精品解析：甘肃省兰州市城关区集团校联考2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测数学试题

城关初中2026-2027学年第一学期第一次质量检测试题（卷） 九年级数学 一选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A. m＜1 B. m≠0 C. m＞1 D. m≠1 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程2x2+3x+5＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 用配方法解一元二次方程，则方程变形为（ ） A. B. C. D. 7. 若a为关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 9 D. 6 8. 下列说法错误的是（ ） A. 二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B. 二次函数中，当时，y有最大值0； C. 二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D. 不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 9. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的一次项系数是________． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________． 14. 已知点、、都在函数的图象上，则、、之间的大小关系是：_________（由小到大排序）． 15. 如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 16. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解一元二次方程 （1） （2）． 18. 在实数范围内定义一种运算“※”，． （1）求的值； （2）求方程的解． 19. 已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及最值． （2）求抛物线与x、y轴的交点坐标． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根； （2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值． 21. 用一条长40的绳子怎样围成一个面积为75的矩形？能围成一个面积为101的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 22. 近期流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了多少人． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程 23. 已知关于的一元二次方程的两根为，其中一个根为 （1）求k的值； （2）求另一个根，并求的值． 24. 某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙的最大可用长度为），现在已备足可以砌长的墙的材料，当矩形花园的面积为时，求的长． 25. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为，求每条道路的宽度为多少米． 26. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 27. 综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关初中2026-2027学年第一学期第一次质量检测试题（卷） 九年级数学 一选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，判断各选项是否为整式且最高次数为2即可． 【详解】解：选项A：形如，但未明确，当时不是二次函数，故不符合题意； 选项B：含分式，不符合二次函数为整式的要求，故不符合题意； 选项C：展开得，是最高次为2的整式，且二次项系数，符合二次函数定义，故符合题意； 选项D：展开得，是一次函数，故不符合题意． 故选：C． 2. 已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A. m＜1 B. m≠0 C. m＞1 D. m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 4. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可进行解答． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握：左加右减，上加下减． 5. 一元二次方程2x2+3x+5＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】由题意可知：△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的关系，当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根. 6. 用配方法解一元二次方程，则方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法将方程转化为完全平方形式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边加9得 ， 即， 故选：C． 7. 若a为关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 8. 下列说法错误的是（ ） A. 二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B. 二次函数中，当时，y有最大值0； C. 二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D. 不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵二次函数中，对称轴为轴． ∴当时，随的增大而增大，A正确． ∵二次函数中，开口向下，顶点为原点． ∴当时，有最大值，B正确． ∵抛物线开口大小由决定，越大开口越小，越小开口越大． ∴当时，越大开口越大，与C中描述不符，C错误． ∵抛物线的顶点坐标为． ∴不论是正数还是负数，顶点都是坐标原点，D正确． 9. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数=每支队的比赛场数×参赛队伍÷重复的场数，即可解答． 【详解】解：共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为； 故选：D． 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的一次项系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式及概念，解题的关键是熟记：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做一次项系数，叫做常数项． 根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 13. 关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】k≥﹣4 【解析】 【详解】分析：根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 详解：∵关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根， ∴△=42-4×1×（-k）=16+4k≥0， 解得：k≥-4． 故答案为k≥-4． 点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 14. 已知点、、都在函数的图象上，则、、之间的大小关系是：_________（由小到大排序）． 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的横坐标分别代入函数解析式，得到对应函数值后再比较大小即可． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ， ． 15. 如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 【答案】 18 【解析】 【分析】根据函数与的图象关于轴对称，结合正方形的对称性，利用割补法可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半 ． 【详解】解： 函数与的图象关于轴对称，且正方形关于轴对称， ∴轴下方阴影部分面积与轴上方中间的空白部分面积相等， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半， ∵正方形的边长为6 ， ∴正方形的面积为，  ∴阴影部分的面积为． 16. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解一元二次方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 在实数范围内定义一种运算“※”，． （1）求的值； （2）求方程的解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据定义代入数值计算即可； （2）根据得到，利用平方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 ， 即的值是； 【小问2详解】 由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 即的解是，． 【点睛】此题考查了新定义实数运算，还考查了利用开平方法解一元二次方程，读懂题意，正确计算是解题的关键． 19. 已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及最值． （2）求抛物线与x、y轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，最小值 （2）抛物线与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据所给解析式即可得到答案； （2）求出时的函数值和时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，当时，， 当时，，解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根； （2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值． 【答案】（1）证明：∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0， ∴该方程有两个不等的实根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1•x2=-m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2=4①，x1•x2=-m2②． ∵x1+2x2=9③， ∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5， ∴x1•x2=-5=-m2， 解得：m=±． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2=4①、x1+2x2=9③，求出x1、x2的值． 21. 用一条长40的绳子怎样围成一个面积为75的矩形？能围成一个面积为101的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 【答案】解：长为，宽为时，所围成的矩形的面积为；不能围成面积为的矩形，理由： 设围成面积为的矩形的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：，． 长宽， ，． 能围成的矩形，这个矩形的长为，宽为． 同理，设围成面积为的矩形的长为，则宽为， 根据题意得：， 整理得：． ， 此方程无解，即不能围成面积为的矩形． 答：长为，宽为时，所围成的矩形的面积为；用一条长的绳子不能围成面积为的矩形． 【解析】 【分析】设围成面积为的矩形的长为，则宽为，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；设围成面积为的矩形的长为，则宽为，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式即可得出该方程无解，进而即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 近期流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了多少人． 【答案】每轮传染中平均一个人传染了15人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮后有人感染，第二轮会新感染人，再根据经过两轮传染后共有256人患了流感，列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了15人． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程 23. 已知关于的一元二次方程的两根为，其中一个根为 （1）求k的值； （2）求另一个根，并求的值． 【答案】（1） （2）另一个根为，的值为 【解析】 【分析】（1）把代入一元二次方程，即可求出k的值． （2）由（1）可知，得出关于x的一元二次方程，利用开平方法解出方程的另外一个根，然后再求的值． 【小问1详解】 解：把代入中， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知， 则一元二次方程为， ， ， 解得：，， ∴． 则另一个根为，的值为． 24. 某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙的最大可用长度为），现在已备足可以砌长的墙的材料，当矩形花园的面积为时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，则的长为，根据“矩形花园的面积为”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设的长为，则的长为，根据题意得： ， 解得：， ∵围墙的最大可用长度为， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙的最大可用长度为，舍掉不符合题意的数据． 25. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为，求每条道路的宽度为多少米． 【答案】每条道路的宽度为2米 【解析】 【分析】每条道路的宽度为x米，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每条道路的宽度为x米． 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：每条道路的宽度为2米 ． 26. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 27. 综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 【答案】（1） （2）或或或； （3）和的最小值为， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求得点B坐标，进而求得，设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可； （3）根据抛物线的对称性得到，则，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为；求得直线的函数解析式为，求出当时的y值即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，，，， ∴满足条件的点P的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：∵点A和点B关于对称轴对称，点M在对称轴上， ∴， ∴，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为； 如图， 设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $