精品解析：广东河源市紫金县紫城第二中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026秋季八年级数学第一次月考试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（共10小题） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 6. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. B. C. D. 7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 的立方根是_______________ 12. 比较大小：______1（填“”“ ”或“”）． 13. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________． 14. 如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为___________． 15. 如图，在中，，，，平分，于D，则______． 三、解答题（共8小题） 16. 化简： （1） （2） 17. 先化简再求值：，其中，． 18. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根和的立方根． 20. 某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 21. 如图所示，已知，． （1）说出数轴上点A所表示的数为________； （2）在数轴上找出对应的点；（保留作图痕迹） （3）比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程． 22. 已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： （1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； （2）若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 23. 【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： （1）计算：___________． （2）计算：； （3）求：的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季八年级数学第一次月考试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（共10小题） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A. ，故不是最简二次根式； B. ，故不是最简二次根式； C. 是最简二次根式； D. ，故不是最简二次根式． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、立方根定义，单项式乘以单项式运算法则，有理数的乘方运算，逐一计算各选项即可判断正误，得到正确结果． 【详解】解：、，该选项计算错误，不符合题意； 、根据立方根的性质，可得，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意． 5. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须是非负数； 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴． 解不等式得：． 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 9. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，，， ， 在中，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 10. 如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可． 【详解】作BD⊥AC于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴AC＝＝， ∵S△ABC＝2×2−×1×1−×2×1−×2×1＝1.5， ∴S△ABC＝×AC×BD＝××CD＝1.5， 解得：CD＝． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 12. 比较大小：______1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 利用夹逼法估算无理数的取值范围，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故答案为：． 13. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________． 【答案】25 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，， ， 则所代表的正方形的面积为25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 14. 如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，连接，由勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， 由题意可知，米，，， 则， ∴ ∴在中，由勾股定理得：． ∴无人机飞行的最短距离为． 故答案为：15． 15. 如图，在中，，，，平分，于D，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记相关性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，证明，得出，再在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：平分，于D，， ， 又， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，即， 故答案为： 三、解答题（共8小题） 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式﹒ 18. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根和的立方根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴的平方根为，的立方根为． 20. 某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 【答案】劳动实践基地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；由勾股定理求得，可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接AC， 在中，由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ， ， 答：劳动实践基地的面积为． 21. 如图所示，已知，． （1）说出数轴上点A所表示的数为________； （2）在数轴上找出对应的点；（保留作图痕迹） （3）比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程． 【答案】（1） （2）在数轴上找到对应的点，如图所示： （3）点A所表示的数小于，过程如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 即点A所表示的数小于． 【解析】 【分析】（1）由图可得，，再由勾股定理求出，然后根据，即可求出数轴上点A所表示的数； （2）过表示2的点作x轴的垂线，以点为圆心，长度1为半径作弧，交垂线于点，连接，再以为圆心，的长为半径作弧交x轴的正半轴于点，则点表示； （3）分别计算和的平方，即可比较和的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由图可得，， 由勾股定理得，， ∵， ∴数轴上点A所表示的数为； 【小问2详解】 解：由作图可得，点表示的数是2，轴，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点表示的数即为； 【小问3详解】 解：略 22. 已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： （1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； （2）若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【答案】（1），，， （2） 证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【解析】 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【小问1详解】 解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； 【小问2详解】 略 23. 【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： （1）计算：___________． （2）计算：； （3）求：的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $