15.3 等腰三角形（第4课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.3 等腰三角形（第4课时） 含30°角的直角三角形 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 等边三角形的一半 回顾 等边三角形的一条高把顶角 分成两个 ，同时把底边平分。由此产生含 角的直角三角形。 问题 在这样的直角三角形中，角所对的直角边与斜边有什么关系？能否从任意一个含 角的直角三角形出发证明？ A B C D 探究 探究 在中，，比较与的长度，提出猜想。 A B C 答：猜想。 测量多个符合条件的三角形，可发现相同的倍数关系。 测量仅支持猜想，下面用构造与证明建立结论。 例题讲解 示例 要证明，可改为证明什么等式？ 答：。 在 的延长线上截取 ，形成 。 若进一步证明 ，就得所需的一半关系。 探究 证明 。延长到，使，连接。说明。 A B C D 答：。 ⊥ 且 ，所以 是 的垂直平分线。 在垂直平分线上，到 、 等距。 探究 证明 ，延长到使。已知，说明为等边三角形。 A B C D 答：三角形 是等边三角形。 。 ，等腰三角形有一个 角，因此等边。 探究 证明 ，延长到使。利用等边，证明。 A B C D 答：。 等边给出，而。 所以，即。 新知讲授 三十度角的直角三角形性质 教材定义 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 理解要点 必须先确认直角，再确认 角，最后找到它的对边。不能把相邻直角边误当成 角所对的边。 例题讲解 示例 直角三角形斜边长，一个锐角为。该角所对边长是多少？ 答：。 对边等于斜边一半：。 先找所对边，而不是任意直角边。 例题讲解 示例 一个角所对的直角边长，求斜边。 答：。 斜边为该边的倍，故。 同一性质也可反向用于计算。 例题讲解 示例 直角三角形两锐角之比为，斜边长，较小锐角所对边长是多少？ 答：。 两锐角和为 ，较小角为 。 其对边为斜边一半，即 。 例题讲解 示例 直角三角形一个角为 ，它的两条直角边都等于斜边一半，对吗？ 答：不对。 只有 角所对的直角边满足该关系。 若两直角边相等，两个锐角应为 ，与 不符。 例题讲解 例5 屋架设计图中，点是斜梁的中点，立柱垂直于横梁，。求立柱的长。 答：。 在中，。 。 例题讲解 例5 屋架设计图中，点是斜梁的中点，立柱垂直于横梁，。求立柱的长。 答：。 是中点，所以。 在中，。 例题讲解 变式 在例同样屋架中，若点满足，，求。 答：。 先得。 在小直角三角形中，。 例题讲解 示例 在直角三角形中，。是否可以直接把原性质倒过来使用？ 答：应先说明这个逆向结论成立，再使用。 真命题的逆命题未必为真，需要证明。 仍可延长短边使其加倍，构造等边三角形得到角度。 例题讲解 证明 。延长到，使，求。 A B C D 答：。 垂直平分 ，所以 ；又 ，故 等边。 角 ，原直角三角形中角 。 例题讲解 示例 已知 角与斜边，和已知短边是斜边一半，这两种题的入口有什么不同？ 答：前者由性质求边；后者先通过逆向结论确定角。 从角出发时确认对边，从边出发时确认它是直角边。 二者都必须包含直角三角形条件。 方法归纳 找到三十度角所对的直角边 由角求边 ① 先确认三角形为直角三角形，再标出三十度角。 ② 找它的对边与斜边，写出对边等于斜边一半。 由边求角 ① 已知直角边等于斜边一半时，可补成等边三角形说明该边对角为三十度。 ② 多个直角三角形共用一个角时，分别明确各自斜边，逐级计算。 课堂练习 练习 在中，，和各是多少度？边与之间有什么关系？ A B C 答：；。 ，所以。 对 角，等于斜边 的一半。 课堂练习 练习 在中，，和各是多少度？ A B C D 答：。 把 加倍成 ， 垂直平分 ，得到 。 于是三角形 等边，角 ，角 。 课堂练习 练习 厂房屋顶钢架外框为等腰三角形，，立柱，顶角。与有什么数量关系？ 答：。 两个底角各为 。 在直角三角形 中， 是 底角所对边，所以为斜边 一半。 例题讲解 示例 直角三角形的角对边为，斜边为。求。 答：。 ，解得。 此时对边 ，斜边 ，关系正确。 例题讲解 示例 在直角三角形中，。若，等于斜边一半的是哪条边？ 答：。 角 的对边是 ，斜边仍是 。 角的位置改变时，必须重新寻找对边。 例题讲解 示例 一般三角形中，是否一定有？ 答：不一定。 一条边是另一边两倍，只是长度关系。 缺少直角条件，不能使用本课性质或逆向结论。 例题讲解 示例 等腰直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半吗？ 答：不等于。 两个锐角都是 ，不存在 锐角。 若一条直角边是斜边一半，其对角应为 ，产生矛盾。 例题讲解 示例 一个含角的直角三角形，斜边与短直角边之和为。求这两条边。 答：短边，斜边。 设短边为 ，则斜边为 。 ，解得。 例题讲解 示例 两根立柱都垂直同一横梁，斜梁与横梁成，对应斜梁段长度分别为。立柱高度差是多少？ 答：。 两根立柱长分别为 与 。 高度差为 。 新知讲授 复杂图中单独圈出直角三角形 识别 一幅屋架图可能有很多线段。先单独圈出含已知 角与目标立柱的直角三角形，给它的斜边做记号，再使用一半关系。 防错 大三角形的斜边不一定是小三角形的斜边。每次列式都对应一个明确的三角形，必要时写出三角形名称。 例题讲解 示例 为什么证明一半关系时常把短边延长一倍？ 答：把“一半”改写为“两倍”，再构造等边三角形。 延长使原短边成为新底边的一半。 垂直平分线提供等腰，再用 角得到等边。 课堂总结 含三十度角的直角三角形 条件 直角三角形，含三十度锐角。 性质 该角对边等于斜边的一半。 构造证明 倍长短边→等腰→等边。 逆向结论 直角边为斜边一半→对角三十度。 应用 明确三角形、斜边、对边后列式。 针对训练 训练 ，哪条边等于斜边一半？ 答：。 先找角 的对边 ，再确认斜边为 。 不能把邻边 AC 代入。 针对训练 训练 直角三角形斜边，一个锐角，求它的对边。 答：。 。 斜边乘二分之一。 针对训练 训练 角所对直角边为，求斜边。 答：。 。 从短边求斜边要乘二。 针对训练 训练 直角三角形两锐角相差，求两角。 答：。 和为 ，差为 ，较小角为 ()/。 角度确定后才能用边长性质。 针对训练 训练 ，求。 答：。 是斜边 的一半，所以它的对角 为 。 关注给定短边的对角。 针对训练 训练 角对边为，斜边为，求。 答：。 ，解得。 列式时短边的整个表达式都要乘二。 针对训练 训练 等腰三角形顶角，腰长，求底边上的高。 答：。 底角为 ，高是直角三角形中该角所对的边。 先从等腰结构中分出直角三角形。 针对训练 训练 一边长 ，另一边长 的三角形，一定含 角吗？ 答：不一定。 还需是直角三角形，且 为斜边、 为直角边。 边的名称与图形条件不可省略。 针对训练 训练 一架长的梯子斜靠竖直墙面，与水平地面成。梯子顶端距地面多高？ 答：。 墙面与地面垂直，梯子为斜边，高为 角的对边。 现实条件对应直角、斜边与对边。 针对训练 训练 一根斜拉杆与水平横梁成，其一端固定在距横梁的垂直立柱顶端。斜拉杆长多少？ 答：。 立柱高度是 角所对的直角边，斜拉杆是斜边。 用已知高乘二得到斜边。 方法归纳 找到三十度角所对的直角边 由角求边 ① 先确认三角形为直角三角形，再标出三十度角。 ② 找它的对边与斜边，写出对边等于斜边一半。 由边求角 ① 已知直角边等于斜边一半时，可补成等边三角形说明该边对角为三十度。 ② 多个直角三角形共用一个角时，分别明确各自斜边，逐级计算。 $