15章综合与实践- 最短路径问题课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15章 最短路径问题 综合与实践 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 从生活路线到线段的和 观察情境 先到河边取水，再去另一处，或在两岸之间选建桥位置，都需要比较不同路线的长度。 数学问题 把地点看作点、笔直边界看作直线，将路线长度表示为线段长度的和，再寻找最短路线。 复习引入 已有的两条基本事实 两点之间 “两点之间，线段最短”。确定起点和终点后，若可以直接通行，连接两点的线段给出最短路线。 点到直线 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。终点可在直线上任取时，要关注垂足。 复习引入 辨一辨 分别说明怎样找最短路线。 （1） 从固定点到固定点。 （2） 从点到直线上的一点。 （1） 答：沿线段。 起点、终点固定，使用两点之间，线段最短。 （2） 答：沿从向作出的垂线段。 终点可选，使用垂线段最短。 先确定哪些点固定、哪些点能移动。 活动准备 本次研究怎样展开 活动目标 会把生活中的最短路径问题转化为数学问题，通过逻辑推理说明结论，并用结果解释实际路线。 两种转化 遇到折线路径，可尝试轴对称展开；遇到固定长度的桥，可尝试平移后比较剩下的路程。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地。牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 答：在河边寻找点，使最小。 把笔直河边近似看作直线。 饮马点必须位于河边，不能直接把当作满足要求的路线。 路线必须满足到河边这一约束。 活动探究 任务 如果点是直线异侧的两个点，如何在上找一点，使与的和最小？ A B C l 答：连接，取它与的交点。 此时。 另取不同的点，折线的长度大于。 最短时三点按A、C、B的顺序共线。 活动探究 任务 在任务1中，点在直线的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为两点在直线异侧的问题吗？ A B C B' l 答：作关于的对称点，连接，与交于。 对河边任意一点，都有。 因此，比较的总长度保持不变。 对称只替换一段长度，关键是边界上的点到对称点等距。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地。牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ A B C B' l 答：最短饮马点是与的交点。 是关于的对称点，所以。 ，得到满足约束的直线路径。 先作对称点，再连线取交点；不是任取一个垂足。 活动探究 任务 证明你在任务1中得到的结论。设为所作饮马点，在上另外任取一点，比较与。 A B C B' l 答：。 由轴对称，，。 由三角形两边之和大于第三边，。 证明中要比较任意其他点，不能只比较某一个试选点。 易错提醒 为什么只连起点和终点不够 常见误解 原图中在河边同侧，直接走虽然短，但不一定经过河边，不符合任务要求。 判断标准 最短路线应先满足所有条件。通过轴对称保持长度，再把折线拉直，才能得到符合条件的最短方案。 活动探究 任务 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决。 A B C B' l 答：例如：从住处到笔直道路边取快递，再到学校。 住处和学校在道路同侧时，作学校关于道路的对称点。 连接住处与该对称点，交道路的位置就是最短取件位置。 说明道路允许取件的位置范围；交点必须在可选路段上。 巩固练习 变式 牧民从A到笔直河岸l饮马，再到同侧B。判断两种作法是否可行。 （1） 作的对称点，连接。 （2） 作的对称点，连接。 A B C B' l （1） 答：可行。 得到直线与河边的交点。 （2） 答：也可行。 两条辅助线互为对称，在对称轴上有相同交点。 作一个端点的对称点即可，选便于作图的一端。 方法归纳 一次到边界：方法归纳 模型判断 ① 先检查两点在边界同侧还是异侧。 ② 同侧用对称，异侧直接连线。 最短证明 ① 用对称把两段之和改写为折线长。 ② 比较任意其他点，使用三角形两边之和大于第三边。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到处。牧民怎样走可使所走的路径最短？ 答：分别把起点关于草地边、河边作对称点，用连接两对称点的线段确定停留位置。 两条边界可近似看成相交直线，设草地停留点为，河边停留点为。 要使最小，需同时处理两次折转。 按草地、河边的访问顺序选择两个交点。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到处。牧民怎样走可使所走的路径最短？ O A C D A' B' 草地边 河边 答：作、，分别为关于草地边、河边的对称点；连接，依次交两边界于。 ，，中间的保持不变。 于是，共线时等于。 图中表示起点关于第二条边界的像，不是另一个终点。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到处。牧民怎样走可使所走的路径最短？ O A C D A' B' 草地边 河边 答：路线最短。 对其他可选点，总长等于。 该折线长不小于；所作使折线展开为一条线段。 先检查连接线确实按顺序穿过两条可用边界。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处。牧民怎样走可使所走的路径最短？ O A B C D A' B' 草地边 河边 答：作关于草地边的像，作关于河边的像，连接。 与草地边、河边依次交于时，取路线。 原路线总长等于，共线时最短。 第一条边界对应起点，第二条边界对应终点。 活动探究 任务 如图，牧民从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处。牧民怎样走可使所走的路径最短？ O A B C D A' B' 草地边 河边 答：对所有满足访问顺序的停留点，所作路线不长于其他路线。 任取草地边与河边，。 折线不短于线段。 如果交点落在边界延长线上，必须重新检查实际可行范围。 活动探究 任务 牧民每天从生活区的边沿处出发，先到草地边的处牧马，再到河边的处饮马，然后回到处。如何确定的位置，使所走的路径最短？ O V W A B C 答：把三条边界围成的锐角三角形作为场地模型，最短路线的三个停留点取三条高的垂足。 先固定生活区边上的，对另外两条边分别作的对称点。 连接两个对称点确定；再比较沿生活区边移动时的展开长度。 图示用等边三角形展示作法；一般锐角三角形中也取三条高的垂足。 活动探究 任务 牧民每天从生活区的边沿处出发，先到草地边的处牧马，再到河边的处饮马，然后回到处。如何确定的位置，使所走的路径最短？ O V W A B C 答：生活区边上的点应选为对面顶点的垂足；另两点由对称展开确定。 两次对称后，连接两像所得等腰三角形的顶角固定，腰长等于该顶点到的距离。 同顶角等腰三角形的底边随腰长增减；顶点到生活区边的垂线段最短，因此取垂足。 若场地不是锐角三角形，垂足可能在延长线上，应按边界范围另作讨论。 活动探究 任务 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决。 O A B C D A' B' 墙面1 墙面2 答：如从展馆入口出发，先到两面直墙上的服务点，再到出口。 两面墙近似看作相交直线，入口、出口分别关于对应墙面作对称。 连接像点确定两个服务点，再检查是否位于可用墙段。 访问顺序和可用范围必须写入题目条件。 阶段归纳 两次到边界：先把图画完整 保持哪些长度 对称只改变表示方式，不改变起点到第一停留点、第二停留点到终点的长度。两停留点间的线段保持不动。 检查哪些条件 连接像点后，要确认交点顺序、边界范围均符合任务。若有围栏或禁行区，简单直线模型可能不再适用。 活动探究 任务 如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥。桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直。） 答：桥长等于河宽，属于固定量，只需使两岸陆路最短。 河岸平行且桥垂直河岸，所以移动桥位时的长度不变。 把跨河的一段分离出来，寻找能保持陆路长度的平移。 不能任意斜放桥梁来缩短陆路，桥必须垂直河岸。 活动探究 任务 如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥。桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直。） A B M N A' 答：把沿垂直河岸方向平移一个河宽到，连接，交近的河岸于。 过作河岸的垂线，交另一岸于。 构成平移对应，；于是。 平移的方向和距离都要准确：朝对岸移动一个河宽。 活动探究 任务 如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥。桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直。） A B M N A' 答：所作桥位使总路程最短，最短路程等于加河宽。 任取其他桥位，平移后，因此陆路长度。 由两点之间线段最短，；桥长相同，总长比较一致。 最终答案中要加回固定桥长。 活动探究 任务 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决。 A B M N A' 答：例如：跨越宽度固定、两侧平行的绿化带修一条垂直通道，使两侧两点间总路程最短。 先把一侧端点朝另一侧平移一个带宽。 连接像点与另一端点确定通道出口，再作垂线确定入口。 只在宽度固定且通道垂直边界的模型下使用这一作法。 活动归纳 小组设计与展示 实施过程 每组选择饮马或造桥模型，画出已知点、边界及可行区域。先作图提出方案，再用等距关系和线段比较解释。 交流评价 比较不同方案时，说明它们是否满足同样约束。评价重点是长度保持的理由与最短性证明是否完整。 课堂练习 练习 请分别选择“直接连接、轴对称、平移”，并说明理由。 （1） 两点在直线同侧，路线必须到直线上一次。 （2） 平行河岸间建垂直桥梁，桥宽固定。 （1） 答：轴对称。 将同侧转成异侧，保持折线总长。 （2） 答：平移。 移去固定桥宽后比较陆路两段。 看清需要保持什么长度，再选择变换。 课堂练习 判断 判断下列说法。 （1） 最短路线必须先满足所有指定停留条件。 正确 不满足条件的直线路径不能作为答案。 （2） 作出对称点后，不必检查交点所在路段。 错误 交点必须在实际允许选择的边界上。 （3） 造桥模型平移后所得线段长就是总路程。 错误 总路程还要加上固定的桥长。 区分辅助线段长与原路线总长。 方法归纳 比较最短路线的共同方法 等距转化 ① 写出由轴对称或平移得到的等长关系。 ② 将原路线长度改写为辅助折线的长度。 证明与解释 ① 比较任意其他可行方案。 ② 找到共线时的最小值，并回到实际范围检查。 课堂总结 最短路径 模型条件 辨认固定点、活动点、边界与访问顺序。 一次折转 同侧点用轴对称，异侧点直接连接。 两次折转 分别作两端点的像，用线段依次取交点。 固定跨越 平移移去固定宽度，最后加回桥长。 检验结论 用线段最短说明理由，检查实际可用范围。 针对训练 训练 点A、B在直线l异侧，AB与l交于C。X在l上，怎样使AX+XB最小？ A.任意X　 B.取X=C　 C.取A到l的垂足　 D.取B到l的垂足 A B C l 答：B。 当时，。 其他不共线的路径为折线，总长更大。 本题是异侧，无需先作对称。 针对训练 训练 在直线同侧，点是关于的对称点。直线与交于。填空：，最短总长。 A B C B' l 答：；。 对称轴上的点到一对对称点等距。 依次共线，线段可直接相加。 等距与共线分别承担不同的作用。 针对训练 判断 判断下列说法，并指出依据。 （1） 可以把起点或终点任一端作轴对称。 正确 两种辅助线互为对称，边界上的交点相同。 （2） 最短饮马点一定是起点到河边的垂足。 错误 题目同时涉及终点，还需比较离开河边的一段。 （3） 证明只要比较两个候选点就够了。 错误 应比较任意其他可行点。 “最短”表示对所有可行方案的比较。 针对训练 训练 在同侧饮马问题中，作关于河边的像。测得，其与河边的交点在允许取水的路段内。最短总路程是多少？ 答：。 对称保持到河边的距离，所以原路线总长等于展开的两段之和。 取交点时两段相接成线段，最小值为。 题目给出的距离是展开后的线段长，无需另加或另减一段。 针对训练 训练 点在同侧，为的对称点，。另取且，请补全的证明。 A B C B' D l 答：。 轴对称给出、。 三角形中两边之和大于第三边；共线。 每一个等号与不等号都要能说明依据。 针对训练 训练 某同学作出两个对称点并连接，所得线段先交河边、后交草地边。他直接用这两个交点回答“先牧马、再饮马”的任务。这个答案是否成立？ 答：不能直接成立。 访问顺序与题目要求相反。 必须重新检查对应边界和起终点的像，并保证路线按草地、河边的顺序经过交点。 最短性证明不能替代可行性检查。 针对训练 训练 两岸平行，桥必须垂直河岸。在同一次造桥方案比较中，为什么只需要比较？如果改用不同河宽的另一处河段，能否仍把桥长视为同一个常数？ 答：同一次比较的桥长固定；不同河宽之间不能忽略桥长差异。 桥长等于平行河岸间的距离，沿同一河段移动桥位不会改变它。 比较不同河段时，总长应分别加上各自的河宽。 使用“固定量”之前，先检查比较对象中的条件是否相同。 针对训练 训练 两个营地在一条笔直河岸同侧。游客从出发，到岸边取水后前往。作的对称点，已知且交点位于可用岸段。给出取水点的作法及最短路程。 A B C B' l 答：取水点为与河岸的交点，最短路程。 轴对称保证取水点到与到的距离相等。 展开后线段最短，原路线长度与之相等。 图上的作法应同时说明在哪条直线上取交点。 针对训练 训练 一条笔直绿化带两边平行，宽。两侧的两点之间要修一条垂直穿过绿化带的通道。将向对岸平移到后，，连接线与边界的交点满足通行要求。最短总路程是多少？如何确定通道位置？ A B M N A' 答：最短总路程；由确定对岸出口，再作边界垂线确定入口。 平移后，两段绿化带外道路之和的最小值是。 加上固定通道长，总长为。 先求带外最短路程，再加回固定宽度。 方法归纳 方法总结 轴对称：把折线展开 ① 将起点或终点关于指定边界作对称。 ② 用边界上的点到对称点等距改写长度。 ③ 连接像点，检查交点顺序和允许范围。 平移：分离固定长度 ① 确认河岸平行、通道垂直，跨越长度固定。 ② 沿垂岸方向平移一个河宽，使两段陆路可连成直线。 ③ 用最短线段定位，最后加回固定桥长。 $