17.1 用提公因式法分解因式（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第17章　因式分解 17.1 用提公因式法分解因式（第1课时） 因式分解的概念与基础提公因式 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 同一个得分，两种算法 情境 跳水动作难度系数为，去掉规定的最高分、最低分后，保留的评分为。可以逐个计算难度加权分，再相加，得到。 思考 也可以先把三个评分相加，再乘难度系数，得到。两个式子表示同一个得分，什么运算规律保证它们相等？ 情境引入 示例 计算，比较两种算法。 答：700 逐项相乘：。 先求和：。 公共因数从两项中提出，计算更简便。 情境引入 从整数分解到式子分解 整数的经验 ，。把一个数写成几个因数的积，可以帮助我们求最大公因数、最小公倍数。 本课的问题 对整式也可以提出同样的问题：能否把一个多项式写成几个整式的积？先借助已经学过的整式乘法，反向寻找合适的因式。 新知探究 探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1） （2） （3） （1） 答： 因为。 （2） 答： 利用已学的平方差乘法公式反向观察。 新知探究 探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1） （2） （3） （3） 答： 因为。 新知讲授 什么是因式分解 定义 上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解（factorization），也叫作把这个多项式分解因式。 抓住形式 起点是一个多项式，终点是几个整式的乘积，变形前后必须相等。例如符合这三个要求。 新知讲授 因式分解与整式乘法 展开 从得到，运用乘法分配律，把乘积化成和；这是已经学过的整式乘法。 分解 从得到，把和化成乘积；这是因式分解。两种变形方向相反，可以互相检验。 新知讲授 “相等”还不够 相等但不是分解 虽然成立，右边仍然是和；才把整个多项式化成了乘积。 检查最后一步 不能只看某一部分有没有括号，要看整个右边的运算形式。若最后一步仍是加法或减法，通常还没有完成因式分解。 新知讲授 因式必须是整式 条件 因式分解中的每个因式都必须是整式。中，与都是整式，因此符合要求。 边界 把写成，不仅出现分母含字母的式子，还要求；这不是原多项式的因式分解。 新知讲授 寻找每一项都有的因式 观察 多项式的每一项分别是、、，它们都有相同的因式。 公因式 它的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫作这个多项式各项的公因式。 例题讲解 示例 分别指出下列多项式各项都有的一个因式，并写出各项除以它所得的商。 （1） （2） （1） 答：公因式；商分别为。 ，。 （2） 答：公因式；商分别为。 最后一项，不能遗漏商。 新知讲授 提公因式法 方法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 对应关系 在中，括号内的分别是原来三项除以所得的商。提出公因式后，项数不应凭空减少。 新知讲授 一个可核对的操作顺序 确定并改写 先找到各项共同含有的因式，再把每一项写成“公因式×剩余因式”。例如。 提出并检验 把公因式放到括号外，得到。最后利用分配律展开，确认得到，这样可以及时发现符号和漏项错误。 例题讲解 例 1 分解因式： （1） （2） （1） 答： 两项都有因式。 分别除以，剩余。 （2） 答： 各项的公因式为。 。 例题讲解 示例 小明写出。指出错误并改正。 答：正确结果为。 第二项除以所得的商是。 ，展开后少了。 例题讲解 示例 把分解因式，并用展开验证。 答： 。 提出得到，括号内保留原来的减号。 展开得，检验正确。 例题讲解 示例 判断与哪一个正确。 答：第一个正确；第二个错误。 。 ，第二项多了一个因式。 例题讲解 示例 指出和是否都能提出。 答：前式可写成；后式不能用提公因式法提出。 的两项都含有。 中第二项没有因式。 例题讲解 示例 计算。 答：2300 两项共同含因数。 原式。 例题讲解 示例 将分解因式，有人先写成，又展开成作为最终答案。怎样修改？ 答：最终答案应保留。 展开可用于检验，但分解因式的目标是乘积形式。 检验完成后应回到已得到的因式分解结果。 方法归纳 基础提公因式的两个关键 逐项找共同部分 ① 公因式必须出现在每一项中。 ② 把各项改写成“公因式×商”，避免只凭外形。 逐项确定括号内容 ① 保留每一项原来的符号。 ② 提出的一项若等于公因式，括号中要留下。 课堂练习 练习 1 下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1） 不是 由乘积化成多项式，是整式乘法。 （2） 是 把多项式化成了两个整式的乘积。 （3） 不是 右边整体仍是和，没有化成乘积。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 两项同时提出。 （2） 答： 各项除以所得的商为。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 两项都有因式。 （4） 答： 三项同时提出，中间项的商为。 课堂练习 练习 利用因式分解计算： （1） （2） （3） （1） 答： 。 （2） 答： 。 课堂练习 练习 利用因式分解计算： （1） （2） （3） （3） 答： 。 再提出，得。 课堂练习 习题 1 下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1） 是 等式成立，且右边为整式的乘积。 （2） 不是 右边整体仍然是和。 （3） 是 右边可看作两个整式的乘积。 （4） 是 各项提出共同因式，恒等变形正确。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 第一项除以得。 （2） 答： 按原来项的顺序保留负号。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 三项都有，最后一项留下。 （4） 答： 每一项除以公因式。 课堂练习 习题 3 利用因式分解计算： （1） （2） （1） 答： 。 （2） 答： 。 课堂练习 示例 有人用验证后，就认为只验一次一定能判断所有字母等式。这个理由充分吗？ 答：不充分；应利用分配律进行恒等检验。 一个等式在某组数值下成立，不代表对所有数值都成立。 展开，才验证了该变形的恒等性。 课堂总结 因式分解与提公因式 目标 把一个多项式化为几个整式的乘积。 条件 各项有共同因式，变形前后相等。 步骤 找公因式，逐项求商，写成乘积。 注意 不漏商，不丢负号，右边整体为乘积。 检验 用整式乘法展开，核对原多项式。 针对训练 训练 下列变形中属于因式分解的是哪一个？A.；B.；C.；D.。 答：B B的右边是两个整式的乘积，且展开等于左边。 先看整体是否化成乘积，再检查是否相等。 针对训练 训练 填空：；。 答：；。 ；。 当原项就是提出的公因式时，括号中留下1。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 的两项都有因式。 正确 两项都可以写成乘一个整式。 （2） 的公因式是。 错误 第二项没有因式。 （3） 是因式分解。 正确 等式成立，右边为整式的乘积。 （4） 已按要求写成乘积形式。 不符合最终形式。 应去掉多余的加零，写成。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 共同因式是。 分别除以，括号内得到。 第二项的减号要完整保留。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 三项都有因式。 三个商依次为。 写出三个商后再合成括号，防止漏掉最后一项。 针对训练 训练 小红把写成。说明错误并改正。 答：应为。 展开只有，缺少。 原来的除以公因式后应留下。 通过展开比较项数，可直接定位漏项。 针对训练 训练 计算。 答： 提出共同因数。 。 发现括号内能凑整时，提公因数更方便。 针对训练 训练 先分解因式，再求值：，其中。 答：。 先提出。 代入得。 先观察字母的和是否简单，再决定代入顺序。 针对训练 训练 两块长方形花圃的宽都是米，长分别为米和米。用乘积形式表示它们的总面积；当时，总面积是多少？ 答：总面积为平方米；当时为平方米。 两块面积之和为。 提出共同的宽，得到。 共同的宽对应代数式的公因式。 针对训练 训练 学校按每本元购买甲类读本本、乙类读本本。用乘积形式表示总费用；若每本元，总费用是多少？ 答：总费用为元；代入得元。 分别购书的费用为与。 提取共同单价后，先合并数量。 单价相同时，可以先求总数量再乘单价。 方法归纳 用结构理解因式分解 判断一种变形 ① 检查左边是否为多项式，右边整体是否为整式乘积。 ② 用乘法展开验证恒等性，不能只验证一组特殊值。 完成一次提公因式 ① 公因式要在每一项中出现，括号中依次写各项所得商。 ② 特别检查负号与商，最后保留乘积形式。 $