复数专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版必修二复数 一、单选题 1．已知复数，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．若为复数，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C．5 D． 4．已知复数，则=（    ） A． B． C． D． 5．若为虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（      ） A．2 B．4 C．12 D．16 7．已知复数，，若，，，则的实部为（    ） A． B． C． D． 8．已知复数，，其中，为实数，“为纯虚数”是“”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 二、多选题 9．已知复数，，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 10．已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（    ） A． B．是纯虚数 C． D．复数在复平面内的对应点位于第四象限 11．已知虚数满足．记，则（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则一定为纯虚数 D． 三、填空题 12．设为虚数单位，复数________． 13．已知为虚数单位，若复数满足，则________． 14．已知复数，满足，，则的最大值是______ 四、解答题 15．已知复数. (1)若z为实数，求的值； (2)若z为纯虚数，求的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16．已知复数. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若复数是方程的一个根，求实数的值. 17．已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为． (1)写出复数和的三角形式，其中辐角取其主值； (2)若，． 证明：，即两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加； (3) 在复数范围内，解方程：． 18．已知，是虚数单位，且复数与复数互为共轭复数. (1)判断复平面内对应的点所在的象限； (2)分别计算，，的值； (3)当实数取什么值时，复数是纯虚数． 19．（1）复数，（），若为纯虚数，求． （2）设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，求实数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二复数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D A D D A AC AD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】先利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】因为， 所以. 2．D 【详解】由，得，即， 所以，即， 所以， 所以． 3．A 【分析】设，根据共轭复数的定义计算，进而得出结果. 【详解】设，原方程化为， 即．故解得， 故． 4．D 【详解】，则=. 5．A 【分析】根据题意，利用虚数的计算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】由，其中， 所以. 6．D 【分析】根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，求得的值，进而求得的值. 【详解】由，可得， 所以. 7．D 【分析】利用复数模的平方等于复数与自身共轭复数的乘积，结合复数商的实部计算公式求解． 【详解】设，则， 因为，，即， 所以， 整理得，， 又，，所以， 又因为， 所以， 因为， 所以． 8．A 【分析】由复数的运算法则，求得，结合复数的概念和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由复数，可得， 若为纯虚数，可得，所以，其中，所以充分性成立； 反之：若，则， 当时，；当时，为纯虚数，所以必要性不成立， 所以“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 9．AC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故D错误. 10．AD 【详解】∵复数在复平面内的对应点为，∴的坐标为. ∵，∴点的坐标为，即. 选项A：，正确； 选项B：，为实数，不是纯虚数，错误； 选项C：，错误； 选项D：， 其在复平面内对应点为，位于第四象限，故D正确. 11．ACD 【分析】设虚数，代入到中求出，根据纯虚数定义判断；利用模长公式判断；令解得判断；根据虚数的运算判断. 【详解】对于A，设虚数，则， ， 因为，所以，因此，所以为纯虚数，故A正确； 对于B，，又即， 所以； 当时，，所以，故B错误； 对于C，若，则 ，解得； 又因为，所以为纯虚数，故C正确； 对于D，设，则， ，， 所以，故D正确. 12． 【详解】先化简分母： ， 代入原式并分母实数化： . 13． 【详解】因为，则， 可得，所以. 14． 【分析】利用复数模的幂运算性质及模的三角不等式，即可求得所求表达式的最大值. 【详解】由，得， 所以， 当时，等号成立. 15．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数表示实数列出方程求解即得； （2）根据复数表示纯虚数列出不等式组求解即得； （3）根据复数的几何意义列出不等式组求解即得. 【详解】（1）由z为实数，可得，解得或； （2）由z为纯虚数，可得，解得； （3）因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 16．(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为是纯虚数， 所以且，即． （2）已知复数是方程的一个根， 所以将代入方程，得， 得． 17．(1)的三角形式为,的三角形式为。 (2) , 故两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加. (3)的解为：，，，，. 【分析】（1）根据三角形式的定义可求两者的三角形式； （2）根据复数的乘法结合三角变换公式可证题设中的等式； （3）根据复数的三角形式可求方程的复数解. 【详解】（1）设，其中，， 则即，故， 故的三角形式为. 同理的三角形式为. （2）略. （3）设，则， 故，故， 而，故，结合得， 故且，故， 故，其中. 结合正弦函数、余弦函数的周期性可得的解为： ，，， ，， 以上共5个不同的复数解. 18．(1)复平面内对应的点在第四象限． (2)，， (3) 【分析】（1）直接由共轭复数的概念求与的值，再求出对应的点的坐标得答案； （2）直接利用复数代数形式的乘除运算得答案； （3）由纯虚数的概念代入求解即可. 【详解】（1）因为与互为共轭复数， 所以，． 所以，． 所以复平面内对应的点的坐标为， 所以复平面内对应的点在第四象限． （2）， ， ． （3）， 故当，且，即时，复数是纯虚数． 19． （1）；（2） 【分析】（1）对复数商做分母实数化运算，结合纯虚数性质求解参数后计算模长； （2）利用实系数方程虚根共轭特性与韦达定理，结合直角三角形向量垂直的坐标运算求解参数. 【详解】（1）由，得的共轭复数， 所以 ， 由为纯虚数得， 解得， 故，得： （2）根据实系数一元二次方程虚根成对定理，设，则， 由韦达定理得，， 解得，即， 三个复数在复平面对应的点为、、，由在轴上，关于轴对称，所以，由对称性可知直角顶点只能为， 故，因为，，所以得， ，解得， 所以. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $