13.3 三角形的内角与外角（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.3 三角形的内角与外角（第2课时） 直角三角形的两个锐角 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 直角占去了多少角度 观察 一个三角形已经有一个90度的角，三个内角总和为180度。剩下两个角的和是多少？ 问题 当一个锐角变大时，另一个锐角怎样变化？能否不分别求出它们，就判断两个锐角的关系？ A B C 例题讲解 示例 在中，。求。 A B C 答：。 。 代入C为90度，得A、B之和为90度。 已知直角先代入内角和，再化简。 新知讲授 直角三角形的两个锐角 结论 直角三角形的两个锐角互余。 表达 若，则。知道一个锐角，就能用90度减去它求另一个锐角。 A B C 新知讲授 直角三角形的符号 观察与思考 直角三角形可以用符号表示，直角三角形ABC可以写成。 理解与表达 仅写这个符号不一定清楚哪个角是直角，题干或图上仍需指明直角顶点。计算时先确定对应的两个锐角。 例题讲解 示例 直角三角形一个锐角为，求另一个锐角。 答：。 两锐角互余，所以另一个锐角。 这里减的是90度，不是180度。 例题讲解 示例 直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，求两个锐角。 答：。 设较小锐角为，则。 解得，较大角为60度。 倍数关系与互余关系共同确定两个角。 例题讲解 示例 直角三角形的两个锐角相差，求这两个锐角。 答：。 设较小角为，则。 解得，较大角为57度。 互余给出两角之和，差关系用于列方程。 新知讲授 同角的余角相等 观察与思考 若两个角都与同一个角互余，它们都等于90度减去那个角，因此相等。 理解与表达 若两个已知角相等，它们的余角也相等。这个关系可连接不同的直角三角形，常用于证明两个锐角相等。 例题讲解 示例 已知，，证明。 答：。 ，。 两式右边相等，故左边相等。 把待比较的角都表示成同一个角的余角。 例题讲解 例3 如图，，相交于点E。比较与的大小。 答：。 在中，。 在中，。 为对顶角，因此两者的余角相等。 先找E处对顶角，再联系两直角三角形的锐角。 例题讲解 变式 如图，，相交于点E。比较与的大小。若，求和。 答：两角都为。 。 分别用90度减52度，得两个锐角均为38度。 数值计算要保持与等角证明相同的对应关系。 新知讲授 两个角互余能说明什么 观察与思考 如果三角形的两个内角互余，则它们的和为90度，第三个角等于180度减90度，也就是90度。 理解与表达 于是这个三角形是直角三角形。这里互余的两个角必须是所讨论三角形的内角，不能来自别的图形。 新知讲授 判定直角三角形 结论 有两个角互余的三角形是直角三角形。 推理 若，则。直角在剩下的第三个顶点处。 例题讲解 示例 中，哪个角是直角？ 答：。 第三个角。 互余的两个角都不是直角，剩下的角才是直角。 例题讲解 示例 中，判断这个三角形的形状。 答：是直角三角形，。 内角和为180度，代入A=B+C得。 所以A为90度。 角的等式可以先与内角和联立，再判断形状。 新知讲授 从性质到判定 观察与思考 已知三角形是直角三角形，推得两个锐角互余，这是性质的使用。 理解与表达 已知两个内角互余，推得三角形是直角三角形，这是判定的使用。读题时先看已知什么，再选择推理方向。 课堂练习 练习 如图，在中，，，垂足为D。与有什么关系？为什么？ 答：。 在中，。 在中，，所以两角相等。 两角都与A互余，可以不计算具体度数就判断相等。 课堂练习 练习 如图，在中，，点D、E分别在边AB、AC上，且，是直角三角形吗？为什么？ 答：是，。 ；由，得。 因此的两个内角互余，第三角ADE为90度。 角1为AED、角2为ABC，替换后构成三角形ADE的两个内角。 例题讲解 示例 在中，，。证明。 答：两角相等。 在中，。 在中，，同角的余角相等。 与原练习对称地选择B角作为共同的余角对象。 例题讲解 示例 在中，C为直角，CD是斜边AB上的高，。求。 答：依次为。 。 由同角的余角相等，ACD=B、BCD=A。 先算大三角形，再用余角关系转移到小三角形。 课堂练习 练习 如图，在中，，垂足为D，，。求的度数。 答：。 中两锐角相等，所以。 在中，；相加得70度。 分别处理高两侧的直角三角形，再把A处两角相加。 例题讲解 示例 在中C为直角，E在AC上，D在AB上，若，证明。 答：。 A与ABC互余，替换得A与AED互余。 三角形ADE在D处为直角，即ED与AB垂直。 先证三角形的第三角是90度，再写垂直结论。 例题讲解 示例 直角三角形两个锐角之比为，求两角。 答：。 共有9份，每份为。 分别乘4和5。 直角已经单独确定，比例只针对两个锐角。 例题讲解 示例 中，。证明它是直角三角形。 答：C为90度，所以是直角三角形。 。 把A+B替换成C，得。 等式两侧代表两部分相等，而这两部分总和180度。 课堂练习 辨析 判断下列说法。 （1） 直角三角形两个锐角互补。 错误 它们的和为90度，叫互余。 （2） 两个内角互余，第三个内角是直角。 正确 第三角为180度减90度。 （3） 一个角的余角与补角相差90度。 正确 。 互余对应90度，互补对应180度。 方法归纳 直角图形中的等角来源 寻找相等角 ① 共同锐角可用同角的余角相等。 ② 对顶角相等可用等角的余角相等。 寻找垂直关系 ① 把三角形两个内角的和化为90度。 ② 由第三个内角为90度，回到线段垂直。 例题讲解 示例 两个不同直角三角形中，若一个锐角彼此相等，能断定这个锐角为45度吗？ 答：不能。 两角相等只说明它们取同一个数值。 例如两个直角三角形都含30度角，符合条件而不为45度。 只有同一个直角三角形的两锐角相等，才能各为45度。 例题讲解 示例 中。某同学说“AB垂直AC”，请判断。 答：错误；应是。 A与B互余，所以第三角C为90度。 直角两边是CA、CB，而非AB、AC。 先确定直角顶点，再写构成直角的两条边。 新知讲授 一个图形，多个三角形 观察与思考 直角三角形画斜边上的高后，出现一个大直角三角形和两个小直角三角形。 理解与表达 每次列互余关系前，明确使用哪一个三角形。沿共同角或对顶角把关系串联，不能跨图形随意把两角相加为90度。 C B A D 课堂总结 直角三角形的内角 性质 两个锐角互余。 判定 两个内角互余，则第三角为直角。 等角 同角或等角的余角相等。 高线 斜边高构成两个小直角三角形。 书写 明确直角顶点及垂直的两条边。 针对训练 训练 直角三角形一个锐角为27度，另一个为：A.53度；B.63度；C.73度；D.153度。 答：B，63度。 。 直角三角形两个锐角之和为90度。 针对训练 训练 ，则的直角顶点是______。 答：B。 第三个内角B为90度。 互余的两个角是锐角，剩下的角为直角。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 两个锐角相等的直角三角形，每个锐角为45度。 正确 两角和90度且相等。 （2） 有两个锐角的三角形一定是直角三角形。 错误 锐角三角形也有两个锐角。 （3） 两个内角的和是90度，三角形是直角三角形。 正确 第三角是90度。 “两个锐角”不等于“两个锐角互余”。 针对训练 训练 直角三角形两个锐角之比为，求两个锐角。 答：。 设为2x、7x，。 比例的总角度是90度。 针对训练 训练 直角三角形两个锐角相差16度，求较大锐角。 答：。 较大角。 和加差的一半得到较大数。 针对训练 训练 C是直角，CD是斜边AB上的高，，求和。 C B A D 答：。 ACD与B相等；BCD与A相等。 。 按共同锐角建立余角对应关系。 针对训练 训练 中，。求C并判断形状。 答：，是直角三角形。 两边除以2，得。 先把条件化为两个内角互余。 针对训练 训练 C为直角，CE平分，，E在AB上。求。 C B A E 答：。 。 。 小三角形AEC用180度内角和。 针对训练 训练 一段直坡面与水平面夹角为18度，竖直杆垂直于水平面。求坡面与竖直杆之间的锐角。 A B C 答：。 竖直方向与水平方向成90度。 所求锐角与18度互余，等于72度。 明确要求锐角，使用与水平夹角的余角。 针对训练 训练 三角形支架ABC中，测得A处角为32度、B处角为58度。按这些设计值，AC与BC是否垂直？说明理由。 C B A 答：垂直。 设计角。 第三角C为90度，所以AC与BC垂直。 根据设计角度推理，实际测量需考虑误差。 方法归纳 本课解题方法 从直角推互余 ① 在同一个直角三角形中找两个锐角。 ② 共同角或对顶角可以连接不同三角形中的余角。 从互余推直角 ① 把已知关系化成两个内角的和为90度。 ② 剩下的顶点是直角顶点，再写相应的垂直关系。 $