13.3 三角形的内角与外角（第3课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.3 三角形的内角与外角（第3课时） 三角形的外角 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 延长一条边出现的新角 观察 把的边BC沿C端延长到D，原来的内角ACB旁边出现了角ACD。它们组成一个平角。 问题 能否只根据A、B两个内角，直接求出这个新角？这个角与和它不相邻的两个内角有什么关系？ A B C D 新知讲授 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 识别 的一边是CA，另一边CD是BC的延长线。外角必须由规定的两条射线组成，不能把三角形外面的任意角都叫外角。 A B C D 新知讲授 外角与相邻内角 观察与思考 与有一条公共边CA，另外两条边CB、CD为反向射线。 理解与表达 因此二者互为邻补角，和为180度。一个内角对应的两个外角大小相等，因为它们都与同一个内角互补。 A B C D 例题讲解 示例 中，，BC延长至D，求。 答：。 内角。 外角。 先用内角和，再用邻补角，观察两次减法的结果。 例题讲解 示例 在中，BC延长至D。证明。 A B C D 答：外角等于两个不相邻内角之和。 。 又，两式消去相同的内角。 把同一180度分别表示成邻补角和与三内角和。 新知讲授 三角形外角的性质 推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 条件 “不相邻”很关键：对应的是A、B，不包括与它相邻的内角ACB。推论可以作为后续推理的依据。 A B C D 新知讲授 外角一定大于哪些内角 观察与思考 因为，而两个内角都大于0度，所以这个外角大于A，也大于B。 理解与表达 外角与相邻内角C则不一定谁大。例如C为120度时外角为60度；因此必须保留“不相邻”这一限制。 例题讲解 示例 一个三角形的两个内角分别为和，求与这两个角都不相邻的外角。 答：。 利用外角性质，。 题目指明不相邻后，可直接相加，不必先求第三个内角。 例题讲解 示例 一个外角为，与它不相邻的一个内角为，求另一个不相邻内角。 答：。 设另一个内角为，则。 解得。 外角减去一个不相邻内角，得到另一个不相邻内角。 例题讲解 示例 三角形一个外角与相邻内角之比为，求这两个角。 答：外角100度，内角80度。 相邻两角和180度，设为5x与4x。 得。 这里使用邻补角关系，不能把这两个角相加写成某个外角。 例题讲解 例4 如图，是的三个外角，它们的和是多少？ 答：。 三个外角分别等于、、。 相加得。 每个内角在三个外角的和中出现两次。 例题讲解 一题多解 如图，是的三个外角，它们的和是多少？用相邻内角与外角互补的方法说明。 答：。 每个外角等于180度减去相邻内角。 三个外角总和。 在每个顶点各选一个外角，才能使用三个外角和360度。 新知讲授 三个外角怎样选 观察与思考 说三个外角的和为360度，是指在三角形每个顶点各选一个外角。不能在同一个顶点选两个，再漏掉另一个顶点。 理解与表达 三角形每个顶点有两个外角，它们互为对顶角且相等。若把六个外角全部相加，总和为720度。 例题讲解 示例 在三角形每个顶点各取一个外角，其中两个为，求第三个。 答：。 三个外角之和为360度。 。 先确认三个外角分别位于三个不同顶点。 例题讲解 示例 一个三角形的某个外角为，与它相邻的内角是多少？这个三角形按角怎样分类？ 答：相邻内角132度，是钝角三角形。 内角。 存在一个钝角，所以为钝角三角形。 锐角外角对应钝角内角。 例题讲解 辨析 判断下列说法。 （1） 三角形的一个外角大于任何一个内角。 错误 它可能小于相邻内角。 （2） 三角形外角等于两个不相邻内角的和。 正确 这是外角性质。 （3） 每个顶点各取一个外角，三个外角的和为360度。 正确 三组邻补角的和减去内角和。 比较外角与内角时，先检查相邻关系。 例题讲解 示例 BC延长至D，CE平分外角ACD，若，求。 A B C D E 68° 42° 答：。 外角ACD等于。 CE平分该外角，所以ECD为55度。 先求整个外角，再使用角平分线把它除以2。 例题讲解 示例 三角形的一个外角为，与它不相邻的两个内角之比为，求这两个内角。 答：。 设两内角为2x、3x，。 每份24度，分别为48度和72度。 两个不相邻内角的总和等于题目给定的外角。 课堂练习 练习 说出图中和的度数。 答：、依次为40度，140度。 内角1为。 外角2为。 先认出内角、外角或直角，再选择对应的角度关系。 课堂练习 练习 说出图中和的度数。 答：、依次为110度，70度。 内角1为。 外角2为。 先认出内角、外角或直角，再选择对应的角度关系。 课堂练习 练习 说出图中和的度数。 答：、依次为50度，140度。 直角三角形中角1为。 角2与40度互补，所以角2为140度。 先认出内角、外角或直角，再选择对应的角度关系。 课堂练习 练习 说出图中和的度数。其中CE平分。 A B C D E 70° 40° 1 2 答：、依次为55度，70度。 角2为。 外角ACD为110度，CE平分它，所以角1为55度。 外角平分线把110度分成两个55度。 课堂练习 练习 说出图中和的度数。 答：、依次为80度，40度。 下方小三角形的外角1为。 大三角形右下角为60度，减去20度得角2为40度。 先认出内角、外角或直角，再选择对应的角度关系。 课堂练习 练习 说出图中和的度数。 答：、依次为60度，30度。 下方直角三角形交点处的角为60度，对顶角1也为60度。 上方直角三角形中角2为。 先认出内角、外角或直角，再选择对应的角度关系。 课堂练习 练习 如图，在中，D在AB上，E在AC上，BE、CD相交于F，。求和。 答：。 BDC是三角形ADC的外角，所以BDC为62+35=97度。 在三角形BDF中，B角为20度、D角为97度，故BFD为63度。 先用大角关系确定D，再把F纳入小三角形。 课堂练习 练习 如图，CE是的外角ACD的平分线，且CE交BA的延长线于E。求证：。 答：结论成立。 在三角形BCE中，外角ECD等于。 CE平分ACD，所以。 又，整理即得结论。 同一个外角用两种方式表示，再用等量关系消去它。 方法归纳 外角题的三个关键关系 与相邻内角 ① 外角与相邻内角互补。 ② 先判断是否相邻，再决定相加还是相减。 与不相邻内角 ① 外角等于两个不相邻内角之和。 ② 每个顶点各取一个外角，总和为360度。 新知讲授 从局部角度到整体角和 观察与思考 复杂图中先确定某个角是哪一个三角形的外角。同一个角可能对小三角形是外角，对另一个图形却有不同角色。 理解与表达 证明时写清所使用的三角形名称；计算后用内角和或邻补角作一次交叉检查，可以发现选错角的问题。 例题讲解 示例 在A、B两个顶点分别取外角，若这两个外角相等，能说明吗？ 答：能。 A处外角为，B处外角为。 两式相等，减去相同的180度后，得到A、B两个内角相等。 相等角的补角相等，可把外角信息转回内角。 课堂总结 三角形的外角 定义 一边与另一边的延长线组成的角。 邻补 外角与相邻内角和为180度。 性质 外角等于两个不相邻内角之和。 大小 外角大于每个不相邻内角。 总和 每顶点取一个外角，总和360度。 针对训练 训练 与某外角不相邻的两个内角为35度和76度，此外角为：A.41度；B.69度；C.111度；D.145度。 答：C，111度。 外角等于。 题目已经指定不相邻，直接用外角性质。 针对训练 训练 三角形的一个外角为128度，与它相邻的内角为______；一个不相邻内角为53度，另一个不相邻内角为______。 答：52度；75度。 相邻内角；另一不相邻内角。 同一外角的两种关系对应不同的减法。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 直角三角形的外角可以是锐角。 错误 直角对应90度外角，锐角对应钝角外角。 （2） 三角形一个外角为60度，该三角形一定为钝角三角形。 正确 相邻内角为120度。 （3） 一个外角等于两个内角的和，不必限制它们的位置。 错误 必须是与此外角不相邻的两个内角。 外角大小与相邻内角相互补充到180度。 针对训练 训练 每个顶点各取一个外角，它们之比为，求三个内角。 答：90度、60度、30度。 外角总和360度，分别为90度、120度、150度。 各自用180度减对应外角。 先分配360度，再逐个转为内角。 针对训练 训练 某外角为一个不相邻内角的3倍，另一个不相邻内角为70度，求此外角。 答：105度。 设第一个内角为，则。 ，外角为105度。 外角为两不相邻内角之和，倍数条件提供方程。 针对训练 训练 三角形A、B两内角为64度、46度，CE平分C点外角，求CE与BC延长线的夹角。 A B C D E 64° 46° 答：55度。 C点外角为110度，平分后55度。 先相加两个不相邻内角，再除以2。 针对训练 训练 一个内角为80度，分别画这个内角和与它相邻的外角的平分线。求两条平分线之间的较小夹角。 C B D A E F 答：90度。 相邻外角为100度。 两平分线夹角为。 CE、CF分别平分内角与外角。 针对训练 训练 三角形A点外角为120度，B点外角为135度，求三个内角。 答：A为60度，B为45度，C为75度。 内角A、B分别为180度减去对应外角。 C为度。 两个外角位于不同顶点，逐个还原内角。 针对训练 训练 机器人沿三角形场地边界同向行走一周，在每个顶点转过相应的外角。前两次分别转110度和95度，第三次转多少度？ A B C D 答：155度。 三次分别对应三个顶点的外角，总和360度。 度。 行进方向改变的角是外角，必须统一行走方向。 针对训练 训练 三角形支架ABC的A处角为48度，B处角为67度，将底杆BC沿C端延长安装连接件。连接件与斜杆CA所成外侧角应为多少度？ A B C D 48° 67° 答：115度。 C点外角等于不相邻的A、B两角之和。 度。 延长底杆形成外角，可直接由另两个内角求出。 方法归纳 本课解题方法 识别外角 ① 找到三角形的一边和另一边的延长线。 ② 确定相邻内角与两个不相邻内角，避免混用。 外角计算与证明 ① 相邻用180度，不相邻用两个内角之和。 ② 复杂图中标明三角形，必要时对同一外角写两种表达式。 $