湖南省部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性素质评价数学试题

HUN202610 高二数学·答案 一、选择题 1.答案C 命题透析本题考查集合的交运算. 解析由题意得M∩N={2,4}. 2.答案D 命题透析本题考查复数的运算， 解析（1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i 3.答案D 命题透析本题考查圆的方程 解析由题意，得m2+m2-4m>0,解得m<0或m>2.故实数m的值可能为3. 4.答案B 命题透析本题考查指数函数的单调性、最值。 解析当a>1时，f(x)=a在区间[2,3]上的最大值为a3,最小值为a2,则a3-a2=a2,即a3-2a2=0,又a> 1,解得a=2,此时函数f(x)=2,所以f(a)=2=4;当0<a<1时f(x)=a在区间[2,3]上的最大值为a2,最 小值为a3,则a2-a3=a2,方程无解.综上，f(a)=f(2)=4. 5.答案B 命题透析本题考查直线的倾斜角： 解析因为直线3x+y-1=0,x+3y+1=0的斜率分别为-3和-号，所以B>Q>受又因为直线x=-1的 倾斜角0=7，直线2x-3y+4=0的倾斜角y满足0<y<7,所以B>a>6>y.故B最大 6.答案C 命题透析本题考查空间基底的定义， rx+y=0, 解析由题可知，存在实数x,y,使得b+c=x(a+c)+y(a-2b),所以-2y=1,解得1= 21 x=t, 7.答案D 命题透析本题考查直线的方程与性质. 「x1+2y1-8=0, 解析设A(x1,y1),B(x2,y2).由点A,B所在的直线方程，得 因为AB的中点为P(2,1),所以 2x2-y2+1=0. +=2， 3-1 联立以上四个方程，可得A(2,3),B(0,1),所以直线AB的方程为y=2二0+1，即x-y+1=0. y1+y2=4. 8.答案A 命题透析本题考查二面角的概念以及空间向量的综合应用. 解析作AM垂直PB于点M,CN垂直PB于点N,则AM=CN=,MN=1,所以C=成++花平方，得 1A元i2=(Ai+M+N心)2=A㎡+M+N心+2Ai.N元+2Ai.M+2Nd.M.因为AM⊥MN,NC⊥MN, 所以Ai.M=N心.M=0.因为二面角A-PB-C的大小为120°，所以Ai,NC的夹角为60°，所以1AC12= 子+1+2×9×号x60=故4C= 二、选择题 9.答案BCD 命题透析本题考查直线的方程与性质， 解析对于A,由题意可知，1的斜率存在，所以1不可能与y轴平行，故A错误 对于B,kx-y+2-3k=0可化为y-2=k(x-3),则1过定点P(3,2),所以1恒过第一象限，故B正确. 对于C,设原点为O,当OP与l垂直时，原点O到l的距离最大，最大值为1OP1=√13，故C正确 对于D,x-y+2-3=0可化为y=x+2-3k,因为1不过第四象限，所以k≥0且2-3k≥0，解得0≤k≤ 39 所以k的取值范围为[0，子]，故D正确 10.答案AD 命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析设0i=a,0=b,0元=c. 对于A,因为E,F分别为0A,Bc的中点，所以亦=0亦-0成=2b+e)-a=(b+c-a)=(成+0成 O),故A正确. 对于B,2=4(b+c-a)2=(公+B+e2-2ab-2a·c+2b·c)=4(4+4+4-4-4+4)=2,所 以1E1=√2，故B错误。 对于C,因为成.成=之(b+c-0)·b=2,所以s(成，= :减a号所异直线 OB与EF所成的角为牙，故C错误。 对于D,在O上的投影向量的模为E、0丽-子=1，故D正确 10B1 2 11.答案ABC 命题透析本题考查新情境下空间向量的应用问题， 2 解析对于A,根据定义，y2-241=2×1-（-4)×1=6,2-2x1=(-4)×3-1×1=-13,x2-x2少1= 1×1-2×3=-5,即a×b=(6,-13,-5),故A正确； 对于B,ab都是非零向量，不纺设0，若axb=0,由-=-0得=导1，由6-=0得名 子，所以b=()=(会字会)（)=，所以a/6,故B正确 对于C,(a×b)·a=xy1a2-xy2+y1a1-x1y1+xy241-x2y1=0,同理有(a×b)·b=0,因为a,b不共 线，由选项B知a×b不是零向量，则a×b可以是平面a的法向量，故C正确； 对于D,1aI1b1sin0=√/Ial2·1b12sin20=√1al2·1b12-1a121b12cos20= √(x+斤+)(x号+分+)-(x1名2+y12+)2=√(y-2)》2+(a名-2x)2+(x2-x)2=1a×b1, 若1a×b1=1a·b1,则sin0=1cs01,0=牙或，故D错误 4 三、填空题 12.答案15π 命题透析本题考查圆锥的侧面积计算， 解析由底面积为9π，得底面半径r=3,又母线长l=5,则圆锥的侧面积为l=15π. 13.答案 (-2-) 命题透析本题考查直线的斜率 解析因为点M(2,7),N(4,4)关于直线y=1对称的点为M(2,-5),N'(4,-2),所以直线AM'的斜率为 3-(-。-2,直线心的斜率为3二二=-各，故直线4P的斜率的取值范围为 -2-2 -2-4 14.答案3 命题透析本题考查正弦函数和余弦函数的综合 解析当w=0时，若sinx≥cosp恒成立，sinx∈[-1,1]，p∈(0,2π)，∴.p=T.当w≠0时，sinx≥ cos(wr+g),即sinx≥sim(orc+9+罗）)恒成立，sin e[-1,1],sim(ar+p+）e[-l,1]sinx= sin(or+g+牙），则a=±l.当o=1时，sinx=sin(x+p+罗），则9+牙=2km,keZ,解得9=-受+2km, keZ,9e(0,2m）9=;当a=-1时snx=sm(-x+4+受）=-sm(x-4-）=sim(x-9-受+m）, T ∴.-p- +m=26m,keZ,解得g=受-2km,ke乙，9e(0,2m)9=受故的所有可能取值共有 3个 四、解答题 15.命题透析本题考查频率分布直方图及样本的数字特征. 解析(1)由题可得(a+0.020+0.025+0.035+a)×10=1, 3 即(0.080+2a)×10=1,解得a=0.010.…(4分)》 (2)因为(0.010+0.020)×10=0.3<0.5，而(0.010+0.020+0.025)×10=0.55>0.5， 所以中位数m在[70,80)内. 由中位数的定义可得0.3+(m-70)×0.025=0.5,解得m=78. 所以估计这100名学生的成绩的中位数为78. (8分) (3)由[80,100]的频率为(0.035+0.010)×10=0.45， 可得[80,100]内的总人数为100×0.45=45， 所以这次考了89分的小明被箱中的概率为-) …(13分)】 16.命题透析本题考查两直线的垂直关系，点到直线的距离。 解析（1)由题意，得1×2+(-a)×1=0,即2-a=0. (3分) 解得a=2.… (5分) (2)由题意知，四边形PBAC为矩形，PB,PC分别是点P到直线l1,2的距离，…(7分) 所以1PB1=13-2×4+2L_35 √P+(-2)25, (10分) 1PC1=12×3+4-31-75 22+12 5 (13分) 四边形PBAC的面积为S=1PB1·1PC1=35x7,5_2 5 5 (15分)》 17.命题透析本题考查对数函数的性质. 解析(1)由题意知f八x)-1=lnx, 新所以f(x）=1+lnx.… …(4分)》 (2)因为f八x)的定义域是(0，+∞)，且是(0，+∞)上的增函数， rx>0, 所以由3x-1)<x),得3x-1>0,解得}<x<2, 1 3x-1<x, 故原不等式的解集为兮，号） (9分) (3)由2fax)=fx+3)+f(x+5),得2ln(ax)=ln(x+3)+ln(x+5), 所以(ax)2=(x+3)(x+5),x>0, 即2=（+3）x+5》在(0，+0)上有解、…（(11分) x2 红+3》+5》-空++1，设1=则=15+81+1在1e0,+)时有解， 又152+8t+1>15×02+8×0+1=1,所以a2>1,即a>1. 故a的取值范围为(1，+0).…（15分) 一4 18.命题透析本题考查空间线面位置关系及空间向量的应用. 解析(1)如图，取AC的中点E,连接EB,EN. 因为N为AC,的中点，所以EN/CG且EN=2CC (1分) 又BM/cG,且BM=2cC, 所以EN∥BM且EN=BM, 所以四边形ENMB为平行四边形，故BE∥MN. (3分) 又BEC平面ABC,MN平面ABC, 所以MN∥平面ABC.… …(4分） (2)取BC的中点O,B,C,的中点F,连接A0,OF 易得OF∥BB1,而BB1⊥平面ABC,则OF⊥平面ABC.… …(5分) 因为AB=AC,所以A01BC,且A0=√AB2-0B=√(5)2-12=2.…(6分) 所以OA,OB,OF两两互相垂直.以O为坐标原点，直线OB,OF,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 则C(-1,0,0),G,(-1,2,0),M(11,0),40,0,2),N-21,1,B(12,0, 所以=(21,0，=(-30， …(8分) 设平面CMN的法向量为m=(x,y,2), m·Ci=2x+y=0, 则 m-+=0 令x=2,得y=-4,z=3, 所以平面CMW的一个法向量为m=（2,-4,3).…（10分) 易知n=(0,1,0)是平面ABC的一个法向量.…(11分)》 1-41 -429 因为os(mm1=m.nV4+6+9x720) 所以平面CMN与平面ABC夹角的余弦值为42四 29 (13分) (3)由(2)可知瓜=(1,2，-2)，d=(10,2),花=子d-(子2)=+d-(子) 平面CMW的一个法向量为m=(2,-4,3).…(15分) 5 因为m,心-2×子+(-4)x号+3x3=-10, 所以直线CG不在平面CMN内. (17分) 19.命题透析本题考查直线的方程，直线与直线的位置关系. 解析设l1,2的斜率分别为k,k2 (1)由4：y=-7+1,令y=0,得x=2,即，在轴上的截距为2 …(1分）》 因为l1,2是“[2]-共轭直线”，所以l2在x轴上的截距为-2，且k,k2=2. 因为k=-分，所以-=2，解得=-4…（3分） 所以L2的方程为y-0=-4(x+2),即y=-4x-8.… …(4分) (2)设41，山的倾斜角分别为a,B,易知，B≠7，则1=ana,4=anB 由题意知，kk2=-3,0=|@-B|或0+|a-B|=180°.…(5分) 无论种，都有m=1ma-1-会作学 2 …(7分） 因为kk2=-3<0,所以k1,k2异号 所以1k1-k21=1k1+1k21≥2八k,1·1k2=2√3，当且仅当1k,1=1k21=3时取等号.…(9分) 所以an22)3二3，即an0的最小值为3.严 …(10分) (3)因为l1过点(-2,0)，所以2过点(2,0) 由题意知，k伦2=-手1：y=k(x-2),y=3(x+2).…… (11分) 设(，)由题意知，≠±2,4=十2与=之2 所以6=2'之2子整理得户=3- 4.…(12分) 由3-子≥0，可得-2<x<2 设E(1,0),F(-1,0), 则IP1=x-1+=√2-2x+1+3-=√-2x+4=√（-2=2-，…(14分） p1=x+0+7V+2+1+3-=√+2+4 x+2 -2+,…(16分) 所以IPE1+1PFI=(2-2+(2+2=4, 即点P到点(-1,0)的距离与点P到点(1,0)的距离之和为定值.…（17分) 6HUN202610 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知集合M={xlx≥1|，N={0,2,4},则M∩N= A.14 B.10,4 C.2,4 D.10,2,4 2.(1+i)(2-i)= A.2-i B.3-i C.2+i D.3+i 3.若方程x2+y2+mx+my+m=0表示圆，则实数m的值可能为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知函数f八x)=a'(a>0且a≠1)在区间[2,3]上的最大值与最小值之差为a2,则f八a)= A.2 B.4 c号 n.4 5.已知直线3x+y-1=0,x+3y+1=0,2x-3y+4=0,x=-1的倾斜角分别为a,B,y,0,则 A.a最大 B.B最大 C.y最大 D.0最大 6.若{a,b,c}构成空间的一个基底，且{a+c,a-2b,b+c}不能构成空间的一个基底，则t= A.-2 R号 c号 D.2 7.已知A是直线x+2y-8=0上的动点，B是直线2x-y+1=0上的动点，若AB的中点为 P(1,2),则直线AB的方程为 A.y=2 B.3x-y-1=0 C.x-2y+3=0 D.x-y+1=0 数学第1页（共4页） 8.在三棱锥P-ABC中，二面角A-PB-C的大小为120°，PB=2PA=2BC=2,AB=PC=3, 则AC= A罗 B号 C.3 D.√5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线：kx-y+2-3k=0(k∈R),则下列说法正确的是 A.I可能与y轴平行 B.I恒过第一象限 C.原点到1的距离的最大值为√13 D.若1不过第四象限，则k的取值范围为0，引 10.如图，在正四面体O-ABC中，OA=2,E,F分别为OA,BC的中点，则 A.=(oi+0元-0i) B.1E1=2 C.异面直线OB与EF所成的角为写 D.EF在OB上的投影向量的模为1 11.对于两个向量a=(x1,y1,1),b=(x2,2,2),定义a×b为a,b的“向量积”，该运算的结 果是一个向量：a×b=(y-y,为2-x,2-x少)，则下列说法正确的是 A.若a=(1,2,-4),b=(3,1,1),则a×b=(6,-13,-5) B.若a,b是非零向量，且a×b为零向量，则一定有a∥b C.若a,b是平面a内的两个不共线的向量，则平面a的法向量可以是a×b D.若a,b是非零向量，且la×b1=la:b1,则a,b的夹角为好 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一个圆锥的底面积为9π，母线长为5，则该圆锥的侧面积为 13.在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞 击台边，然后按照光线反射的方向弹出.如图，现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射出， 经过直线y=1(桌边)上的点P反弹后，恰好能从M(2,7),N(4,4)两球的中间穿过去（与 M,N球不能相撞)，则直线AP的斜率的取值范围为 ·(球的大小忽略不计) 14.若关于x的不等式sinx≥cos(wr+p)(weZ,p∈(0,2π))恒成立，则p的所有可能取值 共有 个 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100 分)进行整理后，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分为5组，得到如图 所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； 频率 ↑组距 (2)估计这100名学生的成绩的中位数： 0.035 (3)从成绩在[80,100]内的学生中随机抽取5名学生进行座80 谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率 0V5060708090100成绩/份 16.(15分) 已知直线l:x-ay+2=0,aeR与直线l2:2x+y-3=0相互垂直， (1)求a: (2)l1,2相交于点A,过点P(3,4)作(1，I2的垂线，垂足分别为B,C,求四边形PBAC的 面积. 数学第3页（共4页）》 17.(15分) 已知函数y=f(x)-1是y=e的反函数 (1)求八x)的解析式： (2)求不等式f(3x-1)<f(x)的解集； (3)设a>0,若存在x,使得2f八ax)=f(x+3)+f八x+5),求a的取值范围. 18.(17分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，M,N分别是BB,AC,的中点，AB=AC=√5，BC= BB,=2. (1)证明：MN∥平面ABC: (2)求平面CMN与平面ABC夹角的余弦值； 3)设点G在线段AB,上，且G=子，判断直线CG是否在平面CMN内，并说明理由 19.(17分) 若直线1，2在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为入，则称11，l2是一对“[入]-共轭 直线”，如直线y=x+1与y=-x+1是一对“[-1门-共轭直线”. (1)若4，山是一对“[2]-共轭直线”，且4的方程为y=-2x+1,求b的方程： (2)若1，山是一对“[-3]-共轭直线”，记4,4的夹角为00≤0≤)，求an0的最 小值： (3)若4,4是一对[-引-共轭直线°，且4过点(-2.0)，记4与6的交点为P,证明： 点P到点(-1,0)的距离与点P到点(1,0)的距离之和为定值 数学第4页（共4页）