精品解析：江苏扬州市江都区邵樊片2026-2027学年 八年级第一学期数学第一次学情自测试卷

八年级数学试卷2026.10 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（ ） A. 2，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，7 D. 4，5，11 2. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，自行车的车架由钢管拼接成三角形，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 5. 某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处 6. 如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 三角形三条内角平分线的交点到三角形三个顶点距离相等 C. 全等三角形的面积和周长相等 D. 平方根等于本身的数是0，1 8. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 8的立方根是________． 10. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____． 11. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则______． 12. 如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是______. 13. 如图，直线m//n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点C，B，连接AB，BC．若∠1=40°，则∠ABC的度数为__________． 14. 如图，是等腰三角形，且，垂足是点D，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是____． 15. 如图，等边，D为边的中点，点E在边上，连接，若，则________度． 16. 某校在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要________元． 17. 如图，在中，平分，，则与的数量关系是________ 18. 如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 求下面各式中的x的值： （1） （2） 20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 21. 已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 22. 已知：如图，和相交于点，其中点是线段的中点，．求证：． 23. 已知：如图，，，于点E，于点F， （1）试问：和相等吗？说明理由． （2）若四边形的面积是18，，求的长． 24. 已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，于点D，平分，交于点E． （1）若，，求，的度数； （2）若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 26. 作图题 （1）如图：，为的方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格纸中取一点（点在格点上），使得为等腰三角形，请在方格纸中画出所有符合条件的点． （2）如图：是直角三角形，，． ①尺规作图：请用圆规和无刻度的直尺在边上找一点，使得点到线段两端的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，当 时，线段的长等于点到边的距离． 27. 已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． （1）如图①，若，则与的数量关系为__________，的长为__________； （2）如图②，判断线段，与的数量关系并证明； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 28. 已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． （2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷2026.10 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（ ） A. 2，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，7 D. 4，5，11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，是解题的关键． 根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可． 【详解】解：A、，∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、，∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、，∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、，∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，自行车的车架由钢管拼接成三角形，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 5. 某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点距离相等这个条件，匹配三角形各线交点的性质判断选项． 【详解】解：∵充电桩到三个出口、、的距离都相等， ∴该点到 三个顶点的距离相等， ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴该点是 三条边的垂直平分线的交点． 6. 如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况． 【详解】解：当为顶角时： 和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：； 当也为底角：； 综上，的度数不可能是， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 三角形三条内角平分线的交点到三角形三个顶点距离相等 C. 全等三角形的面积和周长相等 D. 平方根等于本身的数是0，1 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根、全等三角形的性质、平方根以及角平分线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．负数有立方根，例如的立方根是，故该选项错误，不符合题意； B．三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等，故该选项错误，不符合题意； C．全等三角形能够完全重合，故面积和周长相等，故该选项正确，符合题意； D．平方根等于本身的数是，的平方根是，故该选项错误，不符合题意． 8. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 10. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个数的平方根互余相反数，列出方程解方程即可， 本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握一个正数的平方根互为相反数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以这个正数是． 故答案为：． 11. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行得到，用证三角形全等，得到，再将与相加求出． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 12. 如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是______. 【答案】13 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 13. 如图，直线m//n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点C，B，连接AB，BC．若∠1=40°，则∠ABC的度数为__________． 【答案】70° 【解析】 【分析】由直线，可得到∠BAC=∠1=30°，然后根据等腰三角形以及三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数． 【详解】解：∵直线m∥n， ∴∠BAC=∠1=40°， 由题意可知AB=BC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-40°）=70°， 故答案为70°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 14. 如图，是等腰三角形，且，垂足是点D，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是____． 【答案】10 【解析】 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知是的对称轴，且，由轴对称的性质可得，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵且， ∴由等腰三角形“三线合一”可知是的对称轴，且， ∴由轴对称的性质可得， ∴ ． 15. 如图，等边，D为边的中点，点E在边上，连接，若，则________度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形，等边三角形的性质．利用等边三角形的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出可得结论． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， 故答案为：15． 16. 某校在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要________元． 【答案】 【解析】 【分析】作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 17. 如图，在中，平分，，则与的数量关系是________ 【答案】 【解析】 【详解】解：在上取点E，使得， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使，可证，根据全等三角形的性质可知，过点作，根据垂线段最短可得，利用三角形的面积公式求出的值即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，在上取一点，使， 平分， ， 在和中， ， ， ， 过点作，则， 三角形的面积是，， ， ， ， 的最小值是． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 求下面各式中的x的值： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先移项，再把的系数化为1，最后利用平方根的定义求出的值． （2）直接利用立方根的定义对等式两边开立方，再移项求出的值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 21. 已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，求出，根据得到两三角形全等即可． 【详解】略 22. 已知：如图，和相交于点，其中点是线段的中点，．求证：． 【答案】证明：， ， 点是线段的中点， ， ， ． 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 23. 已知：如图，，，于点E，于点F， （1）试问：和相等吗？说明理由． （2）若四边形的面积是18，，求的长． 【答案】（1）相等，理由如下： 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先证明得出，再由角平分线的性质定理即可得证； （2）由（1）可得，，则，表示出，再结合，计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的面积是18，， ∴， ∴， ∴． 24. 已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：是等腰三角形的底边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质解答即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，在中，于点D，平分，交于点E． （1）若，，求，的度数； （2）若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）； （2）猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 26. 作图题 （1）如图：，为的方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格纸中取一点（点在格点上），使得为等腰三角形，请在方格纸中画出所有符合条件的点． （2）如图：是直角三角形，，． ①尺规作图：请用圆规和无刻度的直尺在边上找一点，使得点到线段两端的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，当 时，线段的长等于点到边的距离． 【答案】（1）所求的点如下： （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分三种等腰情况找格点； （2）①作的垂直平分线交可得点；②用证，推出，算出． 【小问1详解】 解：当时，作线段的垂直平分线，与方格纸相交的格点为、， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与方格纸相交的格点为， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与方格纸相交的格点为，． 【小问2详解】 ①解：略； ②解：如图，垂直平分，交于点，交于点，连接，则，， 根据题意可知， 是直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 故当线段的长等于点到边的距离时，． 27. 已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． （1）如图①，若，则与的数量关系为__________，的长为__________； （2）如图②，判断线段，与的数量关系并证明； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）存在，使得与全等，或 【解析】 【分析】（1）利用，，通过角的互余关系推导等角，证明，得到线段等量关系，结合求解． （2）根据，利用三角形外角与内角和推导角相等，证明，再转化线段得到，与的数量关系． （3）根据全等三角形对应边分两种情况讨论：①，；②，，结合动点路程公式列方程求解与． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意：，，，，． 情况①：，，． ， ， ， ， ， ； 情况②：，，． ， ， ， ， ， ， ， 综上，存在，使得与全等，或． 28. 已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． （2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）证明：如图2，延长到点，使，连接，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ． （3），理由如下： 如图3，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，再根据三角形三边关系求解即可； （2）延长到点，使，连接，，证明和，得到，根据三角形三边关系求解即可； （3）延长，交于点，证明，得到，根据是的平分线得到，即可得证． 【小问1详解】 如图，延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $