精品解析：上海市虹口区2026-2027学年第一学期九年级数学第一次调研试卷

2026学年第一学期初三第一次学情调研试卷 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填写在答题纸的相应位置上】 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线平移得到，则需要（ ） A. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 3. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（ ） A. 和2之间 B. 2和之间 C. 和3之间 D. 3和之间 5. 已知某个二次函数图象经过两点和，且图象的开口向上，如果还需第三个点的坐标来确定这个二次函数的表达式，那么这第三个点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论：①；②；③；④，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果是的二次函数，其表达式为，那么的值为_______． 8. 如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 9. 抛物线的顶点坐标为________． 10. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 11. 二次函数，当自变量满足时，对应函数值的取值范围是__________． 12. 已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的表达式为_________________． 13. 已知抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是___________________． 14. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 15. 已知二次函数的部分图像如图所示，它的顶点坐标为，如果关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 16. 已知二次函数图像与轴有两个交点、，且．则的值是____________． 17. 已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于5，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 19. 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴必有两个交点； （2）如果该抛物线的最低点纵坐标为，求此时值与抛物线的表达式． 20. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式． （2）若点的横坐标为，连，，求的面积． 21. 如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 22. 已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上 （1）用含n的代数式表示m． （2）当时，y随x的增大而减小，求n的值范围 （3）若，求n的取值范围． 23. 已知二次函数 （1）当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为．若为等边三角形，求的值； （2）当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为．点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，若的面积有最大值为1，求的值； （3）过（其中）且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图像，直接写出的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，是自变量的函数．小明构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 （1）直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； （2）若点在二次函数的关联函数的图像上，求点的坐标； （3）对于二次函数，是否存在实数满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （4）二次函数的表达式为，点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图像只有一个公共点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期初三第一次学情调研试卷 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填写在答题纸的相应位置上】 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数的定义，从表达式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数非零三方面判断． 【详解】解：A．未说明，当时函数不是二次函数，不符合要求． B．表达式左边为，不符合关于的二次函数形式，不符合要求． C．展开得，满足二次函数的所有特征，符合要求． D．表达式中含，不是整式，不符合要求． 2. 若抛物线平移得到，则需要（ ） A. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移规律，将抛物线平移转化为顶点的平移，对比顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为， 又∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴抛物线需先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：A. 3. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 4. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（ ） A. 和2之间 B. 2和之间 C. 和3之间 D. 3和之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解对应二次函数的自变量，然后查看表格，再找到函数值正负发生转变的两组，最后判断出一元二次方程近似解的取值区间． 【详解】解：一元二次方程的解对应函数中时的值． ∵当时，， 当时，， 当时，对应的x的值在和3之间， 即方程的一个近似解在和之间． 5. 已知某个二次函数图象经过两点和，且图象的开口向上，如果还需第三个点的坐标来确定这个二次函数的表达式，那么这第三个点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设二次函数一般式，把已知两点坐标代入，得到含参数的关系式，用表示、；再依次把四个选项点的坐标代入表达式，求出对应的，根据开口向上筛选出符合条件的选项． 【详解】解：设二次函数表达式为． 图象过， ． 图象过， ． ，化简得． 把代入，得， ． ． 代入A： ，解得，不是二次函数，不符合． 代入B： ，解得，符合． 代入C： ，解得，不符合． 代入D： ，解得，不符合． 6. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论：①；②；③；④，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】结论①：由抛物线开口方向判断符号；对称轴得到关系，判断符号；抛物线与轴交点判断符号；再判断正负． 结论②：把式子变形为对应的函数值的 4 倍，观察图像时函数图像在轴上方，，得到不等式成立． 结论③：利用抛物线对称轴，求出与轴另一个交点横坐标；代入解析式得到，因此等于 0 成立． 结论④：利用对称轴得到，代入式子化简为；根据，判断． 【详解】解：抛物线：，开口向下 ；对称轴 ，即 ，所以 ； 抛物线与轴交于正半轴，． 结论①： ，；①正确． 结论②： 把 代入： ． 在对称轴右侧，图像在轴上方，， ，②正确． 结论③：． 已知对称轴，一个交点， 由对称性：距离对称轴：， 另一根：． 所以当 时，． 两边同乘： 所以 ③正确． 结论④： ， ， ， ，④正确． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果是的二次函数，其表达式为，那么的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，需满足两个条件：自变量的最高次数为，二次项系数不为，据此列等式求解即可得到的值 【详解】解：是的二次函数，表达式为 且， 解得或，且， 的值为． 8. 如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 【答案】 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再利用对称轴是轴的条件求解. 【详解】解：将抛物线向右平移5个单位后，根据“左加右减”的平移规律，得到平移后的解析式为. ∵ 平移后抛物线的对称轴是轴，顶点式的对称轴为，对称轴轴即. ∴ . ∴ . 9. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式转化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为． 10. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上， ∴， ∴m=． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握． 11. 二次函数，当自变量满足时，对应函数值的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将二次函数配方得到开口方向与对称轴，根据给定的范围计算区间内的最值，即可得到的取值范围． 【详解】解：，二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 自变量满足，该区间在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 的取值范围是． 12. 已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的表达式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数的二次项系数，以及函数经过的两个点坐标，利用待定系数法列方程组求解和即可得到函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点和， ∴将两点坐标分别代入函数解析式，得 整理得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 13. 已知抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴没有公共点，说明对应的一元二次方程无实数根，利用判别式小于列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点， ∴方程没有实数根， ∴判别式， 将，，代入得： ， 化简得， 解得． 14. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数的部分图像如图所示，它的顶点坐标为，如果关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标确定对称轴，利用抛物线的对称性可知两根关于对称轴对称，即两根之和的一半等于对称轴的横坐标，代入已知根求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于的一元二次方程的两个根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 已知二次函数图像与轴有两个交点、，且．则的值是____________． 【答案】 0或4 【解析】 【分析】先求解二次函数与轴的交点横坐标，再根据两点间距列绝对值方程求解． 【详解】解：令，可得方程， 对方程因式分解得， 解得方程的两个根为，， ∴， 整理得， 即或， 解得或， 经检验，和都满足方程有两个不相等的实数根， ∴或． 17. 已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于5，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数在间的函数值为，再分两种情况，分别确定图象的最大值和最小值，列不等式求解即可． 【详解】解：，， 抛物线开口向下，在处取最大值， 当时，；当时，， 二次函数在间的函数值为 当时，图象的最大值为，最小值为， 则，解得：； 当时，图象的最大值为，最小值为， 则，解得：； 综上可知，的取值范围是． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 解：新抛物线不经过，理由如下： 把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位得到的新抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴新抛物线不经过． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，求二次函数的顶点坐标和对称轴，求二次函数的函数值等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再求出时的函数值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线． （1）求证：该抛物线与轴必有两个交点； （2）如果该抛物线的最低点纵坐标为，求此时值与抛物线的表达式． 【答案】（1） 证明：令，得方程， ， ∵， ∴，即， ∴该抛物线与轴必有两个交点； （2） ，抛物线的表达式为． 【解析】 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的判别式问题，计算判别式结合证明其大于0； （2）通过配方法得到抛物线顶点式，结合最低点纵坐标列方程求解，代入得抛物线表达式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ∵抛物线开口向上， ∴最低点为顶点，纵坐标为， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 将代入原解析式，得． 20. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式． （2）若点的横坐标为，连，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出，过点作轴交于点，求出直线，则，再利用求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为， ∴将代入，则， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， 则代入，得，， 解得， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法可以求出抛物线解析式；再利用配方法确定顶点的坐标，即可得到拱顶到地面的距离； （2）设两排灯的截面图分别为点、，当时，由抛物线的对称性可知点的横坐标，将横坐标代入解析式中求解对应的值，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 将点，代入中，得 ，解得， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， 拱顶到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，设两排灯的截面图分别为点、． 当时，由抛物线的对称性可知：点的横坐标为， 将代入得：， 根据图象，易知当灯离地面的高度时，， 即灯离地面的最小高度是． 22. 已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上 （1）用含n的代数式表示m． （2）当时，y随x的增大而减小，求n的值范围 （3）若，求n的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解． （1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可； （2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，又当时，y随x的增大而减小，则，再由，且，即可求出n的值范围； （3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，根据q的范围列出相应不等式，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵都在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， 又对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵（）中，， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 解得， 故； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，解得：，此时对称轴在y轴右侧， 令，则， 令，则， 解得：，则，解得：； 令，则， ∵，， ∴ ， 整理得：， 令，再令， 解得：或， 如图，二次函数开口向上，与横轴交于和， 若，则或， 综上：n的取值范围是或． 23. 已知二次函数 （1）当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为．若为等边三角形，求的值； （2）当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为．点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，若的面积有最大值为1，求的值； （3）过（其中）且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】（1）． （2）． （3） 或 ． 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式因式分解，求出与 轴的交点及顶点的坐标，再由等边三角形的边与高的关系列方程求 ； （2）设动点 的横坐标，用参数表示 、 两点的坐标，把 的面积分解为以 为底的两个三角形面积之和，化为关于动点参数的二次函数，用配方法求最大值并列方程求 ； （3）把抛物线配方得顶点式，由水平直线与抛物线的交点的对称性求出弦 的表达式，把“弦长不小于 ”恒成立转化为关于 的不等式，结合开口方向分类讨论求解． 【小问1详解】 解：， 抛物线与 轴交于 、，顶点为 ； 为等边三角形，， 边 上的高为 ； 顶点 到 轴的距离为 （）， ． 【小问2详解】 解：设点 的横坐标为 （）， 直线 过 、， 直线 的解析式为 ，从而 ； 过点 且平行于 轴的直线交抛物线于点 ， 点 的横坐标也为 ，纵坐标为 ，即 ； ∵点在的下方， ， 点 在线段 上， ， 其中 、 均以 为底，点 、 到直线 的距离 、 分别为它们的高， ； ， 当 时， 取最大值 ； 由 ，解得 ． 【小问3详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线 ； 直线 与抛物线交于 、 两点，由对称性知 、 关于直线 对称， 由 得 ， ； 对满足 的任意 都有 ， 对满足 的任意 恒成立，即 ； ①当 时， 随 的增大而增大， 当 时 取最小值 ，由 解得 ； ②当 时， 随 的增大而减小， 当 时 取最小值 ，由 解得 ； 综上， 的取值范围是 或 ． 24. 在平面直角坐标系中，是自变量的函数．小明构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 （1）直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； （2）若点在二次函数的关联函数的图像上，求点的坐标； （3）对于二次函数，是否存在实数满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （4）二次函数的表达式为，点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图像只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出函数，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，，可求出当时，；当时，，可求出当时，；在中，当时，可求出；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为，则，解得（舍去，）；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值，则，解得（舍去，）或（舍去）；据此可得结论； （4）当时，，当时，，分别求出函数和函数与线段只有一个交点时a的取值范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，二次函数的关联函数， ∵点在二次函数的关联函数的图像上， ∴当时，， ∴， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，， ∴， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：当时，， 当时，； 如图所示，当恰好经过点M时，则， 解得； 如图所示，当，时，则， ∴当时，函数与线段只有一个公共点； 如图所示，当函数的顶点恰好在线段上时，则； 如图所示，当函数恰好经过点N时，则， 解得； 在中，当时，， 解得或， ∴当时，函数的顶点在直线下方，且在对称轴左侧一定与线段只有一个交点，即此时满足函数与线段只有一个交点； 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $