精品解析：湖南长沙市明德集团2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级2026年10月份考试数学科试卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 一组数据的方差越大，这组数据越稳定 C. 多边形的外角和都等于 D. 两条边与一个角分别对应相等的两个三角形一定全等 4. 二次函数y= - 3(x-2)2-1的图象的顶点坐标是（    ） A. （-2，1） B. （2，1） C. （-2，-1） D. （2，-1） 5. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若点，，则；④若，则，其中正确的结论是（ ） A. ④ B. ①②③④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知反比例函数的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是______. 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 13. 若，则___________． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则________. 15. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 16. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）； 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 某中学为了解学生对“爱眼护眼”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于分，对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用，将测试成绩共分五组：A.；B.；C.；D.；E.，并绘制了统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整. Ⅰ.收集、整理数据 七年级名学生的测试成绩分别为：，，， 八年级学生测试成绩在组和组的分别为：， Ⅱ.分析数据 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 Ⅲ.描述、应用数据 （1）统计表格中________，________，________（直接写出结果）； （2）从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是__________年级（填“七”或“八”）； （3）若该中学七年级共有学生名，八年级共有学生名，估计七、八年级本次测试成绩不低于分的总人数为多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标． 22. 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. （1）请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； （2）当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在正方形中，，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为. （1）①判断：函数_________“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“3倍点”的坐标为_____________. （2）若抛物线上有两个“2倍点”，求的取值范围； （3）若函数的图像上存在唯一一个“k倍点”，且当时，n的最小值为，求k的值. 25. 抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标； （3）如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级2026年10月份考试数学科试卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找与原点距离最远的数，只需计算各数的绝对值，比较后找出绝对值最大的数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴对应的点与原点距离最远． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，∴A错误； ∵与不是同类项，无法合并，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确. 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 一组数据的方差越大，这组数据越稳定 C. 多边形的外角和都等于 D. 两条边与一个角分别对应相等的两个三角形一定全等 【答案】C 【解析】 【分析】逐个分析选项，得出结果． 【详解】解：A选项，，故A不符合题意； B选项，一组数据的方差越大，数据稳定性越差，故B不符合题意； C选项，任意多边形的外角和都等于，故C符合题意； D选项，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意． 4. 二次函数y= - 3(x-2)2-1的图象的顶点坐标是（    ） A. （-2，1） B. （2，1） C. （-2，-1） D. （2，-1） 【答案】D 【解析】 【分析】对于二次函数的顶点式,顶点坐标为； 【详解】二次函数y= - 3(x-2)2-1的图象的顶点坐标为（2，-1） 故答案为：D 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式,顶点坐标为 5. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个矩形田地的宽为步，则长为步，根据矩形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形田地的宽为步，则长为步， 由题意得：． 7. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 9. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若点，，则；④若，则，其中正确的结论是（ ） A. ④ B. ①②③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下、对称轴为，则当时，抛物线有最大值为， 对于任意时，，即，故①正确； 若，则，即， 由抛物线的对称性可知，故②错误； 抛物线与轴交于，两点，对称轴是直线， ，则， 将恒等变形为， 当时，要是不等式成立，只需， 由抛物线开口向下可知，而，则恒成立，故③正确； 设，其中， 由对称轴是直线，可得， 抛物线解析式可化为， ， ，则， 解得， ，即， ，则 ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知反比例函数的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数所在的位置确定，从而求得k的取值范围. 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的图象判断出k的取值范围是解答此题的关键． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方及零次幂，熟练掌握有理数的乘方运算及零次幂是解题的关键．根据 进行求解即可． 【详解】解：， ，解得． 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度， 得到新抛物线的解析式为， 令，可得：， 解得：或， 两个交点，都在轴上， ． 15. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 16. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算二次根式乘法、化简二次根式、绝对值及负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用配方法计算即可． 本题考查了配方法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 某中学为了解学生对“爱眼护眼”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于分，对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用，将测试成绩共分五组：A.；B.；C.；D.；E.，并绘制了统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整. Ⅰ.收集、整理数据 七年级名学生的测试成绩分别为：，，， 八年级学生测试成绩在组和组的分别为：， Ⅱ.分析数据 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 Ⅲ.描述、应用数据 （1）统计表格中________，________，________（直接写出结果）； （2）从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是__________年级（填“七”或“八”）； （3）若该中学七年级共有学生名，八年级共有学生名，估计七、八年级本次测试成绩不低于分的总人数为多少人？ 【答案】（1），， （2）七 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求出结果； （2）根据方差可知七年级学生的测试成绩比较整齐，由平均数、中位数、众数可知七年级学生的测试成绩较好； （3）利用样本百分比代表总体百分比估计七、八年级本次测试成绩不低于分的总人数． 【小问1详解】 解：七年级名学生的测试成绩出现次数最多的是，共出现了次， 七年级测试成绩的众数是； 由扇形统计图可知八年级学生测试成绩在组和组的学生各占， 成绩在组和组的学生有人， 把八年级学生的成绩从低到高排序第名是分，第名是分， 八年级学生测试成绩的中位数是； 成绩在组和组的学生有人，成绩在组和组的学生有人， 成绩在组的学生有人， 其中出现次数最多的成绩是分，共出现了次， 八年级学生测试成绩的众数为； 【小问2详解】 解：由统计表可知七年级学生测试成绩的方差为，八年级学生测试成绩的方差为， ， 七年级学生的测试成绩波动小，比较整齐， 七年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级学生的测试成绩， 七年级学生的测试成绩比八年级学生的测试成绩好， 七年级学生测试成绩好且比较整齐； 【小问3详解】 解：（人）. 答：估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数约为300人. 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可． （2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴点A的坐标为． ∵反比例函数 的图象经过点， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H， ∵， 则，． 由勾股定理，得, 由图象的对称性，可知． 又∵， ∴． ∴C点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键． 22. 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. （1）请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； （2）当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，月销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据等量关系列出函数关系式； （2）先列出二次函数解析式，配成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： ． 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 对称轴， ∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大 又 ∴当时，月销售利润最大，最大利润为元． 23. 如图，在正方形中，，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形及等边三角形的性质易证明，则有，再由即可得； （2）由（1）的结论得是等腰直角三角形，再由正方形的性质可得，由等边三角形的性质及直角三角形性质得，由勾股定理求出，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴为等腰直角三角形， ∵四边形为正方形， ∴平分， ∴点为的中点，， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明全等是本题的关键． 24. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为. （1）①判断：函数_________“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“3倍点”的坐标为_____________. （2）若抛物线上有两个“2倍点”，求的取值范围； （3）若函数的图像上存在唯一一个“k倍点”，且当时，n的最小值为，求k的值. 【答案】（1）①不是；②或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“2倍函数” “3倍函数”的定义，设出“2倍点”“3倍点”的坐标，代入原函数解答即可； （2）根据“2倍函数” 的定义，设出“2倍点”的坐标，代入解答即可； （3）根据“倍函数”的定义，设“倍点”的坐标为，代入原函数解答即可． 【小问1详解】 解：设“2倍点”的坐标为，代入得，此方程无解， 不是“2倍函数”． 设函数的图像上的“3倍点”的坐标为，代入得： ， 解得：或 函数的图像上的“3倍点”的坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线上有两个“2倍点”， 设“2倍点”坐标为，代入得 ， 整理得，， ∵抛物线有两个“2倍点”， ， 解得：， 的取值范围为：且； 【小问3详解】 解：设“k倍点”坐标为， ， 整理得，， ∵图像上存在唯一一个“k倍点”， ， ， ，即n是关于m的二次函数，图像开口向上， ∴对称轴为直线， 当时，的最小值为，根据对称轴与取值范围的关系，分类讨论： ①，即， ，解得，； ，不符合题意，舍去． ②当时，， 时取到最小值， ，整理得，， 解得，，（舍去）； ③当时，， 时取到最小值， ，整理得，，，无解； 综上所述，k的值为． 25. 抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标； （3）如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出、的值，即可得出答案； （2）设，根据得出是等腰直角三角形，利用勾股定理得出的周长为，设直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，可得，，进而得出的周长为，根据二次函数的性质得出当时，的周长最大，即可得出点的坐标； （3）连接，，设，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，设直线的解析式为，同理得出，，可得，进而得出，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设， ，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的周长为， ∴当时，的周长最大， 此时，即． 【小问3详解】 解：如图所示，连接，， 设，直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 根据根与系数的关系可得， ， ，， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， ∴，， ， ，， ， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $