第15章 15.3 等腰三角形 ----等边三角形的性质和判定 课件 2026-2027学年 人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形 ----等边三角形的性质和判定 1.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B C D 解：∵AB=AC， ∴ ∠C= ∠B=30°， ∵BD = CD，∴AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC = 90°. ∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°. 作业检查 2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， ∴ 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm， 10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 情景引入： 10cm 10cm 6cm 10cm 10cm 10cm 问题1 什么样的三角形是等边三角形? 三边都相等的三角形是等边三角形 问题2 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？ 从边的角度：两腰相等 　　从角的角度：等边对等角 　　从对称性的角度：轴对称图形、三线合一 A B C A B C 问题3 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边上的高、 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 课本80页第1题 对称轴是顶角平分线 或底边上的高、中线所在的直线 探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论? 等腰三角形 两腰相等 等边对等角 轴对称图形 三线合一 等边三角形 三条边相等 三个角相等 轴对称图形 三线合一 已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明：∵ AB = AC ∴∠B =∠C (等边对等角) 同理，∠A =∠C ∴∠A =∠B =∠C ∵∠A +∠B +∠C = 180° ∴∠A =∠B =∠C = 60° A B C 等边三角形的性质 一 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 等边三角形的判定 二 等边三角形的判定1: 三个角都相等的三角形是等边三角形 已知：在△ABC中，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵∠A =∠B，∠A =∠C ∴BC =AC，BC =AB ∴BC =AC=AB ∴ △ABC 是等边三角形 等边三角形的判定2: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 已知：在△ABC中，AB=AC，∠A =60° 求证：△ABC是等边三角形 等边三角形的判定 二 证明：∵AB=AC ∴∠C =∠B ∵∠A +∠B +∠C =180°， ∠A =60° ∴∠C =∠B=60° ∴∠A =∠B =∠C =60° ∴ △ABC 是等边三角形 例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A= ∠B= ∠C ∵DE//BC ∴∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴△ADE是等边三角形 A B C D E 变式1 等边三角形ABC中若点D、E 在边AB、AC 的延长线上， 且DE∥BC，△ADE是等边三角形？ A B C D E 证明：∵△ABC 是等边三角形 ∴∠A =∠ABC =∠ACB =60° ∵DE∥BC ∴∠ABC =∠D,∠ACB =∠E ∴∠A =∠D =∠E ∴△ADE 是等边三角形 证明： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=60° ∵AD=AE ∴△ADE是等边三角形 变式2 在等边三角形ABC若点D、E 在边AB、AC 上，且AD=AE，求证：△ADE 是等边三角形 A B C D E 1.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度 数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm，EC =2cm，则△ADE的周长是 cm. 12 B 课堂练习： A B C D F A C B D E 课堂小结： 2. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有 ( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 D A C B D E O 1. 等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是 ( ) A．105° B．120° C．135° D．150° B 当堂巩固 3. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD = BF，则∠CDF 的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm. A C B D E B B C D A F 12 $