15.1 图形的轴对称（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.1 图形的轴对称（第1课时） 轴对称及其性质 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 从生活中的对称出发 观察 桥梁倒影、建筑外形、脸谱与交通标志中，都能看到左右或上下呼应的部分。先选定一个图案，想象沿某条直线折叠。 任务 用“能否完全重合”说明你的判断。对称不仅是看起来相似，还要求折叠后的每一部分都能找到对应部分。 新知讲授 窗花为什么能对称 操作 把纸对折，沿折叠后的轮廓剪出图案，再打开纸。折痕两侧的边缘来自同一次剪切，所以展开后能够成对重合。 发现 折痕给出了判断对称的方向。若移动折痕或只比较局部，未必仍能重合；判断时应考察整个图形。 新知讲授 建立本课研究问题 先判断 怎样把“看起来对称”说得准确？我们将把折叠、重合、直线三个关键词连起来，区分一个图形与两个图形的情况。 再研究 如果两个点折叠后重合，它们与折痕有什么位置和数量关系？这将帮助我们把直观观察转化成可计算的几何条件。 新知讲授 轴对称图形 教材定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。 理解要点 抓住一个图形、沿直线折叠、两旁互相重合。对称轴是一条直线，不能只画图形内部的一小段。 新知讲授 定义中的三个关键条件 平面与直线 研究对象是平面图形，折叠沿一条直线进行。对称轴可以穿过图形，也可以使图形分成若干相互对应的部分。 完全重合 折叠后，边界、内部图案和标记都要对应。只有外轮廓相同而内部文字方向不同，不能直接断定整个图案轴对称。 例题讲解 示例 长方形的两条对角线一定是对称轴吗？说明理由。 答：一般长方形的对角线不是对称轴。 沿对角线折叠，邻边一般不能重合。 过两组对边中点的直线才是一般长方形的两条对称轴。 例题讲解 示例 正方形有几条对称轴？逐一指出。 A B C D 答：条。 两条对角线都是对称轴。 两组对边中点的连线所在直线也是对称轴。 新知讲授 怎样找对称点 折叠追踪 选一个顶点，想象沿候选轴折叠，观察它落在何处。两个点必须在同一次折叠中重合，不能仅凭距离远近任意配对。 轴上特殊点 对称轴上的点折叠时位置不变，它的对称点就是自身。对称轴两侧的点则成对出现，连线跨过对称轴。 A B C A' B' C' M N 新知讲授 两个图形成轴对称 教材定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。 理解要点 这里研究的是两个图形的位置关系。这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点仍叫作对称点。 新知讲授 从门、图案到多边形 观察 每一对图形的中间都有一条虚线。将一侧沿虚线折叠，另一侧若与之完全重合，就建立了两个图形的轴对称关系。 标点 在多边形中追踪点的对应位置。点的名字可以不同，但对应顺序必须一致；对称变换不会改变边长与角的大小。 例题讲解 示例 两个同样大小、同样朝向的字母 并排放置，它们成轴对称吗？ 答：两个同向 不成轴对称。 全等只说明形状、大小相同。 关于中间竖直直线折叠后，字母朝向改变，不能与另一个同向 重合。 新知讲授 一个图形与两个图形 区别 轴对称图形研究一个图形自身的特征；两个图形成轴对称研究两个图形之间的位置关系。描述时先说清研究对象。 联系 把轴对称图形沿轴分开，两部分关于该轴对称；把成轴对称的两个图形看成整体，这个整体就是轴对称图形。 例题讲解 示例 与关于直线对称，写出对应边和对应角。 A B C A' B' C' M N 答：，，；对应角分别相等。 点依次对应。 例如，中间顶点也必须对应。 新知讲授 轴对称保持形状和大小 性质 成轴对称的两个图形全等。折叠后的重合直接保证对应线段相等、对应角相等，可以用于求边长和角度。 限制 反过来，仅知道两个图形全等，不能保证它们当前的位置成轴对称。还需要有一条直线使它们能够折叠重合。 A B C A' B' C' M N 探究 探究 与关于对称，交于。与、与有何关系？ 答：；。 折叠时点重合，轴上的交点不动，因此交点到两端点距离相等。 两个邻角折叠后重合且和为平角，所以均为直角。 新知讲授 从一对点推广到所有对称点 位置关系 对任何一对不在轴上的对称点，连接它们后得到的线段都与对称轴垂直。因此，不同对称点的连线方向彼此平行。 数量关系 对称轴通过每一条对应点连线的中点。点到轴的距离相同，所以不能把“在轴两侧”单独当成对称的充分条件。 A B C A' B' C' M N 新知讲授 轴对称的核心性质 教材定义 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 理解要点 垂直平分同时包含两个条件：相交成直角、交点是中点。应用性质时，通常要把文字转化成一个垂直关系和一个等长关系。 新知讲授 线段的垂直平分线 教材定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 理解要点 对称轴就是每一对不同对称点所连线段的垂直平分线。本课先掌握定义，下一课再研究垂直平分线上的其他点。 例题讲解 示例 直线与交于。若，能否直接断定关于对称？ 答：不能。 等长只说明是的中点。 还需要，两个条件同时满足才能确定对称关系。 例题讲解 示例 点关于对称，与交于。已知，求。 答：。 对称轴垂直平分，所以。 。 例题讲解 示例 点关于直线对称，是连线与轴的交点，，。求及。 答：，。 由，得，解得。 ，所以。 例题讲解 示例 两个三角形关于对称。原三角形两个内角为，求对应图形中第三个角。 答：。 原三角形第三角为。 轴对称保持角度，对应角也等于该角。 方法归纳 把折叠语言转成几何关系 判断轴对称 ① 先选候选直线，再检查折叠后全部部分能否重合。 ② 两个图形必须有共同的对称轴，不能只比较形状大小。 应用对称性质 ① 按对应顺序列出相等的边、角，轴上的点对应自身。 ② 对称点连线与轴垂直，并被轴平分；两个条件必须同时使用。 课堂练习 练习 如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴。 答：（）是；（）不是；（）是；（）不是；（）是。 蝴蝶图案和高速公路标志均关于竖直中线对称。 正方形有四条对称轴；飞机朝向与太极图内部曲线使相应折叠不能重合。 课堂练习 练习 如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点。 答：（）是；（）不是；（）是。 （）（）的对称轴为两图案中间的竖直直线。 例如（）两图案最上方横画的外端点互为对称点；（）两个 同向，折叠不能重合。 课堂练习 练习 线段与关于对称，交于，连接。（）写出相等线段及的垂直平分线。 答：，，；垂直平分线是。 对应线段相等，轴上的点与自身对应。 连接对称点的线段被垂直平分。 课堂练习 练习 线段与关于对称，交于，连接。（）填写：两三角形关于______，______，______，______。 答：成轴对称；；；。 对应自身，分别对应。 按同一对应顺序书写全等符号和对应角。 课堂练习 练习 和关于直线对称，，。求和。 答：，。 成轴对称的两个图形全等。 由对应角相等、对应边相等直接得到结果。 课堂练习 练习 一个方形标牌外轮廓是正方形，内部只在左上角画一个小圆。整个标牌一定有四条对称轴吗？ 答：不一定。 四条轴是正方形外轮廓的对称轴。 内部小圆也必须折叠重合；整体图案的对称轴应同时满足内外图案的要求。 课堂总结 轴对称及其性质 一个图形 沿直线折叠，两旁互相重合。 两个图形 沿同一条直线折叠，两个图形重合。 对应关系 成轴对称的图形全等，对应边和角相等。 核心性质 对称点连线被对称轴垂直平分。 判断注意 同时看全部图案；垂直与平分缺一不可。 针对训练 训练 判断一个图形是否为轴对称图形，最准确的依据是哪一项？. 左右大小相等；. 能沿某直线折叠重合；. 有两条相等的边；. 图形全等。 答：选 。 轴对称的定义同时要求一条折叠直线和两侧完全重合。 判断要回到定义中的完整条件。 针对训练 训练 长方形（非正方形）、正方形、圆分别有多少条对称轴？ 答：条、条、无数条。 长方形取两组对边中点连线；正方形再加两条对角线。 圆的每一条直径所在直线都是对称轴。 对称轴应是直线，圆的半径本身不是对称轴。 针对训练 判断 判断下列说法。 （1） 成轴对称的两个图形一定全等。 正确 折叠重合保证形状和大小相同。 （2） 全等的两个图形一定成轴对称。 错误 同向并排的两个 提供反例。 （3） 对称轴上的点的对称点是自身。 正确 折叠时轴上的点不移动。 （4） 对称点到对称轴的距离相等。 正确 对称轴垂直平分对称点连线。 每个判断都给出定义、性质或反例。 针对训练 训练 点关于直线对称，交于，若，求。 答：。 。 。 先明确所求的是全长还是到轴的距离。 针对训练 训练 对称点的连线交对称轴于，，。求和。 答：，。 由得。 ，故。 用平分得到等式，再求完整线段。 针对训练 训练 与关于直线对称，，，求。 答：。 。 。 先在同一个三角形内统一已知角。 针对训练 训练 两个轴对称三角形中，第一个三角形的周长为，两条边分别为。第二个三角形与剩余边对应的边长是多少？ 答：。 第一个三角形剩余边长为。 对应边长度相等，所以所求边为 。 轴对称保持所有边长，也保持周长。 针对训练 训练 四边形与形状大小相同，且垂直平分。能否只凭这些条件判定两四边形关于对称？ 答：不能。 一对顶点满足对称条件，不代表其余顶点都满足。 还应检查其他对应顶点关于同一条直线的对称关系。 整体判断必须覆盖所有关键点。 针对训练 训练 一块展板关于竖直中线对称，左右边缘的对应点为。点到中线的距离是，求同一水平高度上的展板宽度。 答：。 轴垂直平分，左右半宽均为。 。 实际宽度对应对称点连线的全长。 针对训练 训练 花园设计了两个关于直线对称的三角形花坛。一个花坛三边长为，两个花坛分别围边且不共用边，共需围边多少米？ 答：。 一个花坛周长为。 两个花坛全等，周长相等，围边共为 米。 对称保证两份相同的周长，注意是否共用边。 方法归纳 把折叠语言转成几何关系 判断轴对称 ① 先选候选直线，再检查折叠后全部部分能否重合。 ② 两个图形必须有共同的对称轴，不能只比较形状大小。 应用对称性质 ① 按对应顺序列出相等的边、角，轴上的点对应自身。 ② 对称点连线与轴垂直，并被轴平分；两个条件必须同时使用。 $