16.2 整式的乘法（第4课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第16章　整式的乘法 16.2 整式的乘法（第4课时） 整式的除法 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 从乘法回到除法 情境 一块长方形板的面积为，其中一边长为。另一边长是多少？把面积除以已知边长，就是寻找一个相乘后还原面积的式子。 尝试 因为，所以另一边长为。这里表示正的长度参数。 新知讲授 用乘法理解商 思考与解释 计算，就是寻找一个式子，使。除式必须非零；求得商后，可以用“商乘除式”验算。 结论与使用 例如，因为。这里，保证除式不等于零。 新知讲授 从指数相加推出指数相减 思考与解释 设，且为正整数、。由，商应为。 结论与使用 除法使指数相减，是乘法中指数相加的逆过程。底数仍然保留，不能把底数也做减法。 新知讲授 同底数幂相除 法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式与条件 ，其中，都是正整数，。先确认底数相同，再相减指数。 例题讲解 示例 计算；说明为什么不能把直接写成。 答：第一式为；第二式底数不同，不能套用同底数幂相除法则。 ，其中。 指数相减只适用于同底数；是不同字母时没有已知的相等关系。 先比底数，再处理指数。 新知讲授 零次幂的规定 规定 。任何不等于0的数的0次幂都等于1。 由来 。若沿用指数相减的形式，得到，因此作出这一规定。注意底数非零。 新知巩固 辨析 判断下列说法，并说明理由。 （1） 。 错误 非零数的零次幂等于1。 （2） 。 正确 底数为非零数负3。 （3） 对任意成立。 错误 应加条件。 零次幂等于1的前提是底数不为零。 例题讲解 例4 计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 第二式把ab看作共同底数；本课除式均需非零。 例题讲解 示例 计算，并比较与的结果。 答：两式都等于。 第一式为。 第二式为；虽结果相同，运算对象不同。 括号内的负号属于底数，括号外负号先保留。 新知讲授 单项式的商由哪些部分组成 思考与解释 计算，可分别观察系数、共同字母和只在被除式中出现的字母。 结论与使用 系数为；字母给出；；保留，商为。 新知讲授 单项式相除 法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 实施 可按“系数、共同字母、其余字母”三部分处理。相同字母的指数相减；相同幂相除得1，不能写成0。 例题讲解 示例 计算。 答：。 系数；。 ，而只在被除式中出现，必须保留。 相除消去的是b的幂，不能连同仅有的c一起消去。 例题讲解 例5 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 共同字母指数相减；只在被除式中的字母保留。 新知讲授 多项式除以单项式的由来 思考与解释 因为，所以。同时，。 结论与使用 由此得到。把整个多项式的每一项分别除以同一个除式，再相加。 新知讲授 多项式除以单项式 法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 关键 “每一项”包括最后一项，也包括负项。不能只除第一项；每项的原符号都要带入计算。 例题讲解 例5 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （3） 答：。 。 末项3a除以3a等于1，不能漏写常数项。 例题讲解 示例 小明把算成。用乘法验算并改正。 答：正确结果为。 ，比被除式少了。 最后一项，应补上常数项1。 商乘除式必须逐项还原被除式。 例题讲解 示例 计算。 答：。 先算乘方：；再相乘得。 最后。 先乘方，再按次序完成乘除，最后整理。 例题讲解 辨析 判断下列等式是否正确，并改正错误。 （1） 。 错误 应为。 （2） 。 错误 应为。 （3） 。 正确 共同因式相除得1，保留。 指数相减，不是相除；多项式末项也要除。 课堂练习 练习1 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：1。 ，其中。 指数相等时，商为1。 课堂练习 练习1 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 。 （4） 答：。 。 先作整体相除，再展开所得的幂。 课堂练习 练习2 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 ，，。 （2） 答：。 。 系数先确定符号，再约成最简分数。 课堂练习 练习2 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 。 （4） 答：。 。 相同幂相除得1；十的幂与普通字母幂遵循同一法则。 课堂练习 练习3 计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 两项分别相除，商为与。 逐项相除后，检查项数与符号是否合理。 课堂练习 巩固 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：1。 。 （2） 答：。 。 先分别完成乘方，再做同底数幂相除。 课堂练习 巩固 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 。 （4） 答：。 。 连续除以两个式子，应从左到右计算。 课堂练习 巩固 计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 各项分别除以，三个商的符号为正、负、正。 （2） 答：。 指数相减分别为6、2、0，系数分别为27、负5、1。 相减的是完整指数，n+5减去n−1等于6。 课堂练习 巩固 计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 分子为；除式为。 （2） 答：。 直接展开并合并，分子为，除式为。 先展开多项式乘积，再合并同类项。 课堂练习 练习 已知（为正整数），求。 答：27。 ，。 原式。 把27和9都改写成3的幂，才能使用指数差。 课堂练习 练习 如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒。如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，求原长方形纸板的长和宽。 答：长为，宽为。 底面另一边为。 纸板两边分别为与。 底面尺寸各加两侧折起部分的宽度。 课堂总结 整式的除法 幂相除 同底数，底数不变，指数相减。 零次幂 ，前提。 单项式相除 系数与共同字母分别相除，其余字母保留。 多项式相除 每项分别除以单项式，再相加。 验算 商乘除式，应还原被除式。 针对训练 训练 （）等于哪一项？A．；B．；C．；D．。 答：A。 同底数幂相除，指数差为。 把除法与乘法、幂的乘方三种指数运算区分开。 针对训练 训练 成立的条件是______。 答：。 要求，所以。 先使整个底数不为零，再解对应条件。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 。 正确 商为。 （2） 。 错误 末项不能漏。 （3） 。 正确 系数得负2，字母商为。 检查负号、零次幂与每一项是否都处理。 针对训练 训练 计算。 答：。 系数；的指数差为3。 ，保留。 公有的b消去，独有的c必须保留。 针对训练 训练 计算。 答：。 三项的商依次为、、1。 末项与除式完全相同，因此常数项为1。 按原项的顺序写出三个商，减少漏项。 针对训练 训练 计算。 答：。 分子为。 再除以，得。 负数的奇次幂仍为负；系数也要乘方。 针对训练 训练 若，求整数。 答：。 同字母的指数对应相等：，。 解得。 先写指数差，再与商中相同字母的指数对应。 针对训练 训练 先化简，再求值：，其中。 答：15。 原式。 代入得。 先完成整式除法，再将负数连同括号代入。 针对训练 训练 一块长方形板的面积为，长为，其中。求宽，并求时宽的数值。 答：宽为；时为。 宽。 代入，得。 面积除以长得到宽，所得单位为长度单位。 针对训练 训练 一根总长为的材料，每段长。不计切割损耗，可裁多少段？ 答：段，即4000段。 段数。 系数相除得4，十的指数相减得3。 两种长度单位相同后，用总长除以每段长度。 方法归纳 本课解题方法 分类计算 ① 同底数幂先检查底数非零，再作指数相减。 ② 单项式按系数、共同字母、其余字母分别处理。 逐项与验算 ① 多项式的每一项都要除，包括常数商所在项。 ② 商乘除式检查结果，混合运算先乘方再乘除。 $