内蒙古大学附属中学2026-2027学年九年级上学期数学阶段学情自测

内大附中初三年级月考数学试卷 一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分) 1.(3分)若关于x的一元二次方程x+2+m-1=0有一个根为1，则m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(3分)关于x的一元二次方程x+5x=0的解为（) A.x=0 B.x=-5 C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x2=5 3.(3分)已知抛物线y=x+bx+c的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是() A.-1<x<4B.-1<x<3 C.x<-1或x>4D.x<-1或x>3 4.(3分)若关于x的一元二次方程(a-3)x-6x-2=0有实数根，则a的取值范围为() A.a2- B.u≠3 C.a>-且a≠3 D.n≥-且a≠3 5.(3分)点P1(-1,n,P(三)，P(6,⅓)均在二次函数=mx-2mt1(m>0) 的图象上，则y,,的大小关系是（) A.y1>>y3B.y3>y2>y1 C.>y3>y1D.3>y1>y3 6.(3分)生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支 干后，每个支干又会长出同样数目的小分支，现有符合上述生长规律的某种植物，它的主 干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是() A.9 B.10 C.-10 D.9或10 7.（3分)如图，已知二次函数y=ax+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的图象顶点为P（1, m),经过点A(2,1).有以下结论：①a<0;②abc>0:③4a什2b+c=1;④x>1时，y 随x的增大而减小：⑤对于任意实数t,总有af+bt≤什b,其中正确的有（) 第1页（共16页) 1P1,m) A(2,1) 0 2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.(3分)已知函数y=+x-1,当m≤x≤m+2时，-≤y≤1，则m的取值范围是() A.m≥-2 B.-2≤m≤-1C.-2≤m≤-2 D.m≤-1 二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分) 9.(3分)若关于x的一元二次方程x2+x-6=0一个根为2，则m的值为一 10.(3分)若实数x、y满足(x2+y)(x2+y2+3)=4,则x+y2的值为· 11.（3分)设m,n分别为一元二次方程x2-2x-2021=0的两个实数根，则3m-2m2-n= 12.(3分)如图是二次函数y1=x2+br+c(a≠0)和一次函数y2=m+n(m≠0)的图象，当 2>y1,x的取值范围是 13.(3分)把抛物线=x2-2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的 表达式是 14.(3分)已知点P(m,n)在抛物线y=ax2-x-a上，当m≥-1时，总有n≤1成立， 则a的取值范围是 三.解答题（共5小题，满分58分） 15.(12分)解方程 (1)x2-6=11(公式法)： (2)x2-2x=2x-1（配方法)： 第2页（共16页） (3)3x(x-1)=2-2x 16.（10分)已知：关于x的方程2x2+x-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值. 17.(10分)如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15米，一面 利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米 (1)若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长： (2)如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求AB的长；如果不能，请说明理由. D D 图2 图1 18.(12分)如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离 为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线，篮 筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心.（不考虑篮球大小和篮球的 反弹) 探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮 能将篮球投至篮筐中心？ 探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮 筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？ 19.(14分)如图，直线)=2与抛物线)=am4b6(a≠0)相交于A(经多和B(4,m。 点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式： (2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值：若不存 第3页（共16页） 在，请说明理由： (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标. 个y P E D 第4页（共16页） 内大附中初三年级月考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分) 1.(3分)若关于x的一元二次方程x+2x+-1=0有一个根为1，则m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解答】解：由条件可知1+2+m-1=0, ∴.m=-2, 故选：A. 2.(3分)关于x的一元二次方程x+5x=0的解为() A.x=0 B.x=-5 C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x3=5 【解答】解：x+5x=0, x(x+5)=0, x=0或x+5=0, 解得x1=0,x3=-5. 故选：C 3.(3分)已知抛物线y=x+bc的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是() A.-1<x<4B.-1<x<3 C.x<-1或x>4D.x<-1或x>3 【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于(-1,0)，对称轴为x=1, ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0)， y<0时，函数的图象位于x轴的下方， 且当-1<x<3时函数图象位于x轴的下方， .当-1<x<3时，y<0. 第5页（共16页） 故选：B 4.(3分)若关于x的一元二次方程(a-3)x-6x-2=0有实数根，则a的取值范围为() A.a≥- B.a≠3 C.a>-且a≠3 D.a≥-且a≠3 【解答】解：根据根的判别式可知： △=36+8(a-3)≥0且a-3≠0， “a≥-2且a≠3 故选：D 5.(3分)点A(-1,,乃（号），乃(6，)均在二次函数=2-2+1(m>0) 的图象上，则y,,的大小关系是（) A.y1>2>y3B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.J3>y1>3 【解答】解：，二次函数y=x2-2x+1（>0), ∴.抛物线开口向上，对称轴为x=1, .在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 根据二次函数图象的对称性可知，P1(-1,y1)关于对称轴的对称点为(3，y)关于对称 轴对称， 是a6, 故y3>y1>y2, 故选：D. 6.(3分)生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支 干后，每个支干又会长出同样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主 干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是() A.9 B.10 C.-10 D.9或10 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x, 根据题意得：1+x+x2=91, 整理得：x2+x-90=0, 解得：x1=9,2=-10（不合题意，舍去)， 即这种植物每个支干长出的小分支个数是9， 第6页（共16页） 故选：A. 7.(3分)如图，已知二次函数y=x+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的图象顶点为P(1, m),经过点A(2,1).有以下结论：①a<0;②abc>0;③4a什2b+c=1;④x>1时，y 随x的增大而减小：⑤对于任意实数t,总有a+bt≤什b,其中正确的有() iP(1,m) A(2,1) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答】解：①由抛物线的开口方向向下， 则a<0,故①正确： ②.抛物线的顶点为P（1,m), -品=1，b=-2a .a<0, .b>0, .抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴.c>0, ∴.abc<0,故②错误； ③.抛物线经过点A(2,1), ∴.1=a22+2b+c,即4a什2b+c=1,故③正确： ④.抛物线的顶点为P（1,m),且开口方向向下， ∴.x>1时，y随x的增大而减小，即④正确： ⑤.a<0, ∴.at+bt-(atb) =at 2at a+2a =at 2atta =a(P-2什1) =a（t-1)2≤0， ∴.af+bt≤a什b,则⑤正确 第7页（共16页） 综上，正确的共有4个. 故选：C. 8.(3分)已知函数y=+x-1,当m≤x≤m+2时，一≤y≤1，则m的取值范围是() A.m≥-2 B.-2≤m≤-1C.-2≤m≤-3D.m≤-1 【解答】解：函数y=-l,当m≤≤m2时，-≤y≤1， :函数y=x2+x-1=c+- “该函数图象开口向上，当x=-是，该函数取得最小值-当=1时，x1=2,=1, :当m<<m2时，-<y≤1， -sm+2<1 解得-2<m≤-1， 故选：B。 二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9.(3分)若关于x的一元二次方程x+x-6=0一个根为2，则m的值为1· 【解答】解：由条件可知：2+21-6=0， 解得：m=1, .m的值为1. 故答案为：1. 10.(3分)若实数x、y满足(x2+y2)(x2+y2+3)=4,则x2+y2的值为1 【解答】解：设a=x2+y,则a(什3)=4， 2+3a-4=0,即(a什4)(a-1)=0, 解得：1=-4，a2=1, .x2+y2≥0， .x2+y2=1. 故答案为：1. 11.(3分)设m,n分别为一元二次方程x2-2x-2021=0的两个实数根，则3m-2m2-n= -4044. 【解答】解：.m,n分别为一元二次方程x-2x-2021=0的两个实数根， 第8页（共16页) .∴.ln=2, 把x=代入原方程得，2-2m-2021=0, ∴.2=2+2021， .∴.3m-22-n =3m-2（2+2021)-n =3m-4m-4042-n =-m-n-4042 =-（tn)-4042 =-2-4042 =-4044. 故答案为：-4044， 12.（3分)如图是二次函数y1=ax+bx+c(a≠0)和一次函数=x+n(m≠0)的图象，当 2>y1,x的取值范围是-2<x<1. 【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为(-2,0)，(1,3)， .当有2>y1时，有-2<x<1, 故答案为：-2<x<1. 13.（3分)把抛物线=x2-2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的 表达式是y=(x-2)+1. 【解答】解：抛物线y=x2-2的顶点坐标为（0，-2)，点(0,2)向右平移2个单位， 再向上平移3个单位所得对应点的坐标为(2,1)，所以平移后抛物线的表达式为y=(x -2)2+1. 故答案为：y=（x-2)+1. 14.(3分)已知点P(m,n)在抛物线y=ax2-x-a上，当m≥-1时，总有n≤1成立， 第9页（共16页） 则a的取值范围是是<a<0。 【解答】解：（方法一）根据已知条件，画出函数图象，如图所示. a<0 由己知得： -1 2a ≤-1 a+1-a≤1 解得： 故答案为： -sa<0. a<0 (方法二)当<1时，有法-1 a+1-a≤1 解得：是<a<0: (a<0 当≥1时，有 二43-1≤1 4a 解得：a=2 综上所述：-2<a<0. 故答案为：-3≤a<0. 三.解答题（共5小题，满分58分） 15.（12分)解方程 (1)x2-6x=11(公式法)： (2)x-2x=2x-1（配方法)： (3)3x(x-1)=2-2x. 【解答】解：(1)x-6x=11, x2-6x-11=0, 第10页（共16页） a=1,b=-6,c=-11, △=(-6)2-4×1×(-11)=80， x=6y80-6±45=3±2V5, 2 .x1=3+2W5,x2=3-2W5: (2)x-2x=2x-1, x2-4x=-1, x2-4x+4=-1+4 (x-2)2=3, x-2=±V3, .x1=2+V3,X2=2-V3; (3)3x(x-1)=2-2x, 3x(x-1)+2x-2=0, 3x(x-1)+2(x-1)=0, (3+2)(x-1)=0, 3x+2=0或x-1=0, “4=号%=1. 16.(10分)己知：关于x的方程2x2+-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值： 【解答】证明：（1)，a=2,b=k,c=-1 .△=2-4×2×(-1)=2+8， 无论k取何值，≥0， .+8>0,即△>0， .方程2x+x-1=0有两个不相等的实数根. 解：（2)把x=-1代入原方程得，2-k-1=0 .k=1 .原方程化为2x2+x-1=0, 解得：=1，=2，即另一个根为 第11页（共16页） 17.(10分)如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15米，一面 利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米 (1)若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长： (2)如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求AB的长；如果不能，请说明理由. A A D B 图2 图1 【解答】解：(1)设8C的长度为x米，则4B的长度为24米， 根据题意得：x…24-x=40, 2 整理得：x-24x+80=0, 解得：x1=4,x2=20. .20>15, ∴.2=20舍去. 、、之4—x1O(> 答：AB的长为10米 (2)不能围成，理由如下： 设BC的长为y米，则AB的长为24，米， 3 根据题意得：y24=50, 3 整理得：y2-24叶150=0. :△=(-24)2-4×1×150=-24<0， .该方程无实数根， .不能围成面积为50米2的花圃， 18.(12分)如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离 为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线，篮 筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心.（不考虑篮球大小和篮球的 反弹) 探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮 第12页（共16页） 能将篮球投至篮筐中心？ 探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮 筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？ 4 【解答】解：根据题意得抛物线的顶点坐标为(4,4)， .设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4, .抛物线过点(0,2)， ∴.16a+4=2, 解得a=京 “抛物线的解析式为y=-92+4, 当x=7时，y=-日×(7-4+4=号+3 ∴.此球不能投至篮筐中心： 探究一：设向前移动h米，由题意得，y=x-4-)2+4, 代入点(7,3)得，3=-(7-4-)2+4， 解得h1=3-22,2=3+2W2(不合题意，舍去)， 即小明朝着篮球架再向前移动(3一2√②)米后投篮能将篮球投至篮筐中心； 探究二：设y=m(x-4)2+4, 代入点（7,3)得，3=m（7-4)2+4, 解得m=一 y=--42+4 当x=0时，y=20, 91 2 29 即小明出手的高度需要增加米才能将篮球投至篮筐中心， 第13页（共16页） 19.(14分)如图，直线)=2与抛物线)一ambx6(a≠0)相交于A分3和B(4,m, 点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式： (2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值：若不存 在，请说明理由； (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标. 个y B A 【解答】解：(1)，B(4,m)在直线y=x+2上， ∴.1m=4+2=6, .B(4,6), A宁多、B4,6在抛物线=m标6上， ÷侣=a+动+6，解得化乙g 6=16a+4b+6 ∴.抛物线的解析式为y=2x2-8+6. (2)设动点P的坐标为(n,什2)，则C点的坐标为(n,22-8什6)， ∴.PC=(t2)-（2n2-8t6), =-2m2+9n-4, =-2m+9 .PC>0, “当n时，线段PC最大日为程 第14页（共16页) （3).△PAC为直角三角形， )若点P为直角顶点，则∠APC=90°. 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； i)若点A为直角顶点，则∠PAC=90°. 如答图3-1，过点A经多作ANLx轴于点N,则ON-司AN- 过点A作AM⊥直线AB,交x轴于点M,则由题意易知，△AN为等腰直角三角形， N=AM·OM=O4MN=+3-3, M(3,0). 设直线AM的解析式为：y=+b, 则： 佳+6=员解得化3 3k+b=0 ∴直线AM的解析式为：y=-x+3① 又抛物线的解析式为：y=2x2-8+6② 联立①②式，解得：x=3或x=2(与点A重合，舍去) ∴.C(3,0),即点C、M点重合. 当x=3时，y=+2=5, .P1(3,5): 个y 个y E E CM 答图31 答图32 ii)若点C为直角顶点，则∠ACP=90°. .y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2, ∴.抛物线的对称轴为直线x=2. 第15页（共16页) 如答图3-2，作点A(多关于对称轴为直线=2的对称点C 2 则点C在抛物线上，且C(子3。 当x=时，=x2=号 A原学. :点P(3,5》、A子马均在线段AB上， “综上所述，△2AC为直角三角形时，点P的坐标为(3,5)或子孕. 第16页（共16页）