精品解析：山东枣庄市第十五中学2026-2027学年第一学期八年级第一次单元学习评价数学试题

八年级第一次单元学习评价数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意； B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意； C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意； D、不是勾股数，因为，，不是正整数，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方． 2. 在实数，0，，3.1415926，，，，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见无理数的构成：带根号的要开不尽方，无限不循环小数，含的数等，然后逐项判断即可确定选择项． 【详解】解：无理数有、、1.353353335…共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，含及其倍数的也是无理数． 3. 已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形． 【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0， ∴a-6=0，b-8=0，c-10=0， 解得：a=6，b=8，c=10， ∵62+82=36+64=100=102， ∴这个三角形是直角三角形． 故选D． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根、平方根、立方根的定义． 根据算术平方根、平方根、立方根的定义，进行判断，即可． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 已知直角三角形的两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 【答案】C 【解析】 【分析】分4为直角三角形的直角边和斜边两种情况利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当4为直角三角形的直角边时，斜边=； 当4为直角三角形的斜边时，则斜边=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，属于常见题型，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6. 下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则无意义，此项不符合题意； B、当时，无意义，此项不符合题意； C、因为，所以一定有意义，此项符合题意； D、因为只有当时，才有意义，所以此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 7. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，由三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD=x，由折叠的性质得到ED=BD=x，AE=AB=6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BD的长． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6， 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x， 在Rt△CDB'中， 根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 故答案为3． 【点睛】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键． 8. 化简：（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断． 【详解】∵被开方数大于或等于0， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、利用了二次根式的乘除法、二次根式的性质，注意a是负数是解题关键． 9. 实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴和运用数形结合思想进行绝对值和二次根式的化简能力，解题关键是掌握根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简． 由数轴得出，从而判定出，，再根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可得： ∴，， ∴ ， 故选：A． 10. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱侧面展开如下图所示，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，过B作于， 由题意可得：，，， 由勾股定理得：， ， 答：蚂蚁爬行的最短路程为． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若是36的平方根，则的立方根是_________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意先求出x-2的值，从而得出x的值，继而再求x的立方根即可． 【详解】解：36的平方根是±6， 由题意得：x-2=±6， 解得：x=8或-4． 故x的立方根是2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查立方根及平方根的定义，注意掌握平方根及立方根的求解办法． 12. 如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则_______． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理推出，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理：，，， ∴， 故答案为：34． 13. 已知，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式将所求式子变形，然后将x的值代入即可解答本题． 【详解】∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 14. 有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 15. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，解题的关键是求出a、b的值． 化简，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，又， ， ，， ． 故答案为：10． 16. 如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题9分，18—21，每题8分，22题9分，23—24题，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 求下列各式中的值： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）先移项，再开立方，继而求解； （2）先移项，再开平方，继而求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：或． 19. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】 这个零件不符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 不是直角三角形、是直角三角形， ，， 故这个零件不符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】略 20. 已知的平方根是，的算术平方根是5，求的立方根． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的概念列方程求得x和y的值，然后代入求得其求立方根即可． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∵64的立方根为4． ∴的立方根为4． 【点睛】本题主要考查平方根、立方根等知识点，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键． 21. 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 【答案】19200 【解析】 【分析】连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC2,由于AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，由S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD可得最终结果. 【详解】解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102， 在△ABC中，AB2=262，BC2=242， 而102+242=262， 即AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD=•AC•BC-AD•CD， =×10×24-×8×6=96． 所以需费用96×200=19200（元）． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的灵活应用. 22. 已知：，，求： （1） ， （2）的值． 【答案】（1）4 （2）13 【解析】 【分析】本题考查二次根式相关的化简求值，解题的关键是观察所求式子的特点，用整体代入法求值． （1）将变形为，整体代入即可求值； （2）将变形为，整体代入即可求值． 【小问1详解】 【小问2详解】 23. 阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，掌握勾股定理内容是解题的关键． 1、【探索新知】利用“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”，列式即可求解； 2、【初步运用】 （1）分别表示出大正方形面积与小正方形面积，即可求解； （2）利用边长为c的正方形面积减去两个直角三角形面积，即可求解； （3）设，则，由题意得，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而得，即可求得面积． 【详解】解：【探索新知】 由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】 （1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． 24. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （Ⅱ）还可以用以下方法化简 ． （1）请你用不同的方法化简． ①参照（Ⅰ）式，化简 ②参照（Ⅱ）式，化简 （2）化简：． 【答案】（1）①；② （2）2 【解析】 【分析】（1）分别参照（Ⅰ）式、（Ⅱ）式进行计算即可； （2）（2）先参照（Ⅰ）式，把每一个二次根式分别有理化，然后提出公因数后再进行化简即可得到答案． 【小问1详解】 解：① ② 【小问2详解】 【点睛】本题考查了二次根式的化简，涉及有理化因式、分母有理化、平方差公式，以新定义的形式给出，理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次单元学习评价数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，8，9 C. 6，8，10 D. ，， 2. 在实数，0，，3.1415926，，，，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直角三角形的两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 6. 下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 化简：（　　） A. B. C. D. 9. 实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若是36的平方根，则的立方根是_________． 12. 如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则_______． 13. 已知，则代数式的值是___________． 14. 有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_______尺． 15. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 16. 如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为_________． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题9分，18—21，每题8分，22题9分，23—24题，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3）． 18. 求下列各式中的值： （1） （2） 19. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 20. 已知的平方根是，的算术平方根是5，求的立方根． 21. 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 22. 已知：，，求： （1） ， （2）的值． 23. 阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 24. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （Ⅱ）还可以用以下方法化简 ． （1）请你用不同的方法化简． ①参照（Ⅰ）式，化简 ②参照（Ⅱ）式，化简 （2）化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $