17.1 用提公因式法分解因式（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第17章　因式分解 17.1 用提公因式法分解因式（第2课时） 确定公因式与整体提取 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 两块长方形的面积分别为与。如果把它们共同的宽选为，两块长方形的长分别如何表示？ 答：与。 每一块的面积除以共同的宽。 总面积可写为。 情境引入 示例 是否相等？括号内还有共同因式吗？ 答：相等，但括号内还有公因式。 两项与都含。 继续提出，得。 新知讲授 公因式包含哪些部分 系数部分 对系数为整数的多项式，先求各项系数绝对值的最大公因数。例如与的最大公因数是，一次提出可避免再次提取数因数。 字母部分 再找各项共同含有的字母，只含在一部分项中的字母不能进入公因式。对与，共同字母是，不含。 新知讲授 共同字母取最低次数 为什么取低 与共同含有的最高次幂是；与共同含有的最高次幂是。较高的次数不能保证每项都可整除。 一次提尽 把系数与字母部分相乘，得到。这里“取最低次数”只对各项共同含有的字母适用，不能把某一项独有的字母也取进来。 例题讲解 示例 确定与应提出的公因式。 答：。 的最大公因数为。 共同字母的最低次数分别为。 例题讲解 示例 确定应提出的公因式。 答：。 的最大公因数为。 三项都含，最低次数都为。 例题讲解 示例 多项式能否提出？应提出什么？ 答：不能提出；应提出。 第三项没有因式。 三项除以所得商为。 例题讲解 例 2 把分解因式。 答： 公因式为。 ，。 提出后括号内的两项不再有公因式。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 公因式为。 逐项相除得到。 新知讲授 公因式也可以是多项式 整体观察 在中，相同的因式不是单个字母，而是整个。把它暂时看成一个整体，就能看到与相同的结构。 保留括号 提出后，另一个因式为，所以得到。原来的整体不能被拆开，也不需要先把每个括号展开。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 两项都含整体。 提出后，括号内保留。 新知讲授 相反式的奇偶次幂 相反关系 ，所以一次幂改变符号；平方后，符号相同。统一括号方向时必须同时判断符号。 立方关系 。偶次幂相等，奇次幂互为相反数。例如，两个负号相乘成为正号。 例题讲解 示例 将写成含同一整体的式子，再分解。 答： 。 原式。 例题讲解 例 3 分解因式： （1） （2） （1） 答： 把看作一个整体提出。 （2） 答： 。 共同因式为。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 。 提出，括号内得到。 例题讲解 示例 分解因式：，要求括号内首项为正。 答： 提出，各项所得商的符号依次为正、负、正。 展开核对。 例题讲解 示例 说明和是否相等。 答：相等。 。 。 例题讲解 示例 求的值，其中。 答： 原式。 代入得。 方法归纳 从单项式推广到整体因式 提取单项式公因式 ① 系数取最大公因数，共同字母取最低次数。 ② 把每一项除以公因式，商的符号与商逐项核对。 提取整体公因式 ① 先将相反式统一成同一方向，区分奇次幂与偶次幂。 ② 把相同的多项式视为一个整体，再按提公因式法操作。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 公因式为。 （2） 答： 三项同时提出。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 整体公因式为。 （4） 答： 。 统一方向后提取。 课堂练习 练习 2 先分解因式，再求值：，其中。 答：；值为。 先提出整体。 代入得。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 提出。 （2） 答： 共同字母指数取最低次数。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 系数最大公因数为。 （4） 答： 第三项没有，只提。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 公因式为。 （2） 答： 整体提出。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 括号内。 （4） 答： 。 先得，再提取。 课堂练习 练习 先分解因式，再求值： （1） ，其中。 （2） ，其中。 （1） 答：；值为。 ，提取。 代入。 （2） 答：；值为。 提出，余因式为。 代入。 课堂练习 习题 6 已知，求的值。 答： 原式。 代入两个已知整体，得。 课堂练习 示例 分解，小明得到，小华得到。两人的答案是否一致？ 答：一致，都是原式的因式分解结果。 统一方向后原式。 由可得。 课堂总结 提公因式的深入应用 公因式 系数取最大公因数，共同字母取最低次数。 整体 相同的多项式可以视为整体因式。 符号 相反式奇次幂相反，偶次幂相等。 完整 括号内不能再有遗漏的公因式。 求值 先分解，能整体代入时不必分别求字母。 针对训练 训练 与的公因式应取哪一个？A.；B.；C.；D.。 答：A。 系数最大公因数为；共同字母最低次数为。 D也是公因式，但没有一次提尽。 针对训练 训练 填空：；。 答：；。 先写，再判断与。 判断的是幂的奇偶性，不是括号内字母顺序的美观。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 正确 公因式和各项的商均正确。 （2） 。 正确 加法交换律表明。 （3） 。 错误 统一相反式后应得。 （4） 已经提尽。 错误 括号内仍有公因式。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 取公因式。 分别求商。 共同字母的指数不能超过任意一项的指数。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 平方后。 提出共同因式。 偶次幂统一方向时不改变符号。 针对训练 训练 把分解，有人得。改正。 答： 。 提出后，第二个商为。 外面的负号与相反式产生的负号相乘。 针对训练 训练 已知，求。 答： 原式。 整体代入得。 无需求出x、y各自的值。 针对训练 训练 已知一个三角形的三边长分别为，且，证明这个三角形是等腰三角形。 答：或，所以是等腰三角形。 整理得。 若，等腰；若，则，也等腰。 必须同时考虑两个因式为零的可能。 针对训练 训练 两块长方形板的面积分别为和，共同高度为（）。把它们横向拼成一块长方形，求新长方形的底边长。 答：。 总面积。 总面积除以共同高度即为底边长。 面积中的公因式对应共同的高。 针对训练 训练 一种文具原单价为元，现单价为元（）。甲买件，乙买件。用因式分解表示两人合计节省的钱数；若，节省多少元？ 答：元；共节省元。 总节省额为。 提取整体，得。 单件节省额是共同的整体因式。 方法归纳 提公因式的检查路径 看每一项的共同部分 ① 从系数、共同字母、最低次数三个方面确定公因式。 ② 整体因式先统一方向，提出负号时逐项改变符号。 看括号内是否提尽 ① 展开复核每一项；检查括号内是否仍有公因式。 ② 求值题优先提取已知整体，情境题说明因式所表示的量。 $