13.3 三角形的内角与外角（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.3 三角形的内角与外角（第1课时） 三角形内角和定理 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 量过的结论为什么还要证明 活动 分别量出一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三个内角，计算它们的和。实际操作的结果可能略有误差。 问题 即使每个同学都量得180度，是否就证明了所有三角形都成立？有限个实验不能代替对任意三角形的推理。 新知讲授 剪拼给证明什么启发 观察与思考 把三角形的三个角剪下，拼在同一点附近，能够拼成一个平角。这个操作提示我们把分散的三个角移到一起。 理解与表达 证明中不能依赖实际移动图形的精确程度，需要用已知性质找到与原角相等的角，再利用平角等于180度。 新知讲授 从拼角想到平行线 观察与思考 将顶点B、C处的角移到A的两边，拼成一条经过A的直线。观察这条线与BC的方向。 理解与表达 过A作BC的平行线，就能利用内错角相等，把B、C处的两个角转移到A处。这是辅助线的作用。 A B C D E 例题讲解 示例 已知。求证：。 A B C D E 答：作过A且平行于BC的直线DE，将三个内角集中到A处。 已知只要求A、B、C构成一个三角形，不限制形状。 目标是三个内角之和，选择能同时转移B、C两角的辅助线。 证明任意三角形的结论时，不能额外假设等腰或直角。 例题讲解 示例 过的顶点A作，D、E位于A两侧。说明，。 A B C D E 答：两组角分别相等。 AB截两条平行线，内错角。 AC截两条平行线，内错角。 每一步先指出截线，再选择对应的平行线性质。 例题讲解 示例 在图中，，证明。 A B C D E 答：三个内角之和等于180度。 D、A、E共线，所以。 将分别替换为。 平角等于180度与等量代换连接起整条证明链。 新知讲授 三角形内角和定理 定理 三角形的内角和等于。 使用 适用于任意三角形。等号两边的角必须恰是同一三角形的三个内角。 A B C 新知讲授 证明链条回顾 观察与思考 作平行线是为了得到等角；拼成平角是为了得到180度；等量代换把新角换回原三角形的内角。 理解与表达 结论不依赖三角形的大小、摆放方向或是否对称。测量和剪拼用于发现，逻辑推理用于说明普遍成立。 例题讲解 示例 中，，求。 答：。 。 。 先写内角和关系，再代入数值。 例题讲解 示例 中，，求。 答：。 。 。 题目只需要两角之和，无须分别求出两个角。 例题讲解 示例 三角形三个内角之比为，求各角并按角分类。 答：，是锐角三角形。 设三个角分别为，则。 ，三个内角都小于90度。 比例对应的是份数总和，最大份对应最大内角。 例题讲解 例1 如图，在中，，，是的角平分线。求的度数。 答：。 。 在中，。 所求角属于小三角形ABD，先由角平分线求出它的另一个角。 例题讲解 变式 如图，在中，，，是的角平分线。求的度数。再求。 答：。 已知，B、D、C共线。 。 相邻两个三角形共线底边上的角互为邻补角。 新知讲授 读懂方向角 观察与思考 北偏东50度，以北方向为起始方向，向东转50度；北偏西40度，以北方向向西转40度。 理解与表达 同一平面中各地的南北参考线互相平行。先画方向，再确定三角形真正的内角，不能直接把方向角当内角。 例题讲解 例2 图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向。从B岛看A、C两岛的视角是多少度？从C岛看A、B两岛的视角呢？ （1） 从B岛看A、C两岛的视角。 （2） 从C岛看A、B两岛的视角。 （1） 答：。 两地北向平行，。 。 AB与两条平行北向线组成同旁内角，先求ABE再减40度。 例题讲解 例2 图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向。从B岛看A、C两岛的视角是多少度？从C岛看A、B两岛的视角呢？ （1） 从B岛看A、C两岛的视角。 （2） 从C岛看A、B两岛的视角。 （2） 答：。 。 。 A处的两个方向在同一侧，因此夹角是80度减50度。 新知讲授 方向角题的角度转换 观察与思考 从A向B看与从B向A看的射线方向相反。两地的北向线虽平行，但相关角可能相等，也可能互补。 理解与表达 先在图中标出题给方向角，再用平行线性质转化。最后在三角形中列内角和，避免凭直觉相加减。 课堂练习 练习 如图，从A处观测C处的仰角，从B处观测C处的仰角。从C处观测A、B两处的视角是多少度？ 答：。 A、B、D共线，。 在中，。 45度是CBD，不是三角形ABC在B处的内角。 课堂练习 练习 如图，在中，，求的度数。 答：。 在中，。 在中，，合计280度。 将四个角按所属三角形分成两组，共用A角。 课堂练习 习题1 求出各图形中的值。 （1） 三个角为。 （2） 三个角都为。 （3） 三个角为。 （4） 三个角为。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 四题都先把同一三角形的三个角相加为180度。 课堂练习 习题1 求出各图形中的值。 （1） 三个角为。 （2） 三个角都为。 （3） 三个角为。 （4） 三个角为。 （3） 答：。 。 （4） 答：。 。 括号中的加36与减36在总和中相互抵消。 课堂练习 练习 在中，比大，比大。求各内角的度数。 答：。 设，则B为、C为。 ，解得。 第三角比第一角大20度，不是10度。 例题讲解 示例 一个三角形最多有几个直角？为什么？ 答：最多一个。 若有两个直角，它们之和已经是180度。 第三个内角必须为0度，与三角形的内角大于0度矛盾。 用假设两个直角再看第三角的方式说明不可能。 例题讲解 示例 一个三角形最多有几个钝角？为什么？ 答：最多一个。 两个钝角之和已经大于180度。 再加第三个正角，更不可能等于180度。 钝角严格大于90度，所以两个钝角的和严格大于180度。 课堂练习 练习 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向。求的度数。 答：。 A处夹角。 B看A为北偏东45度，故B处内角；C为85度。 A处两方向分居南向两侧，所以先相加；B处同侧再相减。 方法归纳 把角移到合适的位置 证明思路 ① 平行线把分散的角转移到同一点。 ② 用平角和等量代换得到内角和。 计算思路 ① 直接已知两角，180度减去它们。 ② 有平分线、方向角时，先转换为目标三角形的内角。 新知讲授 同一个角可以属于多个三角形 观察与思考 若D在AB上、E在AC上，与具有共同的顶角A。 理解与表达 因此两三角形各自另外两个内角之和相等，都为。求角和时可以整体代入，避免多设未知量。 例题讲解 示例 中，，求B、C。 答：。 。 设C为，则，得。 内角和提供和，已知条件提供差。 新知讲授 检查答案是否合理 观察与思考 计算结束要把三个内角相加，核对是否为180度；同时检查每个内角大于0度且小于180度。 理解与表达 若题目要求锐角三角形，还要逐个检查小于90度。代数方程的解满足总和后，仍可能不满足题目的附加分类条件。 课堂总结 三角形的内角和 定理 三个内角和为180度。 证明 作平行线、等角转移、平角、代换。 直接计算 已知两角或两角和求第三角。 方程方法 比、差关系用同一未知数表示。 情境转化 方向角和仰角先转为内角。 针对训练 训练 三角形两个角为35度、65度，第三角是：A.70度；B.80度；C.90度；D.100度。 答：B，80度。 。 内角和固定为180度。 针对训练 训练 ，则______。 答：。 。 要求和时不必求出每个角。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 一个三角形可以有两个钝角。 错误 两个钝角之和已经大于180度。 （2） 三个内角相等的三角形，每个角为60度。 正确 180度平均分成三份。 （3） 三角形越大，内角和越大。 错误 任意三角形内角和均为180度。 内角和与图形的面积和边长大小无关。 针对训练 训练 三角形三个角之比为，求各角。 答：。 总份数为6，每份度。 用总角度除以总份数。 针对训练 训练 三角形三个角分别为，求最大角。 答：。 得。 三个角为40、60、80度。 求出各角以后再比较，不要只凭表达式的外观判断。 针对训练 训练 平分，，求。 A B C D 答：。 。 。 先找ABD中的两个已知角。 针对训练 训练 D在AB上，E在AC上，。求。 A B C D E 答：。 两组三角形内角分别和为度。 总和为度。 按三角形分组后整体求和。 针对训练 训练 ，求，并按角分类。 答：，是直角三角形。 由内角和知。 解得A为90度。 将B+C作为一个整体替换成A。 针对训练 训练 水平地面上A、B、D依次排列，塔顶C在D正上方。从A和B看塔顶的仰角分别为25度和50度，求两条视线CA、CB之间的夹角。 A B D C 答：。 。 视角。 地面中间观察点的仰角与三角形内角互补。 针对训练 训练 设计一个三角形标牌，三个内角从小到大依次相差15度。求三个角。 答：。 设最小角为，三个角为。 ，得。 先把所有角表示成同一个未知量。 方法归纳 本课解题方法 内角和的证明 ① 利用平行线把两个角转移到第三个角旁。 ② 由平角等于180度与等量代换完成证明。 内角和的应用 ① 先锁定目标角所属三角形，转换已知条件。 ② 角和可以整体处理；角度关系复杂时列方程求解。 $