13.2 与三角形有关的线段（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.2 与三角形有关的线段（第2课时） 中线、角平分线与高 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 三条不同要求的线段 问题 从三角形同一顶点出发，怎样把对边平均分成两段？怎样把顶角平均分成两个角？怎样量出顶点到对边所在直线的距离？ 预想 这三种任务分别对应中线、角平分线和高。它们的起点都在顶点，确定终点的方法却不相同。 A B C 新知讲授 从要求确定线段 观察与思考 “平分边”要找中点；“平分角”要画角平分线；“最短距离”要向直线作垂线。 理解与表达 观察时不要只凭线段画在图形中间就叫中线，也不能因为近似竖直就叫高。名称来自严格的几何条件。 新知讲授 三角形的中线 定义 连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作的边上的中线。 条件 在上且。中线必须从顶点出发，并到达对边中点。 A B C D 新知讲授 中线条件的符号表达 观察与思考 如果是边上的中线，则；反过来，是中点时，连接就得到中线。 理解与表达 中线说明的是对边两部分相等，并不自动说明，也不自动说明。 A B C D 例题讲解 示例 是的中线，，求和。 A B C D 答：，。 中线到达对边中点，所以。 。 中线给出的是对边被平分，不是中线自身被平分。 新知讲授 怎样画一条中线 观察与思考 画边上的中线时，先用直尺确定中点，再连接。 理解与表达 从出发的中线终点在中点，从出发的中线终点在中点。每个顶点各有一条中线。 A B C D 新知讲授 三条中线与重心 结论 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。 观察 分别找出三条边的中点并连接对应顶点。三条中线的公共点位于三角形内部；本课用交点来确定重心。 例题讲解 示例 已画出的中线和，交点为。还需要画第三条中线才能确定重心吗？ 答：不需要，已经是重心。 三条中线相交于同一点。 因此两条中线的交点就是第三条中线经过的点。 结论依赖AD、BE确实都是中线，不能任意连两条线段。 新知讲授 三角形的角平分线 定义 画的的平分线，交所对的边于点，所得线段叫作的角平分线。 条件 在对边上，且。这里的角平分线是三角形内部的一条线段。 新知讲授 角的平分线与三角形角平分线 观察与思考 一个角的平分线是一条射线；三角形的角平分线，是这条射线从顶点到对边交点的那一段。 理解与表达 书写条件时可用。不能由这个条件推断。 例题讲解 示例 是的角平分线，，求。 答：。 。 。 被平分的是顶角BAC，要看清顶点字母。 例题讲解 示例 平分，，求。 答：。 。 。 已知半角求全角要乘2。 新知讲授 三条角平分线 观察与思考 从三个顶点分别作角平分线，每条都与对边相交。三角形的三条角平分线相交于一点。 理解与表达 这三条线段都在三角形内部。三条角平分线的交点和三条中线的交点，一般不能当成同一个点。 新知讲授 三角形的高 定义 从的顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足为，所得线段叫作的边上的高线。三角形的高线简称三角形的高。 关键词 向对边所在直线作垂线；垂足可以落在边上，也可以落在边的延长线上。 A B C D 新知讲授 高的条件与作图 观察与思考 画边上的高：过作所在直线的垂线，与该直线相交于，取线段。 理解与表达 在图上应标出垂足和直角记号。说明成直角，但不说明是的中点。 A B C D 新知讲授 锐角三角形的三条高 观察与思考 锐角三角形每个顶点向对边所在直线作垂线，垂足都落在对边上。三条高都在三角形内部。 理解与表达 换底边时，高也随之改变。面积公式中的底和高必须是一组相互对应的线段。 新知讲授 直角三角形的三条高 观察与思考 直角三角形的两条直角边互相垂直，因此它们分别是以另一条直角边为底时的高。 理解与表达 第三条高从直角顶点向斜边作垂线。直角三角形也有三条高，不能只数内部新画的一条。 新知讲授 钝角三角形的三条高 观察与思考 钝角三角形有两条高在三角形外部，两个垂足落在边的延长线上；另一条高在三角形内部。 理解与表达 作外部的高时先延长相应边，再过对顶点作垂线。高是一条有限线段，不包括整条垂线。 例题讲解 辨析 判断下列说法。 （1） 中线一定垂直于它所对的边。 错误 中线只保证对边被平分。 （2） 三角形的高一定在三角形内部。 错误 钝角三角形有两条高在外部。 （3） 三角形的角平分线是一条线段。 正确 取从顶点到对边交点之间的一段。 每种线段只使用其定义直接给出的条件。 例题讲解 示例 是的中线，，到的距离为6，求和的面积。 A B C D 答：两个面积都为15。 ，两个小三角形共用到底边所在直线的高6。 各自面积。 中线分出的两个三角形等底、等高，所以面积相等。 例题讲解 示例 在中，，，高和分别对应和。求。 答：。 。 ，所以。 同一三角形面积相等，底越长，对应高越短。 课堂练习 练习 如图，过的顶点分别画出它的中线、角平分线和高。 答：中线连接与中点；角平分线从平分至；高从向所在直线作垂线。 先区分需要平分的是边还是角。 画高时看AB所在直线，标出垂足及直角记号。 三条线段分别在下面三图中完成。 课堂练习 练习 如图，过的顶点分别画出它的中线、角平分线和高。本页完成中线。 A B C D 答：连接C与AB中点D，CD为所求中线。 D为AB中点，AD=DB。 从顶点C连接到对边AB中点。 中线的终点是对边中点。 课堂练习 练习 如图，过的顶点分别画出它的中线、角平分线和高。本页完成角平分线。 A B C D 答：画角ACB的平分线，与AB交于D，线段CD为所求。 使角ACD与角DCB相等。 取从C到对边交点D的线段。 角平分线把顶角分成两个相等的角。 课堂练习 练习 如图，过的顶点分别画出它的中线、角平分线和高。本页完成高。 A B C D 答：过C向AB所在直线作垂线，垂足为D，CD为所求高。 过顶点C作AB的垂线。 取顶点到垂足之间的线段。 高与对边所在直线垂直。 课堂练习 练习2 如图，（1）是的三条中线，则______，______，______；（2）是的三条角平分线，则______，______，______。 （1） 填写中线关系。 （2） 填写角平分线关系。 （1） 答：；；（或）。 三条中线分别到达BC、AC、AB的中点。 （2） 答：；；。 每个被平分的内角等于其一半角的2倍。 中线平分边，角平分线平分角。 课堂练习 习题4 如图，在中，是中线，是角平分线，是高。填空： （1） ______ ______。 （2） ______ ______。 （3） ______ 。 （4） 若，则______，______。 （1） 答：；。 AE是中线，E为BC中点。 （2） 答：；。 AD平分顶角。 题中的E、D、F分别承担不同角色，不要交换。 课堂练习 习题4 如图，在中，是中线，是角平分线，是高。填空： （1） ______ ______。 （2） ______ ______。 （3） ______ 。 （4） 若，则______，______。 （3） 答：。 AF垂直于BC所在直线。 （4） 答：；。 大三角形面积为8×5÷2；中线平分面积。 面积使用AF这条高；AE的作用是平分底边及面积。 课堂练习 练习 如图，在中，是它的角平分线，，交于，，交于。图中与有什么关系？为什么？ 答：。 由平行线内错角相等，，。 又因AD平分顶角，，故两角相等。 先通过平行线把D处的角转移到A处。 方法归纳 把图形条件变成等式 中线与角平分线 ① 中线给出两段相等或全边的二分之一。 ② 角平分线给出两角相等或全角的二分之一。 高与面积 ① 高给出垂直关系和90度角。 ② 求面积时确定相应底边，不能随意配对。 例题讲解 示例 的底边，顶点到所在直线的距离为4，垂足在延长线上。求面积。 A B C D 答：。 对应高仍为顶点A到直线BC的垂线段，长4。 。 垂足在延长线上不会改变面积公式。 新知讲授 把作图顺序讲清楚 观察与思考 画中线：定对边中点，再连接顶点。画角平分线：平分顶角，再取与对边之间的线段。 理解与表达 画高：过顶点向对边所在直线作垂线，再标出垂足。检查线段是否具备定义要求，比依赖视觉位置可靠。 课堂总结 三种重要线段 中线 顶点到对边中点；平分对边。 重心 三条中线的交点。 角平分线 顶点到对边，平分顶角。 高 顶点向对边所在直线作垂线。 面积应用 等底等高面积相等；底高对应。 针对训练 训练 点在上，下列哪一个条件能说明是的中线？A.；B.；C.；D.。 答：B。 中线的终点为对边中点。 A说明高，D说明角平分线，不能替代中线条件。 针对训练 训练 是中线，，则______；若，则______。 答：；。 。 得。 先使用中点关系，再解一元一次方程。 针对训练 训练 平分，，。求和。 答：，。 ，得。 两个半角均为35度，整个角为70度。 先令两个半角相等，再把半角加倍。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 三角形的中线都在内部。 正确 顶点与对边中点连接的线段在内部。 （2） 直角三角形只有一条高。 错误 两条直角边也是高。 （3） 钝角三角形的三条高都在外部。 错误 只有两条高在外部。 每个三角形都有三条高，应按三个顶点分别寻找。 针对训练 训练 是中线，。求。 A B C D 答：。 两个小三角形的底BD、DC相等，且共高。 面积各是原面积的一半。 不需要知道中线长度，也不需要证明两个小三角形全等。 针对训练 训练 的面积为24，。求BC边上和AB边上的高。 答：分别为6和8。 高等于面积的2倍除以对应底。 ，。 求哪条边上的高，就除以哪条边。 针对训练 训练 是中线，点在线段上。比较和。 A B C D P 答：两者相等。 。 两个三角形顶点同为P，到同一直线BC的高相同。 等面积的关键是等底同高，而不要求P一定在重心。 针对训练 训练 中，。以为底时，高是多少？面积是多少？ C A B 答：高为12，面积为30。 ，BC就是AC边上的高。 。 不要把斜边错误地当成直角边上的高。 针对训练 训练 三角形花坛计划分给两组学生，每组面积相同，分界线必须从A出发。请给出一种方案及依据。 A B C D 答：连接A与BC的中点D。 AD是中线，。 两个小花坛等底同高，所以面积相等。 平均分面积可通过对边取中点实现。 针对训练 训练 一块三角形广告牌底边长，对应高。每平方米单面涂刷费用为40元，求单面涂刷费用。 答：72元。 面积。 费用元。 先用对应底高求面积，单面无需再乘2。 方法归纳 本课解题方法 识别与作图 ① 找准从哪个顶点出发、到哪条对边。 ② 分别使用中点、平分角、垂直三种条件。 面积与角度计算 ① 中线给出等底同高，角平分线给出半角。 ② 高应与相应底边配对；外部高也可直接代入面积公式。 $