16.3 乘法公式（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第16章　整式的乘法 16.3 乘法公式（第1课时） 平方差公式 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 两个接近整百的数相乘 情境 怎样较快地计算？两个数都靠近100，而且一个比100大3，另一个比100小3。 问题 把它们写成。展开后出现的与恰好抵消，得到。 探究新知 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 关注两个交叉乘积相加后的结果。 探究新知 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 （3） 答：。 。 第三式共同项是2x，平方后应为4x²。 新知讲授 用字母证明规律 思考与解释 。两个交叉乘积与互为相反数，和为0。 结论与使用 所以积只剩。这个结果来自多项式乘法，不需要分别记忆某几个数字例子。 新知讲授 平方差公式 公式 。 文字表述 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 新知讲授 结构：一组相同，一组相反 思考与解释 两个因式中，一组项完全相同，对应公式中的；另一组项互为相反数，对应与。 结论与使用 结果是“相同项的平方减去相反项的平方”。例如中，相同项为，因此得。 新知讲授 面积解释：从正方形中去掉小块 思考与解释 图中可看成从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，所余面积为。 结论与使用 把余下的一条宽的长条平移拼接，可以组成长为、宽为的长方形。这里。 例题讲解 示例 图中剩余图形重新拼接后，为什么能够得到？ 答：平移拼接不改变面积，两种面积表达式相等。 原来用“大正方形面积减去小正方形面积”表示，为。 重新拼接后用“长乘宽”表示，为。 几何说明取正长度；代数推导说明公式适用于一般数。 例题讲解 示例 计算。 答：。 将第一因式整理为。 共同项为，相反项为，得到。 按项的实际符号识别，不机械地认第一个位置。 例题讲解 示例 计算。 答：。 共同项是，相反项是。 结果。 负数整体的平方为正，括号不能省。 新知巩固 辨析 判断是否可直接用平方差公式，并说明原因。 （1） 。 可以。 有相同项和相反项。 （2） 。 不可以。 没有一组互为相反数的项。 （3） 。 可以。 相同项为3，相反项为。 只要符合一同一反，项的位置可以调整。 例题讲解 例1 运用平方差公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 字母前的系数与负号都属于公式中的整体。 例题讲解 示例 计算。 答：。 共同项为，相反项为。 分别平方后相减，系数为与9。 平方要作用到整个单项式，分数的分子分母都平方。 例题讲解 例2 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：。 先得，再次用公式得。 （2） 答：。 。 连续计算先配成和与差；减去多项式时各项变号。 例题讲解 例2 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （3） 答：9996。 。 把102和98写成同一中心数100加减2。 例题讲解 示例 把改写成适合平方差公式的形式并计算。 答：2451。 两数的平均数为50，分别是与。 原式。 平均数作相同部分，一半的差作加减部分。 例题讲解 示例 计算。 答：。 第一积为，第二积为。 相减得。 第二个积先整体加括号，再处理前面的减号。 方法归纳 平方差公式的使用步骤 先识别结构 ① 找出两个因式中相同的完整项。 ② 检查余下两项是否互为相反数。 再完成计算 ① 相同项平方减去相反项平方。 ② 公式之后继续去括号、合并同类项。 课堂练习 练习1 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1） 。 错误 应为。 （2） 。 错误 共同项为，应为。 （3） 。 错误 直接展开应为。 （4） 。 错误 应为。 课堂练习 练习2 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 相同项为，故为。 常数写在前面时，相同项仍可能是后面的字母项。 课堂练习 练习2 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 先得，再得。 （4） 答：。 两积分别为与。 相减后得。 利用乘法交换律配对，再按实际结构选择计算方法。 课堂练习 练习3 运用平方差公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：2499。 。 （2） 答：。 。 带分数先表示成同一整数加减同一分数。 课堂练习 巩固 运用平方差公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 平方一个幂时指数相乘，平方分数时分子分母分别平方。 课堂练习 巩固 运用平方差公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 调整第二因式次序，得。 （4） 答：。 相同项为，相反项为。 相同项不一定排在第一位，也不一定为正。 课堂练习 巩固 运用平方差公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：9999.75。 。 （2） 答：999996。 。 先找整百或整千的中心数，避免逐位相乘。 课堂练习 数学活动 计算下列两个数的积（每组中两个数的和为定值），你能发现结果有什么规律吗？ （1） ，，，。 （2） ，，，。 （1） 答：900，875，731，416。 和为60，两数差越大，积越小。 （2） 答：2500，2491，1924，819。 和为100，两数相等时积最大。 比较同一组的差与积，不跨越不同定和比较。 课堂练习 练习 你能用本章所学知识解释“两个正数和为定值时，两数相等时积最大”的规律吗？ 答：设两数为和，积为。 两数和为，所以固定。 ；当时积最大，即两个数相等。 用平均数和偏差表示两数，让平方差公式直接出现。 课堂练习 练习 用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？ 答：最大面积为，两邻边都为。 两邻边之和为5，设为与，面积。 周长为时，最大面积为，对应正方形。 绳长是周长，先除以2得到邻边之和。 课堂练习 练习 计算。结果是否随改变？ 答：结果恒为，不随改变。 两个积分别为和。 相减时抵消，余下。 先分别套公式，再观察同次项是否抵消。 课堂总结 平方差公式 公式 。 识别 一组完全相同，另一组互为相反数。 整体 单项式的系数、字母和负号一起平方。 混合运算 公式后还要去括号、合并同类项。 简算与应用 用平均数加减偏差表示两个数。 针对训练 训练 下列哪项可直接用平方差公式？A．；B．；C．；D．。 答：C。 C中的相同项是2，相反项是，结果为。 逐项检查一同一反，不能只看是否有加减号。 针对训练 训练 ______。 答：。 分别计算与后相减。 两个系数都要平方。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 。 正确 和与差交换位置不影响积。 （2） 错误 ，应为。 （3） 。 错误 两组项都相反，直接展开为。 相同项须连同符号相同，不能只看字母。 针对训练 训练 计算。 答：。 把与代入公式，得到。 共同项带负号时，先保留整体括号再平方。 针对训练 训练 计算。 答：。 先算前两因式得。 再与相乘，得。 每次用完公式，重新观察是否又出现和与差。 针对训练 训练 计算。 答：。 两积分别为与。 相减并合并，得。 不符合公式的积用逐项相乘，不能强行套公式。 针对训练 训练 先化简，再求值：，其中。 答：1。 原式。 代入得。 先消去二次项再代数值，减少大数乘法。 针对训练 训练 若，求。 答：或。 展开左式为，所以。 正7和负7的平方都为49。 由平方求数时，注意正负两种可能。 针对训练 训练 一个正方形花坛边长为。改成一边增加、相邻边减少的长方形后，面积变化了多少？ 答：减少。 新面积。 原面积为400，所以减少9。 一增一减保持周长不变，但面积减少偏差的平方。 针对训练 训练 长方形场地的长为，宽为。求面积，并与边长的正方形场地比较。 答：面积为，比正方形少。 。 相同周长下，这个长方形比正方形少4平方米。 以50为共同中心，面积差直接对应2的平方。 方法归纳 本课解题方法 识别与代入 ① 先确定一组相同项，再确定一组相反项。 ② 以完整单项式为整体代入，系数和符号一起平方。 连续计算与应用 ① 多因式中先配成和与差，随后重新观察结构。 ② 两个数靠近同一中心时，用中心加减偏差简算。 $