14.1 全等三角形及其性质（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.1 全等三角形及其性质（第1课时） 全等与对应关系 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 怎样判断两块拼板相同 情境 两块三角形拼板即使位置和朝向不同，也可能具有相同的形状和大小。把其中一块移动后覆盖另一块，观察是否完全重合。 目标 本课用完全重合认识全等，学习对应顶点、对应边和对应角，并用对应关系计算边长和角度。 A B C D E F 新知讲授 全等形与全等三角形 定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形。能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 理解 完全重合包含形状相同、大小相同两个要求。只有外形相似但尺寸不同，不能叫全等。 A B C D E F 新知讲授 哪些变化保持全等 观察与思考 平移、翻折、旋转改变图形的位置或朝向，但不改变它的形状和大小。变换前后的图形全等。 理解与表达 放大或缩小改变了大小，因此通常不能保持全等。判断时关注图形本身，而不是纸面上的摆放方式。 新知讲授 平移后的对应关系 观察与思考 把三角形ABC整体向右平移得到DEF，A到D，B到E，C到F。每条边的两个端点一起移动。 理解与表达 因此AB与DE、BC与EF、AC与DF分别对应。对应关系来自移动前后同一点的位置，不是按边在图中的高低决定。 A B C D E F 新知讲授 翻折后仍能重合 观察与思考 沿BC翻折三角形ABC得到DBC，点B和点C位置不变，点A移动到D。 理解与表达 两三角形的对应顶点为A与D、B与B、C与C。公共点可以与自己对应；翻折后图形朝向改变不影响全等。 新知讲授 旋转后的对应关系 观察与思考 三角形ABC绕A旋转得到ADE，A是旋转中心，B移动到D，C移动到E。 理解与表达 对应顶点为A与A、B与D、C与E。两图形可能交叉或重叠，仍然可以按旋转前后位置寻找对应关系。 新知讲授 全等符号与对应顺序 观察与思考 全等用符号表示，读作“全等于”。写时，通常把对应顶点写在对应位置。 理解与表达 这个顺序已经告诉我们A对应D、B对应E、C对应F。交换左边字母次序时，右边也要同步交换。 A B C D E F 新知讲授 对应顶点、边和角 定义 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。 识别 确定三个对应顶点以后，每条对应边和对应角都随之确定。可先写一行顶点对照，再按端点寻找线段。 A B C D E F 例题讲解 示例 。写出三组对应边。 A B C D E F 答：与，与，与。 A、B分别对应D、E，所以AB对应DE。 对另外两条边重复端点匹配。 对应边两端的顶点必须分别对应。 例题讲解 示例 。写出对应的角。 答：分别为。 三个字母都按A到D、B到E、C到F替换。 角的顶点必须保持在中间。 仅比较中间顶点不够，复杂图中的角还需确认两边。 新知讲授 全等三角形的性质 性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 表达 给出三组边相等、三组角相等。使用性质时必须写清对应关系。 A B C D E F 例题讲解 示例 ，。求DE、EF、DF。 答：。 全等三角形对应边相等。 按顶点顺序分别读取三条边。 DF对应AC，不要把它当成BC。 例题讲解 示例 ，。求。 答：。 。 C与F对应，所以F也为70度。 没有直接给出的对应角可先在原三角形中求出。 例题讲解 示例 已知，补全______。 答：。 B对应E、C对应F、A对应D。 把原来的三个对应关系列成固定映射，再依次替换。 例题讲解 示例 ，写出A、B的对应顶点和AB的对应边。 答：A对应B，B对应A；AB对应BA。 按全等式的第1、第2、第3个位置读取。 公共线段可能端点反向对应。 几何上同一线段可以用AB或BA表示，但顶点对应仍须分清。 例题讲解 例 如图，，点A和点B，点C和点D是对应顶点，，AC、BD的延长线相交于E。求的度数。 （1） 求。 （2） 求。 （1） 答：。 对应角。 。 先找的对应角，再从大角减去。 例题讲解 例 如图，，点A和点B，点C和点D是对应顶点，，AC、BD的延长线相交于E。求的度数。 （1） 求。 （2） 求。 （2） 答：。 三角形AEB在A、B处的两个内角都为65度。 。 E是两边延长线的交点，外层三角形AEB利用内角和。 课堂练习 练习 如图，，和，和是对应角。说出两个三角形的对应边和另一组对应角。 答：边：AB与BD、BC与DE、AC与BE；另一组角：与。 对应顶点为A与B、B与D、C与E。 根据顶点对应写出边及剩下的角。 第二个三角形中的B，与第一个三角形中的B不是同一对应位置。 课堂练习 练习 如图，，点C和B、点A和D是对应顶点。说出这两个三角形中相等的边和角。 答：；。 O对应O，C对应B，A对应D。 全等性质分别给出三组边和三组角相等。 交点O是公共顶点；相交的两条线段上也要按对应顺序匹配。 课堂练习 练习 如图，，AB和CD、BC和DA是对应边，写出其他对应边和对应角。 答：其他边：与；对应角：与、与、与。 A对应C，B对应D，C对应A。 公共对角线AC反向对应。 同一字母在两个三角形中的位置不同，不能直接对应自己。 课堂练习 练习 如图，，AB和AC是对应边，和是对应角。写出其他对应边和对应角。 答：边：与、与；角：与、与。 A对应A、B对应C、N对应M。 公共顶点A处包含不同的角，用三字母完整表示。 A处角包含哪两条射线，需要看三角形名称。 课堂练习 练习 图中有两个全等三角形，其中字母表示三角形的边长，求。 答：。 角1夹在边b、c之间，对应第一个三角形右下角。 该角为。 两边的交点定位夹角，不要按三角形顶部位置认角。 课堂练习 习题4 如图，，和是对应角。在中FG是最长边，在中MH是最长边，且。（1）写出其他对应边及对应角；（2）求NM及HG的长度。 （1） 答：EF与NM、EG与NH；∠E与∠N、∠G与∠H。 FG对应MH，由F对应M，得G对应H、E对应N。 （2） 答：。 对应边相等给出NM=EF=2.1，EG=NH=3.3。 H在线段EG上，HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2。 先找对应，再用线段差。 课堂练习 练习 如图，，CA和CD、CB和CE是对应边。和相等吗？为什么？ 答：相等。 全等给出。 两角分别减去公共角，得。 在图中确认两个全等对应角各自包含的公共部分。 例题讲解 示例 ，，求x。 答：。 AB与DE对应，所以。 解得。 先写对应边相等，再列一元一次方程。 例题讲解 示例 两个三角形周长都是12，一个三边为，另一个为，它们全等吗？ 答：不全等。 两组边长都能组成三角形且周长相等。 对应边长无法全部相等，不能完全重合。 全等能推出周长相等；只有周长相等不足以反推全等。 例题讲解 示例 两个三角形的底和高分别为和，面积都为6。仅凭这个信息能判定全等吗？ 答：不能。 面积只记录底高乘积的一半，不能确定三条边和三个角。 形状和边长可能不同。 全等要求形状、大小同时相同，面积相等只是部分信息。 方法归纳 从全等式读取六组关系 顶点是入口 ① 先写出三个顶点的对应映射。 ② 边看两个端点，角看顶点与两条边。 计算是应用 ① 对应边、对应角分别相等。 ② 结合线段和差或内角和求未知量。 新知讲授 性质使用的前提 观察与思考 全等三角形的性质适用于已经知道两个三角形全等的情形。若没有全等条件，就不能直接把看起来相等的边角写成相等。 理解与表达 复杂图中先圈出两个三角形，再根据字母顺序列对应。相等关系来自已知或证明，不能依赖视觉近似。 课堂总结 全等三角形及其性质 定义 能够完全重合的两个三角形。 变换 平移、翻折、旋转保持形状和大小。 对应 顶点顺序决定对应边和角。 性质 对应边相等，对应角相等。 计算 对应等式结合方程、角和或线段差。 针对训练 训练 两图形全等要求：A.只形状相同；B.只面积相同；C.能够完全重合；D.只周长相同。 答：C。 完全重合同时保证形状和大小相同。 用定义判断，不用单一数值代替。 针对训练 训练 ，Q的对应顶点为______，PR的对应边为______。 答：Y；XZ。 按第1、第2、第3个位置逐一对应。 PR连接第1和第3顶点，XZ也连接第1和第3顶点。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 旋转后的三角形与原三角形全等。 正确 旋转保持形状和大小。 （2） 全等三角形摆放方向必须一致。 错误 可以通过翻折、旋转等方式重合。 （3） 面积相等的两个三角形必全等。 错误 面积不能确定所有边角。 区分保持全等的操作与不足以判定全等的数值条件。 针对训练 训练 ，，求DE。 答：。 A对应D，C对应E，所以AC对应DE。 第二个三角形不是常见DEF顺序，必须按实际顺序读取。 针对训练 训练 ，、，求。 答：。 ；与对应。 先补出原三角形第三个角，再对应到另一图形。 针对训练 训练 ，BC为，EF为。求BC。 答：。 得。 BC为。 题目要求边长，求出x后还要代回。 针对训练 训练 ，B、M、N、C依次共线，。求BM、NC。 答：BM=NC=5。 BN与CM对应，所以CM=7。 BM=BN-MN=5，NC=CM-MN=5。 相等长线段减去同一公共部分，得到剩余线段相等。 针对训练 训练 已知，补全______。 答：。 C对应E、A对应D、B对应F。 重新排列时保持三组对应映射不变。 针对训练 训练 两块三角形标志板完全重合，第一块三个边长为25、30、35厘米。第二块周长多少？ 答：90厘米。 全等对应边相等，所以第二块边长也是25、30、35厘米。 周长为25+30+35=90厘米。 全等图形的边长集合相同，对应顺序不影响周长。 针对训练 训练 工人将三角形模板ABC翻面后盖在零件DEF上，A对应F、B对应D、C对应E。模板A角为48度、B角为62度，求零件E角。 答：70度。 模板C角为180-48-62=70度。 C对应E，所以E为70度。 翻面改变朝向，不改变角度；按给定顶点对应取角。 方法归纳 本课解题方法 识别对应元素 ① 用运动过程或全等式确定顶点对应。 ② 角用完整三字母表示，边用两端点逐一对应。 使用全等性质 ① 先写对应边角相等，再代入已知数值。 ② 长短线段用和差，角度计算结合内角和与公共角。 $