专题02 三角形的内角与外角讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册期中专题复习

该初中数学讲义以“三角形内角与外角”为核心，通过知识框架图系统梳理内角和定理、直角三角形性质及外角性质，用表格归纳求角度方法、判定三角形形状技巧，结合考频标注（★）突出考点02、03、04的高频重点，清晰呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层例题设计，如利用内角和求角度（例1-5）、外角性质应用（例16-20），解析强调推理过程培养推理意识，结合图形分析发展几何直观。每个考点配方法总结表，助力基础生掌握技巧、优秀生深化理解，教师可据此实施精准复习教学。

专题02 三角形的内角与外角 考点01（★★）利用三角形内角和求角度 3 考点02（★★★）利用三角形内角和定理判断三角形形状 7 考点03（★★★）直角三角形的性质和判定 10 考点04（★★★）三角形的外角及外角性质的应用 12 1．三角形内角和定理 （1）三角形三个内角的和等于180°． （2）几种常见的证明三角形内角和为180°的方法： ①测量法：用量角器测量． ②拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角． ③利用“平行线的性质”证明． 原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角． （3）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2．直角三角形 （1）直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． （2）性质：直角三角形的两个锐角互余． （3）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． （2）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． ③三角形的外角和等于360°．（每个顶点处取一个外角） ④三角形的外角与其相邻内角互为邻补角． 1．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 2．直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． （3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★）利用三角形内角和求角度 利用三角形内角和定理求三角形中角的度数的方法 （1）直接根据两已知角求第三个角； （2）依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； （3）在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【例1】　（2024秋•定陶区期末）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC＝90°∠A， ∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°， 故选：D． 【例2】　（2025春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠1＝50°，∠2＝40°，则∠B的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】先由垂直的定义得出∠ADC＝90°，求出∠C＝90°﹣∠2＝50°，由平分线的定义得出，求出∠DAE＝∠1﹣∠2＝10°，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠2＝50°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠1＝50°，∠2＝40°， ∴∠DAE＝∠1﹣∠2＝10°， ∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠DAE﹣∠C＝30°， 故选：C． 【例3】　（2024秋•古蔺县期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝40°，∠C＝45°，则∠CDE的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD∠ABC＝20°，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD∠ABC＝20°，∠AFB＝∠EFB＝90°， ∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣20°＝70°， ∴AB＝BE， ∴AF＝EF， ∴AD＝ED， ∴∠DAF＝∠DEF， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣45°＝95°， ∴∠BED＝∠BAD＝95°， ∴∠CDE＝95°﹣45°＝50°， 故选：D． 【例4】　（2024秋•巴中期末）如图，AB∥CD，CE⊥CD于点C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．无法确定 【答案】B 【分析】过E点作EG∥AB，利用平行线的性质与判定可求解∠BAE+∠AEC+∠C＝360°，结合垂直的定义可求解∠BAE+∠AEC＝270°，再利用角平分线的定义可得∠AEF+∠EAF＝135°，最后由三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：过E点作EG∥AB， ∴∠BAE+∠AEG＝180°， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEC+∠C＝180°， ∴∠BAE+∠AEC+∠C＝360°， ∵CE⊥CD于点C， ∴∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEC＝270°， ∵∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F， ∴∠AEF∠AEC，∠EAF∠BAE， ∴∠AEF+∠EAF＝135°， ∵∠AEF+∠EAF+∠F＝180°， ∴∠F＝180°﹣135°＝45°． 故选：B． 【例5】　（2024秋•科尔沁区期末）如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】D 【分析】在△ABC中先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据已知∠1＝∠2，∠3＝∠4得出∠2+∠4＝40°，在△BPC中根据三角形内角和定理求出∠BPC的度数即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠2+2∠4＝80°， ∴∠2+∠4＝40°， 在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°， ∴∠BPC＝140°， 故选：D． 考点02（★★★）利用三角形内角和定理判断三角形形状 利用三角形内角和定理判断三角形形状时，可不计算角度，只计算份数，如下面例题中，三角形三个内角度数的比为，2+4=6<7，两个较小的角，度数之和占6份，最大的角占7份，所以是钝角三角形． 【例6】　（2025秋•延长县月考）若一个三角形的三个内角的度数分别为30°，50°，100°，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【解答】解：验证内角和：30°+50°+100°＝180°，符合三角形内角和为180°的性质； 判断角类型：30°和50°均小于90°，为锐角，100°大于90°，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 【例7】　（2025春•清城区期末）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据题意，设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，结合三角形内角和定理解得x的值，进而确定∠A，∠B，∠C的值，即可获得答案． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+3x＝180°， 即6x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝30°×2＝60°，∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【例8】　（2024秋•青阳县期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状． 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：A． 【例9】　（2024秋•绛县期末）已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和定理，求出各角后得结论． 【解答】解：设△ABC的三个内角度数分别为：2x、3x、4x． 则2x+3x+4x＝180°． ∴x＝20°． ∴△ABC的三个内角度数分别为40°、60°、80°． ∵80°＜90°， ∴该三角形为锐角三角形． 故选：A． 【例10】　（2024秋•平舆县期末）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理可求出各内角的度数，再进行判断即可． 【解答】解： 由题意可设三个内角分别为2x°，3x°，6x°， 由三角形内角和定理可知：2x+3x+6x＝180，解得x， ∴6x90， 所以三角形为钝角三角形， 故选：D． 考点03（★★★）直角三角形的性质和判定 1．直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． （3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理． 2．注意 符号“Rt△”不可单独使用，具体的直角三角形用符号“Rt△”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母．如“Rt△ABC”． 【例11】　（2024秋•阿克苏市期末）若直角三角形的一个锐角是65°，则另一个锐角的度数是（　　） A．45° B．35° C．25° D．15° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理，依据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余， ∴直角三角形的一个锐角是65°，则另一个锐角的度数是：90°﹣65°＝25°， 故选：C． 【例12】　（2024秋•新昌县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A＝50°， 故选：A． 【例13】　（2025春•怀化期末）若直角三角形的一个锐角是55°，则另一个锐角的度数是（　　） A．45° B．35° C．25° D．15° 【答案】B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余计算得出． 【解答】解：另一个锐角的度数为：90°﹣55°＝35°， 故选：B． 【例14】　（2025春•寒亭区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝35°， ∴∠B＝90°﹣35°＝55°， 故选：B． 【例15】　（2025春•潍坊期末）如图，在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B＝55°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【答案】C 【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC是斜边， 则∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°， 故选：C． 考点04（★★★）三角形的外角及外角性质的应用 1．利用三角形外角的性质建立同一个三角形中内角和外角之间的联系．对于不是三角形内角或外角的角，可通过作辅助线构造三角形求解． 2．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用： （1）已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个； （2）可证一个角等于另两个角的和； （3）经常利用它证明两个角相等． 【例16】　（2024秋•防城港期末）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：∵∠A＝70°，∠ABD＝120°， ∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°， 故选：B． 【例17】　（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，△ABC中∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到点D，则∠CAD的度数是（　　） A．50° B．70° C．80° D．110° 【答案】B 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【解答】解：由题意可知：∠CAD是△ABC的一个外角， ∴根据三角形外角的性质，∠CAD＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°， 故选：B． 【例18】　（2024秋•平原县期末）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为（　　） A．47° B．57° C．67° D．77° 【答案】C 【分析】由三角形的外角性质求出∠DAC+∠FCA＝226°，由角平分线的定义得到∠CAE+∠ACE＝113°，由三角形的内角和定理求出∠AEC＝67°． 【解答】解：∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠FCA＝∠B+∠BAC， ∴∠DAC+∠FCA＝∠B+∠ACB+∠BAC+∠B＝180°＝46°＝226°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠CAE∠DAC，∠ACE∠ACF， ∴∠CAE+∠ACE（∠DAC+∠ACF）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣113°＝67°． 故选：C． 【例19】　（2024秋•川汇区期末）如图，若∠B＝45°，∠ACD＝130°，则∠A的度数是（　　） A．90° B．85° C．80° D．75° 【答案】B 【分析】根据三角形的外角性质直接计算即可． 【解答】解：∵∠B＝45°，∠ACD＝130°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣45°＝85°， ∴∠B＝45°，∠ACD＝130°时，则∠A的度数是85°． 故选：B． 【例20】　（2024秋•香格里拉市期末）如图，已知∠1＝45°，∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】根据三角形外角性质得到∠2＝∠1+∠B进行求解，即可解题． 【解答】解：∵∠B＝65°，∠1＝45°， ∴∠2＝∠1+∠B＝45°+65°＝110°， ∴∠1＝45°，∠B＝65°，则∠2的度数为110°． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $