15.1 图形的轴对称（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.1 图形的轴对称（第2课时） 线段的垂直平分线及互逆命题 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 从轴对称回到等距 复习 对称轴垂直平分对称点连线，轴上的点折叠时不动。连接轴上任意一点与一对对称点，会得到怎样的两条线段？ 本课任务 先从折叠和测量提出猜想，再用全等三角形证明。随后交换题设与结论，研究反过来是否成立。 A B C P 例题讲解 示例 点固定，怎样描述所有满足的点的位置？ 答：这些点恰好在线段 的垂直平分线上。 先在垂直平分线上任取点，比较到两端的距离。 再考虑已知等距的点是否必在线上，两方面缺一不可。 新知讲授 测量得到猜想 操作 在的垂直平分线上依次取，连接各点与。分别测量同一点到两个端点的距离。 发现 各组长度分别相等。测量只为发现规律，不能覆盖直线上所有点；下面要用全等证明解释为什么总是成立。 新知讲授 垂直平分线的性质 教材定义 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 理解要点 已知条件是点的位置，得到的结论是两条线段相等。必须先确认这条直线同时满足垂直与平分两个要求。 探究 证明分析 直线，垂足为，，点在上。求证。 A B C P 答：可证明。 是已知，是公共边。 ，符合。 探究 证明 直线，垂足为，，点在上。求证。 A B C P 答：。 当时，由及两夹角相等，得。 所以；当时，由直接成立。 例题讲解 示例 点在的垂直平分线上，，求。 答：。 先指出点 在线段 的垂直平分线上。 由性质，所以。 例题讲解 示例 点在的垂直平分线上，，。求与。 答：，。 ，解得。 代入得，与一致。 新知讲授 把题设与结论交换 原命题 点在线段的垂直平分线上，是位置条件；点到线段两端距离相等，是数量结论。交换后，数量关系成为新的题设。 新问题 已知两条线段相等，能否得到垂直且平分？可以取原线段的中点并连接该点，利用三边相等证明两三角形全等。 新知讲授 垂直平分线的判定 教材定义 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 理解要点 这个结论把等距变成位置。它说明的不只是“可能在线上”，而是所有满足等距条件的点都必须在这条线上。 例题讲解 证明 已知。取的中点。证明在的垂直平分线上。 A B C P 答：在的垂直平分线上。 当不在上时，由得两三角形全等。 于是；当在上时，等距使。 新知讲授 性质与判定如何选择 看已知 若已知垂直平分线和线上点，用性质推出等距；若已知点到两端等距，用判定确定点的位置。先读条件，再选方向。 看目标 求线段长常用性质，证明一条直线垂直平分某线段常用判定。两种方向可以连续使用，形成由等距到位置再到等距的链条。 例题讲解 示例 ，，且。证明直线垂直平分。 答：直线 是 的垂直平分线。 、 分别到 、 等距，因此两点都在 的垂直平分线上。 两点确定一条直线，所以直线 与这条垂直平分线重合。 例题讲解 示例 仅由，能否判定经过的一条任意直线都垂直平分？ 答：不能。 判定只确定点 在线段 的垂直平分线上。 经过 有无数条直线，只有其中一条是 的垂直平分线。 新知讲授 互逆命题 含义 两个命题的题设、结论正好相反时，称它们为互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，另一个就叫作它的逆命题。 注意 交换不保证真假相同。原命题成立，逆命题可能成立，也可能不成立；判断逆命题时需要证明或给出反例。 例题讲解 示例 原命题：“对顶角相等。”写出逆命题并判断。 答：逆命题：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。”不成立。 交换原命题的题设与结论。 两个不在同一顶点的直角也相等，但不是对顶角。 新知讲授 互逆定理 教材定义 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 理解要点 垂直平分线的性质与判定都已经得到证明，因此它们互为逆定理。互逆定理要求两个命题都成立。 例题讲解 示例 “两直线平行，内错角相等”的逆命题是什么？是否成立？ 答：“内错角相等，两直线平行。”成立。 原命题由平行关系得到角相等。 逆命题由内错角相等判定平行，两者均为已学定理。 方法归纳 等距与垂直平分线的双向转换 由位置得到数量 ① 识别垂直与中点两个条件，确认是哪一条线段的垂直平分线。 ② 线上点到两端距离相等，可作线段替换或列方程。 由数量得到位置 ① 证明一个点到两端等距，确定它在垂直平分线上。 ② 若要确定整条直线，应找出两个不同的等距点。 课堂练习 练习 如图，，，点在的垂直平分线上。的长度有什么关系？与有什么关系？ 答：。 是的垂直平分线，所以。 在的垂直平分线上，所以。 课堂练习 练习 如图，，，点在的垂直平分线上。的长度有什么关系？与有什么关系？ 答：。 已得，又。 因此。 课堂练习 练习 如图，，。直线是线段的垂直平分线吗？为什么？ 答：是。 、 均到 、 的距离相等，故都在 的垂直平分线上。 、 是两个不同的点，因此直线 就是 的垂直平分线。 课堂练习 练习 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立。 （1） 两直线平行，同位角相等。 同位角相等，两直线平行；成立。 这是平行线的判定。 （2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。 若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；不成立。 与的绝对值相等，但两数不相等。 （3） 全等三角形的对应角相等。 对应角相等的两个三角形全等；不成立。 边长不同的两个等边三角形对应角都相等。 交换题设和结论，再独立判断真假。 课堂练习 练习 在中，是的垂直平分线，，周长为。求的周长。 答：。 ，。 。 课堂练习 练习 ，，点在上。求证。 答：。 、 都在 的垂直平分线上，故 就是该垂直平分线。 在 上，所以到 、 等距。 课堂练习 练习 在中，边的垂直平分线相交于。（）证明；（）点是否在的垂直平分线上？ 答：；在。 分别使用两条垂直平分线的性质，得到 和 。 由 ，再用判定得 在 的垂直平分线上。 新知讲授 等距点集的理解 所有点 垂直平分线上的每一个点都等距，满足等距的每一个点也都在线上。因此它描述的是恰好由这些点组成的集合。 实际含义 要同时满足到两个地点等距和在某条道路上，应取道路与垂直平分线的交点；若没有交点，则条件不能同时满足。 例题讲解 示例 一条道路与 的垂直平分线平行且不重合。能在道路上找到到 、 等距的点吗？ 答：不能。 到 、 等距的点只能在 的垂直平分线上。 道路与该直线没有交点，所以没有同时满足两条件的位置。 新知讲授 常见失误的定位 遗漏条件 “垂直”不能代替“垂直平分”，只证明两条线垂直，无法推出线上点到线段端点等距。检查时把中点条件单独列出。 对象错配 点到 、 等距，对应的是 的垂直平分线。先圈出两个端点，再确定线段，避免把另一个点或另一条边误代进去。 课堂总结 线段的垂直平分线 性质 线上点到两端距离相等。 判定 到两端等距的点在线上。 互逆命题 题设与结论交换，真假需独立判断。 互逆定理 两个互逆命题都是真命题。 应用步骤 找端点→选方向→列等式或定位置。 针对训练 训练 点在的垂直平分线上，必成立的是：.；.；.；.一定是中点。 答：选 。 线上点到两个端点等距，但不必等于原线段长。 注意结论只涉及到两个端点的距离。 针对训练 训练 在的垂直平分线上，，，求。 答：，。 ，得。 代入。 先依据定理列等式。 针对训练 判断 判断并说明理由。 （1） 等距于 、 的点在线段 的垂直平分线上。 正确 这是垂直平分线的判定。 （2） 只要直线经过 中点，就能使用等距性质。 错误 还需要与 垂直。 （3） 一个真命题的逆命题一定是真命题。 错误 “相等的角是对顶角”不成立。 命题真假取决于完整条件。 针对训练 训练 在线段的垂直平分线上，，。求。 答：。 。 。 只替换有等距依据的线段。 针对训练 训练 写出“如果两个数互为相反数，那么它们的和为零”的逆命题并判断。 答：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数；成立。 由可得。 完整交换条件与结论，不要只变更部分词语。 针对训练 训练 ，，且。点在上，证明。 答：。 由两组等距知 、 都在 的垂直平分线上。 所以 也在这条线上，再由性质得 。 先用判定，再用性质。 针对训练 训练 为中点，且不在上。证明。 答：。 在线段 的垂直平分线上， 也在该直线上。 就是垂直平分线，故与 垂直。 中点提供垂直平分线上的第二个点。 针对训练 训练 点满足且。说明与线段的垂直平分线的关系。 答： 在 的垂直平分线上。 由相等关系的传递性，。 用判定得到位置关系。 两次等距可以组成第三次等距。 针对训练 训练 两个小区的位置为，道路与的垂直平分线相交于。为什么把车站设在，两小区到车站的直线路程一样长？ 答：因为，且在道路上。 交点保证车站在道路上。 垂直平分线的性质保证到两个小区等距。 实际位置是两个条件所对应图形的交点。 针对训练 训练 三个喷灌点构成三角形。设备位于垂直平分线的交点，已测得。到的管长各是多少？ 答：均为。 且。 所以。 每条等距关系都对应一条垂直平分线。 方法归纳 等距与垂直平分线的双向转换 由位置得到数量 ① 识别垂直与中点两个条件，确认是哪一条线段的垂直平分线。 ② 线上点到两端距离相等，可作线段替换或列方程。 由数量得到位置 ① 证明一个点到两端等距，确定它在垂直平分线上。 ② 若要确定整条直线，应找出两个不同的等距点。 $