精品解析：黑龙江哈尔滨市第四十九中学2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测试卷

哈49中学2026～2027学年度（上学期）九年级 数学学科阶段性作业 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A. B. C. D. 3. 若方程的一个根为3，则的值为（ ）． A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 5. 在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosB的值等于( ) A. B. C. D. 6. 如图，已知，长为，长，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，中，，，为，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 某晶圆加工厂2023年生产芯片500万片，2025年生产芯片720万片，若2024年、2025年的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距离墙，长，则梯子长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，D是边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 把方程化成一般形式是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 13. 已知方程的两个根为，，则________． 14. 如图，在中，，于D，若，，则长为________．     15. 如图，“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．如图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第①个图形中有14个碳原子，第②个图形中有18个碳原子，第③个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第⑩个图形中，碳原子的个数为________． 16. 如图，，且，，则的面积是________． 17. 香坊区篮球友谊赛采用单循环赛制（即每支球队与其他球队各赛1场），共赛36场，则参加本次比赛的队伍数量为________． 18. 如图，某小区规划在一个长为米、宽为米的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分铺草坪，要使草坪的总面积为平方米，则通道的宽为________米． 19. 在中，，，点在边所在的直线上，且，过点作交边所在的直线于点，则的长为__________． 20. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，点M在上，连接交于点N，．已知，．下列说法正确的是________． ①；②；③；④点P在上运动，连接，，则的最小值为． 三、解答题（21、22题每题7分；23、24题每题8分；25、26、27题每题10分，共60分） 21. 用适当方法解下列一元二次方程： （1） （2） 22. 先化简，再求代数式的值，其中． 23. 如图，在的长方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，作边上的高； （2）如图2，在边上确定一点E，使得，连接，直接写出的值． 24. 在中，，E为中点，D为边上一动点（点D不与端点A，B重合），连接，过点A作交延长线于点F，连接． （1）如图1，当时，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，当长为正整数时，直接写出四边形的面积． 25. 囤秋菜是东北标志性民俗，十月份街上大车开始卖秋菜，全家一起挑菜、装车、运回家、晾晒秋菜，是独有的市井烟火气，属于冰城入秋的标志性场景．“遇数临风”数学活动小组利用十一假期调查市场白菜行情，帮菜农解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调研发现：市面上某品种白菜的成本价约为元/千克．售价为元/千克，每天可销售1250千克．若每千克白菜涨价元，每天少销售50千克． （1）某天一菜农正好销售1050千克的白菜，则白菜的售价为多少元/千克？ （2）若菜农想一天销售白菜获利1000元，同时为让顾客更省钱，则白菜的售价为多少元/千克？ 26. 已知，正方形中，点E为边上一点，连接，交于点H，点G为上一点，连接，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，延长，交于点F，过点F作交于点M，交于点N，若，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点A，且． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点P在第一象限的直线上，过点P作轴，垂足为C，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点D在x轴的正半轴上，连接，，且，E为中点，连接，交于点F，点G为线段延长线上一点，过点P作轴，垂足为H，连接，若，，作直线，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈49中学2026～2027学年度（上学期）九年级 数学学科阶段性作业 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项方程含、两个未知数，不符合题意； B选项移项整理得，符合题意； C选项分母含未知数，是分式方程，不符合题意； D选项未知数最高次数为1，不符合题意． 2. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 3. 若方程的一个根为3，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴将代入方程得，， 解得． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要判断根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． 【详解】∵a=2，b=3，c=-4， ∴△=b2-4ac=32-4×2×（-4）=41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 5. 在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosB的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， 则cosB=． 故选：B． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系．熟练运用三角函数的定义进行求解是解题关键． 6. 如图，已知，长为，长，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】解：， ， ，， ， ． 7. 如图，中，，，为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 8. 某晶圆加工厂2023年生产芯片500万片，2025年生产芯片720万片，若2024年、2025年的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2023年芯片产量为500万片，年平均增长率为， ∴2024年芯片产量为万片， ∴2025年芯片产量为万片， ∵2025年芯片产量为720万片， ∴可列方程． 9. 如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距离墙，长，则梯子长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点，则可得△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点， 则，， ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 设， 则， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，找准相似三角形，理解并熟练运用相似三角形的性质是解题关键． 10. 如图，中，D是边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 把方程化成一般形式是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 展开方程左边得 ， 移项得 ， 合并同类项得 . 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：与位似，原点是位似中心，且， 相似比为， 又， 点的坐标是，即． 13. 已知方程的两个根为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分后整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根为，，二次项系数，一次项系数，常数项， ∴根据根与系数的关系， 得，， 对通分变形，得， 代入数值计算， 得． 14. 如图，在中，，于D，若，，则长为________．     【答案】 【解析】 【分析】证明得到，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）． 15. 如图，“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．如图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第①个图形中有14个碳原子，第②个图形中有18个碳原子，第③个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第⑩个图形中，碳原子的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察前三个图形中碳原子个数的变化，发现每增加一个图形，碳原子个数增加，从而归纳出第个图形的通项公式． 【详解】解：第①个图形中有个碳原子，； 第②个图形中有个碳原子，； 第③个图形中有个碳原子，； 第个图形中碳原子的个数为； 当时，. 16. 如图，，且，，则的面积是________． 【答案】24 【解析】 【分析】通过相似三角形的相似比可以得出两个三角形的面积比，再根据面积比即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 香坊区篮球友谊赛采用单循环赛制（即每支球队与其他球队各赛1场），共赛36场，则参加本次比赛的队伍数量为________． 【答案】 【解析】 【分析】设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的总场次规律列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设参加本次比赛的队伍数量为， 根据题意列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴参加本次比赛的队伍数量为． 18. 如图，某小区规划在一个长为米、宽为米的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分铺草坪，要使草坪的总面积为平方米，则通道的宽为________米． 【答案】 【解析】 【分析】设通道的宽为米，利用平移法将分散的草坪拼成一个长方形，根据长和宽的变化及草坪总面积列出方程求解． 【详解】解：设通道的宽为米，则草坪部分可拼成一个长为米，宽为米的长方形， 根据题意得，， 整理得：， 化简得：， 解得，， 矩形的宽为米， ， 不合题意，舍去， ． 答：通道的宽为米． 19. 在中，，，点在边所在的直线上，且，过点作交边所在的直线于点，则的长为__________． 【答案】6或12 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，①点在线段上，②点在线段的延长线上，结合，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ，，，， ，即，解得， ； ②当点D在线段BA的延长线上时， ，，，， ，即，解得， ； 综上，的长为或． 20. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，点M在上，连接交于点N，．已知，．下列说法正确的是________． ①；②；③；④点P在上运动，连接，，则的最小值为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用菱形性质及，可得，进而可得，证明，可得与的关系，再结合勾股定理计算线段长度验证①②；利用三角函数定义验证③；利用轴对称性质求最短路径验证④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，，， ∵， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，  在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①∵， ∴， 在中，，故①正确； ②如图，过点作于点， ∵，， ∴ 四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴，故②正确； ③由②可知，， ∴， 在 中，，故③正确； ④如图，作点关于的对称点， ∴垂直平分， 在上取一点，连接，，则， ∴， 当且仅当，，在同一条直线上，即与交于点时，等号成立， ∴此时最小，最小值为线段的长度， ∵， ∴ 在 OD上，， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 三、解答题（21、22题每题7分；23、24题每题8分；25、26、27题每题10分，共60分） 21. 用适当方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 22. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角函数． 先化简分式得到化简结果，根据三角函数求出，代入化简结果计算即可． 【详解】原式 原式 23. 如图，在的长方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，作边上的高； （2）如图2，在边上确定一点E，使得，连接，直接写出的值． 【答案】（1）如图，线段即为所求， （2）如图，点E即为所求，． 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接交于点D，则即为所求； （2）证明可证，取格点D，连接交于点E，证明对角线相交于格点F，然后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：在和中， ， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是边上的高； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴． 连接， ∵四边形是矩形， ∴对角线于相交格点F， ∴． 24. 在中，，E为中点，D为边上一动点（点D不与端点A，B重合），连接，过点A作交延长线于点F，连接． （1）如图1，当时，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，当长为正整数时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形为矩形； （2）当长为正整数1、2、3、4时，四边形的面积分别为、、、． 【解析】 【分析】（1）先根据平行的性质，利用证明，结合全等三角形对应边相等，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形和有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）过点C作于点M，先根据勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求得的长，接着由平行四边形的性质可推出四边形的面积，最后由长为正整数分别代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点M， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴四边形的面积， ∵D为边上一动点（点D不与端点A，B重合），，且长为正整数， ∴当时，四边形的面积， 当时，四边形的面积， 当时，四边形的面积， 当时，四边形的面积， 综上，当长为正整数1、2、3、4时，四边形的面积分别为、、、． 25. 囤秋菜是东北标志性民俗，十月份街上大车开始卖秋菜，全家一起挑菜、装车、运回家、晾晒秋菜，是独有的市井烟火气，属于冰城入秋的标志性场景．“遇数临风”数学活动小组利用十一假期调查市场白菜行情，帮菜农解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调研发现：市面上某品种白菜的成本价约为元/千克．售价为元/千克，每天可销售1250千克．若每千克白菜涨价元，每天少销售50千克． （1）某天一菜农正好销售1050千克的白菜，则白菜的售价为多少元/千克？ （2）若菜农想一天销售白菜获利1000元，同时为让顾客更省钱，则白菜的售价为多少元/千克？ 【答案】（1）白菜的售价为元/千克 （2）白菜的售价为元/千克 【解析】 【分析】（1）设白菜的售价为元/千克，则每天少销售千克， 根据题意，得，解方程即可． （2）设白菜的售价为元/千克，则每天少销售千克，实际销售千克，每千克白菜获利元，根据题意，得． 【小问1详解】 解：设白菜的售价为元/千克，则每天少销售千克， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：白菜的售价为元/千克． 【小问2详解】 解：设白菜的售价为元/千克，则每天少销售千克，实际销售千克，每千克白菜获利元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 为让顾客更省钱， 故舍去， 故符合题意， 答：白菜的售价为元/千克． 26. 已知，正方形中，点E为边上一点，连接，交于点H，点G为上一点，连接，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，延长，交于点F，过点F作交于点M，交于点N，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）证明：过点作，交于点． 由（1）得平分，且， ∴． ∵正方形中，， ∴， 又∵正方形中，， ∴平分， 即． 在和中， ​， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，可知，进而得到，即可证明平分； （2）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质定理得到，根据正方形的性质得到，证明平分，得到，证明，得到，可证； （3）设，则，则正方形边长，证明，得到，求出，可知，进而得到，，由（2）可知，得到，证明，得到，可知，根据勾股定理求出，证明，得到，证明，得到，即，延长交于点R，证明，得到，由已知条件可知是等腰直角三角形，则，根据勾股定理求出，，即可求出线段的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设，则， ∴正方形边长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴，， 如图， 由（2）可知， ∴， ∵在和中， ​， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）， ∴，，，，，，， ∴正方形边长， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点R， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点A，且． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点P在第一象限的直线上，过点P作轴，垂足为C，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点D在x轴的正半轴上，连接，，且，E为中点，连接，交于点F，点G为线段延长线上一点，过点P作轴，垂足为H，连接，若，，作直线，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得点坐标，通过，可得点坐标，将其代入解析式，即可求得； （2）由（1）可知，一次函数的解析式为，，其中，通过表示出答案即可； （3）取的中点，连接，取，连接，设直线交轴于点，过点作于点，作交轴于点，首先证明是的中位线，四边形是矩形，推出四边形是平行四边形，得到，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，从而得到，设，可得，，，可证，得到，从而推出，得到，接着在中利用勾股定理，可得，下一步求解直线的表达式，联立直线可得点，接着证明，得到是等腰直角三角形，设，那么，，将其代入直线的表达式得到点坐标，最后利用待定系数法解题即可． 【小问1详解】 解：将代入一次函数，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数交x轴负半轴于点B， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数的解析式为， ∵点P在第一象限的直线上，设点P的横坐标为t， ∴，其中， ∵过点P作轴，垂足为C， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：取的中点，连接，取，连接，设直线交轴于点，过点作于点，作交轴于点，如图所示： ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵在直角三角形中，是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，不妨设， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（2）可知，，其中， ∴，， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴，，，， ∵是的中点，， ∴． 设直线的表达式为，代入，， ， ∴， ∴直线的表达式为， 同理可求得直线的表达式为． 联立，解得，即， 将代入，可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，那么， ∴，代入直线的表达式，得， ∴，此时． 设直线的表达式为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $