方。 针对训练 训练 一块方形地毯边长为，四周各加宽的边框。求边框面积，并写成关于的多项式。 答：。 外侧边长为，边框面积。 取作整体，得到。 四周加框使边长总共增加2米，不能只增加1米。 方法归纳 本课解题方法 保持等值的变形 ① 添括号前看正负号，负号之后每项都变号。 ② 把新式子去括号检验，确保没有改变原式。 逐层使用公式 ① 先圈定相同或相反的整体，选择平方差或完全平方。 ② 每展开一层就整理符号，最后合并同类项并检验。 $