17.2 用公式法分解因式（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第17章　因式分解 17.2 用公式法分解因式（第1课时） 平方差公式 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 计算，怎样利用它们与的关系简算？ 答： 。 。 情境引入 乘法公式可以反过来读 熟悉的方向 平方差乘法公式为，它把两数和与两数差的乘积化成两数的平方差。 新的方向 把等号两边互换，得到。这正是将一个两项式化成两个整式的乘积，因而提供了新的因式分解方法。 新知讲授 平方差公式 公式 。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 结构 使用公式前先找出两个平方，再确认它们之间是相减。公式里的既可以是单项式，也可以是一个多项式整体。 新知讲授 找出平方对应的底数 从系数看 ，其中参与两数和、两数差的数是；，对应的另一个数是。 从次数看 ，因此中的两个数是与。公式中的字母不必与原题中的字母一一同名。 例题讲解 示例 分别把写成一个整式的平方。 答：，，。 系数先写成平方，字母指数再除以。 例题讲解 示例 能否把写成？ 答：不能。 展开。 原式两项之间是加号，不满足平方差的结构。 例题讲解 例 1 分解因式： （1） （2） （1） 答： 原式。 （2） 答： 原式。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 原式。 按使用公式。 新知讲授 多项式可以看成一个数 整体代换 中的两个平方分别是整体与的平方。先保留括号，按“两数和×两数差”写出两个因式。 再化简因式 和为；差为。去括号时，第二组括号前的减号要作用到每一项。 例题讲解 例 2 分解因式： （1） （2） （1） 答： 把看成。 （2） 答： 先写成。 分别化简两个因式。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 两数和为。 两数差为。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 原式。 两个因式是对应底数的和与差。 方法归纳 识别平方差的两个步骤 定位两个平方 ① 检查项数与符号，必要时先交换两项位置。 ② 系数与字母次数都要写成平方，明确两个底数。 组成和与差 ① 底数是多项式时先完整加括号。 ② 分别化简和、差，再展开检验符号。 课堂练习 练习 1 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：不能。 是两个平方的和。 （2） 答：能。 可写为。 （3） 答：能。 调换位置为。 （4） 答：不能直接用。 两项均为负号，不是两平方之差。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 。 （2） 答： 。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 第二个平方的底数是。 （4） 答： 两个底数是。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （1） 答： 先写。 （2） 答： 两个整体的和为，差为。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 找出底数。 （2） 答： 找出底数。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 。 （4） 答： 两个底数分别为。 课堂练习 习题 4（2） 利用因式分解计算： 答： 前一组为。 后一组为，相加得。 例题讲解 示例 小林把写成。改正。 答： 对应的底数是。 例题讲解 示例 把写成对吗？ 答：不对，应为。 ，并不等于原式。 例题讲解 示例 填空：。 答：。 识别两数和与差，乘积等于两数的平方差。 例题讲解 示例 计算。 答： 。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： ，两个底数为。 例题讲解 示例 验证。 答：恒等式成立。 右边展开为。 例题讲解 示例 与是否相等？ 答：相等，均为。 ，。 例题讲解 示例 已知，求。 答： 。 将两个已知整体直接代入，得。 例题讲解 示例 计算。 答： 两数和为，两数差为。 课堂总结 平方差公式分解因式 公式 。 条件 两个平方相减，先识别底数。 整体 多项式作为底数时保留完整括号。 化简 分别求两底数的和与差。 检验 展开所得乘积，核对原式与符号。 针对训练 训练 下列式子中可直接用平方差公式分解的是：A.；B.；C.；D.。 答：B 。 必须同时满足两个平方和相减两个条件。 针对训练 训练 。 答：依次为。 两个平方底数是与。 幂的指数减半得到平方底数。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 正确 符合平方差公式。 （2） 。 错误 右边为，次序相反。 （3） 。 正确 把看作整体。 （4） 。 错误 右边为。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 原式。 不要把分数的分母直接当作平方底数的分母。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 先改写为。 先把正项写在前面，保留平方差的方向。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 两数和为，差为。 。 展开两个因式内部的括号，避免直接展开原式的平方。 针对训练 训练 计算。 答： 。 相近的两个数做平方差时，和与差常常容易计算。 针对训练 训练 求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是的倍数。 答：平方差等于，故是的倍数。 两数和为，差为。 乘积为，且为整数。 先分解，再利用整数倍的定义。 针对训练 训练 一个正方形展板边长为米，中间镂空的正方形边长为米。求保留部分面积。 答：平方米。 面积差为。 分解得。 外正方形面积减内正方形面积，先分解可简算。 针对训练 训练 两块正方形场地的边长分别为米和米。大场地比小场地大多少平方米？ 答：平方米。 面积差为。 。 边长之差不是面积之差，需要乘边长之和。 方法归纳 平方差的识别与应用 从式子识别底数 ① 确认两个平方相减，系数和字母次数分别处理。 ② 整体参与公式时，先写和与差，再去括号。 用乘积解决问题 ① 相近数的平方差转化为和与差的乘积来简算。 ② 面积差和整除问题先建立平方差表达式，再解释乘积。 $