精品解析：浙江省余姚中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题

余姚中学2026学年第一学期10月质量检测高一数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知函数，则（ ）． A. B. 9 C. D. 11 5. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，且，设，，，则（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（ ）． A. B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，则的定义域是_______． 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 14. 已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）若，求实数的取值范围； （2）若中，求实数的取值范围. 16. 已知函数，． （1）求在上的最小值； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2026学年第一学期10月质量检测高一数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】逐项分析函数的定义域和对应关系即可. 【详解】选项A： ​的定义域是；的定义域同样是， 但对应关系不同，不是同一函数，A错误； 选项B： 的分母不能为0，定义域是；而的定义域是全体实数， 定义域不同，不是同一函数，B错误； 选项C： 根据根式运算性质，，两个函数的定义域都是全体实数， 对应关系完全一致，是同一个函数，C正确； 选项D： 要求被开方的分式非负，即，解得定义域是或； 而要求根号内的数都为正，且分母不能为0，即且， 解得定义域是，定义域不同，不是同一函数，D错误. 4. 已知函数，则（ ）． A. B. 9 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式对右侧表达式变形，凑出的整体形式，换元得到，再代入得． 【详解】因为， 则， 所以． 5. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以当且仅当，即当且仅当， 所以 因为，所以上式， 当且仅当，即时取等. 所以有最大值. 故选：B. 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，，且，设，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得出，令，则，利用赋值法可求出、、的值，即可得出这三个数的大小关系. 【详解】对任意的、，在等式两边同时除以可得， 令，则， 令，可得，解得， 令可得，所以， 因为，则，所以， 即，所以， 令，则，所以， 即，所以， 令，则， 令，，可得， 即，故， 所以，，，故， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD 【详解】对于A,若，，则，故A错误； 对于B,若，则，即，故B正确； 对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得， 则，故C正确； 对于D,满足，则得不到，故D错误 故选：BC 10. 已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（ ）． A. B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：将代入题干等式计算即可得出；对于B选项：将代入题干等式根据奇偶性的定义可判断正误；对于C选项：根据定义法证明单调性即可；对于D选项，利用函数单调性与奇偶性综合解不等式. 【详解】由题知：对任意的， 都有（*）， 将带入（*）式得：， 故，故A选项正确； 将带入（*）式得， 而函数的定义域是R，易知为奇函数，故B选项错误； ，不妨令：， 令，，则， 将上述带入（*）式得：， 即：， 而，所以， 由题知：且当时，， 所以，故， 根据函数的单调性定义可知：函数在上单调递增，故C选项正确； 由不等式， 由B选项知为奇函数， 所以上述不等式可写为：， 由C选项知：函数在上单调递增， 易知：，解得：或， 故的解集为，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式，“1的代换”，构造法，逐一进行判断. 【详解】已知，， 选项A：由，， （舍去）或，，当时等号成立，A正确. 选项B：，等号成立的条件为， 与矛盾，没有最小值，B错误. 选项C：由，，则， ， ，当时等号成立，C正确. 由，，，， 当即，时取等号，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，则的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知的定义域是的取值范围，先求出括号内整体的取值范围，再令落在该区间，解不等式得到的定义域． 【详解】由，得，则的定义域为， 令，得，即， 所以的定义域为． 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，. 14. 已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对任意的，总存在，使成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】，函数的对称轴为：， 对任意的，则.记； 由题意，知时不成立， 当时，，在上是增函数， ，记. 由题意，知， ，解得. 当时，，在上是减函数， ，记. 由题意，知 ，解得. 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）若，求实数的取值范围； （2）若中，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解； （2）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， ， 又，则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； 【小问2详解】 解：由可得：， 当时，，此时，而， 若，则满足题意， 当时，，不等式解集为，此时满足， 所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或， 综上所述：实数的取值范围为：或. 16. 已知函数，． （1）求在上的最小值； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）小问求出函数的对称轴，分类讨论，以及三种情况； （2）小问换元法，令，将恒成立转化成恒成立，求的最大值即可. 【小问1详解】 函数，，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增， 所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当，即时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：. 【小问2详解】 若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则在上，单调递减，在上，单调递增， 又因为，， 所以， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围为． 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 函数在上单调递增.证明如下： ， ， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解并验证即得. （2）判断单调性，再利用增函数的定义直接证明. （3）由（2）求出的最大值1，根据给定条件，将问题转化为在上的最小值不小于1，再按分类求解. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 由，，都有恒成立，得在上的最小值不小于1， 即当时，恒成立， 当时，函数在上单调递增，， 则，而，因此； 当时，恒成立，因此； 当时，函数在上单调递减，， 则，而，因此， 所以实数k的取值范围是. 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数” （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. 【小问1详解】 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 【小问2详解】 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即①， 当时，，则，即②. 所以①或②有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. 【小问3详解】 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $