专题04 函数的概念及其表示专项训练（7题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题04 函数的概念及其表示重难点八大题型突破 【题型1：区间的表示】 【题型2：函数的判断】 【题型3：函数的定义域】 【题型4：已知函数类型求解析式（待定系数法）】 【题型5：已知复合函数f(g(x))求f(x)(换元法/配凑法)】 【题型6：分段函数求解析式 / 求函数值】 【题型7：两个函数相等】 【题型8：函数值】 【题型1：区间的表示】 解题技巧： 1.十∞、- ∞旁边永远用圆括号，不能写[a,+∞] 2.多个区间用逗号隔开，不能随便用U 3.区间左小右大，左边数字必须小于右边 1．已知区间，，则（   ） A． B．C． D． 2．集合（   ） A．2 B． C． D． 3．已知集合，，则______． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型2：函数的判断】 5．下列图象中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 8．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【题型3：函数的定义域】 解题技巧：抽象函数的定义域 核心:同一对应法则f，括号里面整体范围不变例:已知f(x)定义域(1,3)，求f(2x -1)的定义域1 < 2x -1 < 3，解x范围。 易错提醒： 抽象函数定义域，求的永远是单独字母x的范围，不是括号整体: 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．函数的定义域是______. 15．若函数的定义域为，则的定义域为（   ） 【题型4：已知函数类型求解析式（待定系数法）】 解题技巧： 适用:已知是一次函数、二次函数等。 步骤: ① 设解析式(例:-次函数设 f(x)= kx +b,k≠ 0) ② 代入条件列方程，解参数，写出最终解析式 16．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式． 17．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 18．已知为二次函数且，，则________． 19．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式． （2）若对任意实数x，均有，求的解析式． 【题型5：已知复合函数f(g(x))求f(x)(换元法/配凑法)】 解题技巧： 配凑法:把f(g(x))的表达式整理成关于g(x)的式子，直接替换。 换元法:令t =g(x)，反解x，代入原式得到f(t)，最后把t换成x，注意新元t的取值范围(定义域) 20．若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 21．已知，则_________. 22．已知定义域为的函数满足，则的解析式为______． 23．若，且，则_____. 24．已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【题型6：分段函数求解析式 / 求函数值】 解题技巧： 1.求函数值:先判断自变量落在哪一段定义域，再代入对应式子计算。 2.求分段解析式:按自变量不同区间，分别写出对应表达式， 25．已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 26．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 27．已知则（    ） A． B．7 C．10 D．12 28．设函数. (1)求，； (2)若，求的值. 29．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.    (1)写出函数的定义域和值域； (2)求函数的解析式及的值. 【题型7：两个函数相等】 解题技巧： 两个函数相等，必须同时满足两个条件 1. 定义域完全相同 2. 对应关系（化简之后的解析式）完全相同 30．（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 31．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 32．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 33．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与. C．与 D．与 【题型8：函数值】 解题技巧： 1.普通代入求值 把给定的自变量直接代入解析式计算 f(a)，a必须在定义域内。例:f(x)=2x+1，f(3)=2×3+1=7 2.多层嵌套求值(高频)f(f(a)) 由内向外逐层计算 第一步:先算内层f(a); 第二步:把第一步算出来的结果，再代入函数算外层。 3.已知函数值，反求自变量(和前面分段函数题型重合)已知,f(x)= m，解方程，解出来的 x必须属于定义域，舍去不在定义域的根。 4.抽象函数求函数值 用赋值法，给x赋特殊值(0，1，-1等)求f(0)，f(1)。 34．（多选）定义在R上的函数，对于任意的x，y都有，且，则（   ） A． B． C． D． 35．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 36．函数，则___________． 37．已知，，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．15 38．已知函数，则的值是（    ）． A． B．0 C．1 D．20 39．已知函数，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念及其表示重难点八大题型突破 【题型1：区间的表示】 【题型2：函数的判断】 【题型3：函数的定义域】 【题型4：已知函数类型求解析式（待定系数法）】 【题型5：已知复合函数f(g(x))求f(x)(换元法/配凑法)】 【题型6：分段函数求解析式 / 求函数值】 【题型7：两个函数相等】 【题型8：函数值】 【题型1：区间的表示】 解题技巧： 1.十∞、-∞旁边永远用圆括号，不能写[-∞,+∞] 2.多个区间用逗号隔开，不能随便用U 3.区间左小右大，左边数字必须小于右边 1．已知区间，，则（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】 ， 故选：B 2．集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】 , 故选：B 3．已知集合，，则______． 【答案】 【分析】根据并集定义计算即可. 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合的并集及区间的表示即可求得结果. 【详解】如图所示， 所以. 故选：. 【题型2：函数的判断】 5．下列图象中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应， 选项ACD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象， 选项B中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 6．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 7．（多选）下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 8．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 9．（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 【题型3：函数的定义域】 解题技巧：抽象函数的定义域 核心:同一对应法则f，括号里面整体范围不变例:已知f(x)定义域(1,3)，求f(2x -1)的定义域1 < 2x -1 < 3，解x范围。 易错提醒： 抽象函数定义域，求的永远是单独字母x的范围，不是括号整体: 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知函数定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围即可得答案． 【详解】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数需满足，解得， 故函数的定义域为. 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 13．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由 . 所以函数的定义域为. 故选：C 14．函数的定义域是______. 【答案】 【分析】根据二次根式和分式的意义列式求解. 【详解】根据题意，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 15．若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得的定义域为，结合解析式及根式性质求其定义域. 【详解】因为的定义域为，则，故， 所以的定义域为，要使函数有意义， 则，解得. 所以函数的定义域为. 故选：D. 【题型4：已知函数类型求解析式（待定系数法）】 解题技巧： 适用:已知是一次函数、二次函数等。 步骤: ① 设解析式(例:-次函数设 f(x)= kx +b,k≠ 0) ② 代入条件列方程，解参数，写出最终解析式 16．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）构造方程，解方程组求出函数解析式即可. 【详解】（1）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得，所以，解得， 故的解析式为． （2）因为对于任意的都有， 将替换为，得， 由， 消去，可得． 17．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或 . 故选：AC 18．已知为二次函数且，，则________． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 19．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式． （2）若对任意实数x，均有，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，利用待定系数法求解即可； （2）构造关于方程组求解即可. 【详解】（1）因为是一次函数，所以设，， 又因为， 所以，整理得， 故，解得， 所以. （2）因为①， 所以②， 由①②得：， 解得：. 【题型5：已知复合函数f(g(x))求f(x)(换元法/配凑法)】 解题技巧： 配凑法:把f(g(x))的表达式整理成关于g(x)的式子，直接替换。 换元法:令t =g(x)，反解x，代入原式得到f(t)，最后把t换成x，注意新元t的取值范围(定义域) 20．若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法求解函数解析式. 【详解】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 21．已知，则_________. 【答案】 【分析】利用换元法即可得解. 【详解】对于，令，则， 所以，则. 故答案为：. 22．已知定义域为的函数满足，则的解析式为______． 【答案】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 代入，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 23．若，且，则_____. 【答案】 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则，原式化为， 所以. 故答案为： 24．已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【详解】（1）取，得． （2）由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． （3）由题意得，故，解得， 又因为，因此． 【题型6：分段函数求解析式 / 求函数值】 解题技巧： 1.求函数值:先判断自变量落在哪一段定义域，再代入对应式子计算。 2.求分段解析式:按自变量不同区间，分别写出对应表达式， 25．已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，； (2)； (3)或. 【分析】（1）根据给定的分段函数，分段判断代入求出和的值. （2）分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域. （3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式． 【详解】（1）由函数，，得，， 所以，. （2）当时，；当时，，则， 所以的值域为. （3）当时，，则； 当时，，， 因此， 不等式化为或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 26．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 27．已知则（    ） A． B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式求出函数值. 【详解】. 故选：C 28．设函数. (1)求，； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据函数的解析式，求得，，进而得到的值. （2）根据函数的解析式，分，和三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）； 又，所以. （2）①当时，，满足题意； ②当时，，满足题意； ③当时，，不满足题意. 综上①②③：的值为或. 29．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.    (1)写出函数的定义域和值域； (2)求函数的解析式及的值. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)， 【分析】（1）依题意由图象可直接读取定义域和值域； （2）分段分别设出函数在y轴的左右两侧解析式，利用待定系数法即可得出其解析式，再利用分段函数性质可得. 【详解】（1）根据函数的图象，即可知函数的定义域为， 值域为； （2）设y轴的左侧的线段方程为， 由图可知线段过点，即可得，解得， 所以y轴的左侧的线段为； 设右侧为某抛物线的方程为， 由图像可知抛物线过点，即可得，解得， 即抛物线方程为, 所以函数的解析式为； 可得，所以， 即. 【题型7：两个函数相等】 解题技巧： 两个函数相等，必须同时满足两个条件 1. 定义域完全相同 2. 对应关系（化简之后的解析式）完全相同 30．（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 31．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的三要素判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 32．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为，函数定义域为，A不是； 对于B，函数的值域为，函数的值域为，B不是； 对于C，与的定义域均为，且，即对应法则相同，C是； 对于D，函数定义域为，函数定义域为，D不是. 故选：C 33．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与. C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系相同，是同一个函数，故B正确； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：ABC. 【题型8：函数值】 解题技巧： 1.普通代入求值 把给定的自变量直接代入解析式计算 f(a)，a必须在定义域内。例:f(x)=2x+1，f(3)=2×3+1=7 2.多层嵌套求值(高频)f(f(a)) 由内向外逐层计算 第一步:先算内层f(a); 第二步:把第一步算出来的结果，再代入函数算外层。 3.已知函数值，反求自变量(和前面分段函数题型重合)已知,f(x)= m，解方程，解出来的 x必须属于定义域，舍去不在定义域的根。 4.抽象函数求函数值 用赋值法，给x赋特殊值(0，1，-1等)求f(0)，f(1)。 34．（多选）定义在R上的函数，对于任意的x，y都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由于对于任意的x，y都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的x，y都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，，，， 所以故D正确． 故选：ACD． 35．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】令可求出，令、可求出. 【详解】令，则， 令，，则． 故选：C 36．函数，则___________． 【答案】 【分析】令代入，求出，则，再令代入，即可求得的值. 【详解】由， 则， 故答案为：. 37．已知，，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．15 【答案】C 【分析】根据代入法，结合函数解析式进行求解即可. 【详解】令得，将代入中得，∴， 故选：C 38．已知函数，则的值是（    ）． A． B．0 C．1 D．20 【答案】B 【分析】分别求得的值即可求得的值. 【详解】， 则 故选：B 39．已知函数，则______． 【答案】2026 【分析】先求出的值，再代入求出的值即可. 【详解】由题可得， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $