15.2 画轴对称的图形（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.2 画轴对称的图形（第1课时） 用几何方法画轴对称图形 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 脚印中的镜像 体验 把半透明纸对折，描出一只脚印再展开，可以得到另一只脚印。这样的图形变化使左右方向互换，轮廓与大小保持。 问题 如果不能直接折纸，怎样用作图完成？我们把复杂轮廓分解成一些点，先作点的对称点，再恢复整个图形。 例题讲解 示例 要作点 关于直线 的对称点，需要同时保证哪两个条件？ 答：对应点连线垂直于 ，并被 平分。 方向由垂直关系确定。 位置由两点到轴距离相等、位于轴两侧确定。 新知讲授 从整个图形退到关键点 确定位置 线段由两个端点确定，三角形由三个顶点确定。因此不必逐点复制所有线段，只要准确找到关键点的对称点。 恢复结构 连接时保留原来的连接关系。原来相邻的顶点，其对称点也应相邻；不能按位置远近随意连线，否则会改变图形结构。 例题讲解 示例 已知轴外一点及直线，写出作的方法。 答：过 作 的垂线，垂足为 ，在另一侧取 。 垂线确定对称点所在直线。 在另一侧截相等线段，保证轴是 的垂直平分线。 例题讲解 示例 在过的垂线上取，如果仍在同侧，会得到什么？ 答：会取回原点 ，而不是轴外点 的对称点。 同一射线上距 为确定长度的点只有一个。 对称点应在轴另一侧，轴上点才与自身对应。 例题讲解 示例 点 就在对称轴 上，它的对称点还需要另作吗？ 答：不需要，与 重合。 折叠时轴上的点不移动。 作整图时应保留这个点，不能把它随意移到轴旁。 例题讲解 示例 怎样作线段 关于直线 的对称线段？ 答：作端点 、 的对称点 、，连接 。 两个端点的位置确定整条线段。 连接后的长度与原线段相等。 例题讲解 例1 已知和直线，画出与关于直线对称的图形。 答：三个关键点是 、、。 三角形由三个顶点的位置确定。 分别作顶点的对称点，再按原顺序连接。 例题讲解 例1 已知和直线，画出与关于直线对称的图形。 答：过 作 的垂线，垂足为 ；在另一侧截取 。 由垂直和平分，就是 的对称点。 保持作图痕迹，避免只凭目测放置点。 例题讲解 例1 已知和直线，画出与关于直线对称的图形。 答：同法作 、，连接 、、。 三个顶点均关于同一条直线 对称。 按原连接关系形成的三角形就是所求图形。 新知讲授 作图完成后的三项检查 检查点 逐一检查对应点连线是否与同一条轴垂直、到轴距离是否相等。轴上原有顶点应保持原位，不能遗漏。 检查图 查看连接顺序与原图是否一致，比较对应边长和角度是否保持。图形可能处在轴另一侧或与原图有重叠，重叠并不代表作错。 例题讲解 示例 三角形的顶点 在对称轴上，、 在轴一侧。作对称图形时需要新作几个点？ 答：两个点。 的对称点就是 ，另作 、。 连接 、、。 例题讲解 示例 若三角形的边 在对称轴上，怎样作其对称图形？ 答：保留 、，只作 的对称点 。 轴上的两个端点不动。 连接 、，公共边 保持。 例题讲解 示例 线段 的两端位于对称轴的两侧，对称线段是否一定与原线段分离？ 答：不一定。 两个端点分别作到另一侧，线段可能与原线段相交或部分重合。 以点的对应关系为准，不预设图形必须分开。 例题讲解 示例 若原图形本来关于直线 对称，再作关于 的对称图形会怎样？ 答：所得图形与原图形重合。 每个点的对称点仍属于原图形。 这与轴对称图形的定义一致。 例题讲解 示例 竖直对称轴右侧一个顶点离轴 格，它的对称点在哪里？ 答：同一水平线上，轴左侧 格处。 水平连线与竖直轴垂直。 左右格数相等，轴平分连线。 例题讲解 示例 水平对称轴下方的点距轴 格，它的对称点在哪里？ 答：同一竖直线上，轴上方 格处。 竖直连线与水平轴垂直。 上下距离相等。 例题讲解 示例 对称轴倾斜时，可否把每个点简单水平移到另一侧？ 答：一般不可以。 对应点连线必须与斜轴垂直，通常不是水平线。 先作垂线再截距，而不是沿固定水平方向搬移。 方法归纳 以点定图，依次连接 作一个点的对称点 ① 过已知点作轴的垂线，找到垂足。 ② 在轴另一侧截取相等距离；轴上点保持不动。 作整个图形 ① 先找顶点、端点等关键点，逐点作出对称点。 ② 按原连接关系连线，核查所有对应点连线被轴垂直平分。 课堂练习 练习 如图，把各图形补成关于直线 对称的图形。先完成图（）。 答：保留轴上的顶点，作其余两个顶点的对称点，依次连线。 每个新顶点与原顶点的连线都垂直且被轴平分。 原三角形与新三角形合成轴对称整体。 课堂练习 练习 如图，把各图形补成关于直线 对称的图形。完成图（）。 答：作折线两个端点和拐点的对称点，再按原顺序连接。 水平轴的对称点在原点的正上或正下方。 保留折线的两段连接关系，不额外封闭图形。 课堂练习 练习 如图，把各图形补成关于直线 对称的图形。完成图（）。 答：保留轴上的两个点，逐一补出左侧轮廓各顶点的右侧对称点并连接。 凹入的拐点也属于关键点，不能遗漏。 完成后检查外轮廓的尖角和凹角能否折叠重合。 课堂练习 练习 用纸片剪一个三角形，分别沿它一边上的中线、高及这边对角的平分线对折，看看哪些部分能重合，哪些不能。先沿中线观察。 答：一般三角形两部分不重合；中线只保证底边被分成等长两段。 中线不一定垂直底边，底边两段也不一定折叠到同一直线上。 不能把“分成等长”误解成“整个三角形对称”。 课堂练习 练习 用纸片剪一个三角形，分别沿它一边上的中线、高及这边对角的平分线对折，看看哪些部分能重合，哪些不能。继续比较高与角平分线。 答：沿高折叠，底边所在直线可重合但端点未必重合；沿角平分线折叠，两边所在射线重合但端点未必重合。 高保证垂直，不保证底边被平分。 角平分线保证两侧角相等，不保证两边长度相等。 课堂练习 练习 把图中各图形补成关于直线 对称的图形。 答：分别作全部顶点和拐点的对称点，再按原连接方式补图。 前两图要同时关注内轮廓；第三图补出另一半树形。 第四图部分跨轴，允许原图与像重叠，轴上交点不动。 例题讲解 示例 补画一个带凹口的多边形，只作外侧尖角而漏掉凹口顶点，结果会怎样？ 答：得到的轮廓与原图不能完全重合。 凹口顶点决定边界转折方向，也是关键点。 补画时按边界逐点检查，防止漏点或错连。 例题讲解 示例 一条折线三段分别长 、、，作出它的对称折线后，新折线总长是多少？ 答：。 对称前后每一段长度保持不变。 总长为。 新知讲授 用性质代替目测 从观察到证据 “看着差不多”只能作为初步检查。真正保证对称的是每对关键点满足垂直平分关系，这比比较两个轮廓的大致形状更可靠。 工具选择 在方格纸上可以数格子；在一般位置用尺规作垂线并截取等长。无论采用哪种工具，使用的几何依据始终相同。 例题讲解 示例 完成三角形对称图后，应怎样用一句话交代结果？ 答：就是关于直线对称的图形。 说明原图、像及所依据的同一条对称轴。 按顶点对应顺序命名，使每条对应边可以核对。 课堂总结 画轴对称的图形 依据 对称点连线被轴垂直平分。 作点 作垂线→找垂足→另一侧截等距。 作图 选关键点→逐点作像→依次连线。 特殊点 轴上点保持不动。 检查 距离、方向、连接关系同时核对。 针对训练 训练 作轴外一点的对称点，先做什么？ 答：过该点作对称轴的垂线。 垂线先确定对称点的方向。 不是先估计一个等距点。 针对训练 训练 点 在对称轴 上， 的对称点在哪里？ 答：仍是 。 折叠时轴上的点不移动。 原有轴上点直接保留。 针对训练 训练 竖直轴左侧 格的点，其对称点到原点的水平距离是多少格？ 答：格。 另一侧也距轴 格，连线全长 。 区分到轴距离和两点之间距离。 针对训练 训练 作五边形的对称图形，通常需要先处理哪些点？ 答：五个顶点。 作五个顶点的对称点，再按边的原连接顺序连线。 顶点决定直线边组成的多边形。 针对训练 训练 一条折线有两段，长分别为 和 。其对称折线总长是多少？ 答：。 轴对称保持每段长度，总长为 。 保持连接关系也保持折线长度。 针对训练 训练 作出的对称三角形与原三角形有重叠，能据此判错吗？ 答：不能。 轴可能穿过原三角形，正确的像也可能与原图重叠。 检验关键点，不以分离与否判断。 针对训练 训练 某点到轴 格，作图者在原来同侧又找距轴 格的点，是否充分？ 答：不充分。 轴外点的对称点应在轴另一侧，并且连线垂直于轴。 方向和位置两个条件都需满足。 针对训练 训练 先把图形关于 对称，再把所得图形关于同一条 对称，最后得到什么？ 答：原图形。 每个点第一次到对应位置，第二次回到原位置。 逐点说明即可覆盖整个图形。 针对训练 训练 校徽右半边轮廓有 个拐点，其中 点在中线上。补全左半边需要另作几个不同点？ 答：个。 轴上 点保留，其余 点分别作到轴另一侧。 先区分轴上点与轴外点。 针对训练 训练 一张对称园区图中，左侧由三个端点确定两段道路。怎样画右侧道路并保持各段长度？ 答：作三个端点关于园区中线的对称点，按原两段道路的连接关系连线。 轴对称保持对应线段长度；连接关系保持道路结构。 几何位置与道路连接关系同时保留。 方法归纳 以点定图，依次连接 作一个点的对称点 ① 过已知点作轴的垂线，找到垂足。 ② 在轴另一侧截取相等距离；轴上点保持不动。 作整个图形 ① 先找顶点、端点等关键点，逐点作出对称点。 ② 按原连接关系连线，核查所有对应点连线被轴垂直平分。 $