第三单元 小数除法（循环小数）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学五年级上册（新教材）

第三单元 小数除法（循环小数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、循环小数的产生 在小数除法计算中，有时会出现除不尽的情况：余数重复出现，商的小数部分也会不断重复出现相同的数字，永远也除不完，这样得到的商就是循环小数。 ● 本质：余数重复出现 → 商的对应数位重复出现，循环往复。 ● 例：，余数10不断重复出现，商的十分位、百分位……不断出现5，结果是。 二、循环小数的定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 ● 关键词：小数部分、依次不断、重复出现，三个条件同时满足才是循环小数。 ● 注意：整数部分的数字重复不算，必须是小数部分的数字依次不断重复。 三、循环节 1. 定义：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 　　● 例：的循环节是3；的循环节是45；的循环节是258。 2. 循环起点：循环节不一定从十分位开始，可以从百分位、千分位等任意小数位开始。 　　● 例：的循环节是17，从百分位开始循环。 四、循环小数的写法 1. 一般写法：写出两个完整的循环节，后面加上省略号"…"。 　　● 例：、 2. 简便写法：只写出第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点（循环点）。 　　● 循环节只有一个数字：只在这个数字上面点一个点。例：写作 　　● 循环节有两个数字：分别在两个数字上面点。例：写作 　　● 循环节有三个及以上数字：只在首位和末位上面点。例：写作 五、小数的分类 按小数部分的位数是否有限，分为两类： 1. 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 　　● 例：、、 2. 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 　　● 循环小数是无限小数的一种； 　　● 还有无限不循环小数（小学阶段暂不深入）。 ● 关系：循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 六、循环小数的近似数 求循环小数的近似数，用四舍五入法，方法和普通小数求近似数相同： 1. 先看清保留几位小数； 2. 把循环小数多写出几位，直到能看到要保留位数的下一位； 3. 按四舍五入法取近似值，用"≈"连接。 ● 例：保留两位小数：；保留三位小数： 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：循环小数识别法——余数重复判断法 【解题思路】 判断一个小数是不是循环小数，核心看小数部分有没有"依次不断重复出现"的数字。计算除法时，只要余数第二次重复出现，就能确定商是循环小数，不用一直除下去。 【操作步骤】 第一步：看小数部分有没有重复出现的数字组； 第二步：判断是不是"依次不断"重复，也就是按固定顺序一直重复下去； 第三步：两个条件都满足就是循环小数，重复的数字组就是循环节。 【易错提升】 ● 易错点1：把有限小数当成循环小数，比如3.2525。 　　→ 规避技巧：循环小数小数部分无限，必须有省略号或循环点，有限位数的不是循环小数。 ● 易错点2：只要有重复数字就认为是循环小数，比如2.112113…。 　　→ 规避技巧：必须是"依次不断重复"，也就是按相同顺序一直循环，中间不能插入其他数字。 方法点拨2：简便写法——循环节标点点法 【解题思路】 写循环小数的简便形式，关键是找准循环节，只在循环节的第一个和最后一个数字上面点循环点，中间的数字不用点。 【操作步骤】 第一步：找出依次不断重复的数字，确定循环节； 第二步：只写第一个循环节，不写省略号； 第三步：在循环节的首位数字和末位数字上面各点一个小圆点。 【易错提升】 ● 易错点1：循环节每个数字上面都点上点。 　　→ 规避技巧：只有首位和末位点，中间不用点，循环节是一个数字的只点一个点。 ● 易错点2：把循环点标在整数部分的数字上。 　　→ 规避技巧：循环点只标在小数部分的数字上，整数部分不标。 方法点拨3：求近似数——延伸四舍五入法 【解题思路】 求循环小数的近似数，先把循环小数的省略部分展开几位，直到能看到保留位数的下一位，再按四舍五入法取舍。 【操作步骤】 第一步：明确保留的小数位数； 第二步：把循环小数展开，比要保留的位数多写出一位； 第三步：看下一位数字，满5进1，不满5舍去，写出近似数。 【易错提升】 ● 易错点1：只看到循环节第一位就四舍五入，不看下一位。 　　→ 规避技巧：保留几位就多看一位，比如保留两位小数，就要看到第三位小数。 ● 易错点2：近似数用"="连接。 　　→ 规避技巧：近似数是近似值，不是准确值，必须用"≈"连接。 【第三部分】考点讲练 考点一：循环小数的认识与判断 考查重点：理解循环小数的意义，能正确判断循环小数，找出循环节。 【典例精讲】 题目：下面的小数中，哪些是循环小数？在括号里画"√"，并写出循环节。 （1）（　）　循环节：______ （2）（　）　循环节：______ （3）（　）　循环节：______ （4）（　）　循环节：______ 【分析】 根据循环小数的定义判断：小数部分、依次不断重复出现。有限小数不是循环小数；有省略号且小数部分数字依次重复的是循环小数。 【详解】 （1）小数部分45依次不断重复，是循环小数，循环节是45。 （2）是六位有限小数，不是无限的，不是循环小数。 （3）小数部分6依次不断重复，是循环小数，循环节是6。 （4）小数部分235依次不断重复，是循环小数，循环节是235。 【答案】（1）√，45；（2）×；（3）√，6；（4）√，235 【变式训练】 题目：判断：是循环小数。（　） 【分析】 循环小数是无限小数，小数部分位数无限。小数部分只有6位，是有限小数，不是循环小数。 【详解】 的小数部分位数是有限的，属于有限小数，不符合循环小数"小数部分依次不断重复、位数无限"的特点，所以不是循环小数。 【答案】× 考点二：循环小数的读写与简便写法 考查重点：掌握循环小数的简便写法，能正确进行一般写法和简便写法的互化。 【典例精讲】 题目：把下面的循环小数用简便写法表示。 （1） 写作：________ （2） 写作：________ （3） 写作：________ （4） 写作：________ 【分析】 先找出每个循环小数的循环节，再按简便写法规则：循环节首位和末位上面点循环点。 【详解】 （1）循环节是3，一个数字，只在3上面点： （2）循环节是28，两个数字，首位末位都点： （3）循环节是105，三个数字，点1和5： （4）循环节是456，从百分位开始，点4和6： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【变式训练】 题目：读出下面的循环小数。 （1） 读作：________ （2） 读作：________ 【分析】 循环小数的读法：先按普通小数读，再读出循环节，加上"循环"二字。 【详解】 （1） 读作：四点七，七循环 （2） 读作：零点三六，三六循环 【答案】（1）四点七，七循环；（2）零点三六，三六循环 考点三：循环小数的近似数 考查重点：能按要求用四舍五入法求循环小数的近似数。 【典例精讲】 题目：求下面各循环小数的近似数。（保留两位小数） （1）________ （2）________ （3）________ 【分析】 保留两位小数，要看千分位上的数字。先把循环小数展开到千分位，再按四舍五入法取舍。 【详解】 （1），千分位是8，满5进1， （2），千分位是2，不满5舍去， （3），千分位是4，不满5舍去， 【答案】（1）0.89；（2）3.27；（3）1.50 【变式训练】 题目：保留三位小数约是多少？ 【分析】 保留三位小数，要看第四位小数。先展开循环小数到第四位，再四舍五入。 【详解】 第四位小数是9，满5向千分位进1，千分位5+1=6 所以 【答案】2.906 考点四：循环小数的大小比较 考查重点：能正确比较循环小数的大小，掌握比较方法。 【典例精讲】 题目：把下面各数按从小到大的顺序排列。 、、、 【分析】 比较小数大小，先比整数部分，再依次比十分位、百分位、千分位……把循环小数展开相同位数，逐位比较。 【详解】 先把各数展开到千分位： 从小到大比较： 所以： 【答案】 【变式训练】 题目：比较大小： ○ 【分析】 先计算出的商，再和比较。 【详解】 两个数相等，所以 【答案】＝ 【第四部分】专项提升练习 1．循环小数0.333…用简便记法写作( )。 【答案】 【分析】只写一遍循环节，循环节只有一位数字，在循环节上方加点；循环节有两位及以上数字，要在循环节的首位和末尾数字上方加点。 【详解】 2．5÷9的商用循环小数表示是( )，保留两位小数是( )。 【答案】 0.56 【分析】找出商中依次不断重复出现的数字，即为循环节， 循环小数的简便写法是在第一组循环节的首位和末尾数字上面点上小圆点。结果保留两位小数，就要看小数点后第三位（即千分位上的数），根据“四舍五入”法取舍。 【详解】5÷9＝0.555… 依次重复出现的数是“5”，因此循环节为“5”，商用循环小数表示为。 千分位上是5，5＝5，向百分位进1，百分位变成5＋1＝6，保留两位小数为0.56。 3．在3.1415926…，12.383，，9.1666…中，( )是有限小数，( )是无限小数，( )是循环小数。 【答案】 12.383 3.1415926…、、9.1666… 、9.1666… 【分析】有限小数：小数部分的位数是有限的小数； 无限小数：小数部分的位数是无限的小数； 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】12.383小数位数有限，是有限小数；3.1415926…、、9.1666…小数部分无限，属于无限小数；其中小数部分有依次不断重复出现数字的是、9.1666…，是循环小数。 4．在1.3232、177.77、3.141592…、、0.23535…这些数中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 【答案】 1.3232、177.77 3.141592…、、0.23535… 、0.23535… 【分析】根据小数的分类，小数可分为有限小数和无限小数；有限小数的小数部分的位数是有限的，无限小数的小数部分的位数是无限的，一个无限小数的小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字，这样的小数就叫做循环小数，循环小数的位数也是无限的，所以循环小数也是无限小数；据此判断即可。 【详解】根据分析可知，有限小数是1.3232、177.77，无限小数有3.141592…、、0.23535…，循环小数有、0.23535…。 5．在8.148148…、8.1488…、8.148148、8.14848…和8.148这几个数中，( )是有限小数，( )是循环小数；8.148148…的循环节是( )。 【答案】 8.148148、8.148 8.148148…、8.1488…、8.14848… 148 【分析】有限小数是小数部分位数有限的小数；一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数是循环小数，循环节是循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字。据此解答。 【详解】8.148148的小数部分只有6位，8.148的小数部分只有3位，所以8.148148、8.148是有限小数； 8.148148…小数部分148不断重复，8.1488…小数部分8不断重复，8.14848…小数部分48不断重复，所以8.148148…、8.1488…、8.14848…是循环小数； 8.148148…小数部分148不断重复，所以循环节是148。 6．在…，，…，，中，有限小数有________无限小数有________循环小数有________。 【答案】 …、…、、 …、、 【分析】有限小数：是小数点后面只有有限个不全为“0”的数字的小数。 无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。 无限循环小数：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。 【详解】在…，，…，，中，有限小数有无限小数有…，…，，循环小数有…，，。 【点睛】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 7．在6.089、6.08989、、6.08989…、这五个数中，( )是无限小数，( )是有限小数，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 、6.08989…、 6.089、6.08989 6.089 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。循环小数是无限小数。 比较大小时，先把循环小数的简写形式改写成无限小数形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较。 【详解】6.089是有限小数； 6.08989是有限小数； 是无限小数，＝6.089089…； 6.08989…是无限小数； 是无限小数，＝6.08999…； 6.08999…＞6.08989…＞6.08989＞6.089089…＞6.089 ＞6.08989…＞6.08989＞＞6.089 填空如下： 在6.089、6.08989、、6.08989…、这五个数中，（、6.08989…、）是无限小数，（6.089、6.08989）是有限小数，最大的数是（），最小的数是（6.089）。 8．在0.314、0.3143、0.314314…、0.31433143…和0.31443144…中，循环小数有( )个，这五个数中最大的是( )、最小的是( )。 【答案】 3 0.31443144… 0.314 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数都是无限小数。在循环小数中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。循环小数的简便写法：当确定循环节后，只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。 比较两个小数的大小，先看它们的整数部分。整数部分大的那个数就大；若整数部分相同，再看十分位，十分位上数字大的那个数就大；若十分位上的数字也相同，接着看百分位，百分位上数字大的那个数就大；若百分位上数字还是相同，就继续看千分位，千分位上数字大的那个数就大……依此类推，从高位到低位逐位进行比较，直到比较出大小为止，据此解答。 【详解】0.314是有限小数，它的小数部分只有3位，不是循环小数； 0.3143是有限小数，它的小数部分只有4位，不是循环小数； 0.314314…是无限小数，它的小数部分314依次不断重复出现，是循环小数； 0.31433143…是无限小数，它的小数部分3143依次不断重复出现，是循环小数； 0.31443144…是无限小数，它的小数部分3144依次不断重复出现，是循环小数。 0.314＜0.3143＜0.314314…＜0.31433143…＜0.31443144… 所以在0.314、0.3143、0.314314…、0.31433143…和0.31443144…中，循环小数有3个，这五个数中最大的是0.31443144…、最小的是0.314。 9．在 8.60606060，3.5123679…，2.356432，0.8282…，这5个小数中( )是有限小数，( )是循环小数。无限不循环小数是( )。 【答案】 8.60606060、2.356432 0.8282…、 3.5123679… 【分析】有限小数是小数部分位数有限的小数；循环小数是小数部分有重复循环节的小数；无限不循环小数是小数部分无限且不重复的小数。据此对每个小数逐一分析。 【详解】8.60606060：小数部分有8位数字，没有省略号，是有限小数； 3.5123679…：有省略号，小数部分无限，但数字序列“5123679”没有重复循环节，是无限不循环小数； 2.356432：小数部分有6位数字，没有省略号，是有限小数； 0.8282…：有省略号，小数部分无限，且“82”重复，循环节是82，是循环小数； ：有循环点，循环节是“094”，是0.094094094…，是循环小数。 综上，这5个小数中8.60606060、2.356432是有限小数，0.8282…、是循环小数。无限不循环小数是3.5123679…。 10．在1.32、、、、1.33这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【分析】小数的大小比较，从最高位开始，先比较整数部分，题干所给的小数的整数部分都是，因此逐位比较小数部分，十分位都是，比较百分位，、、这三个数的百分位都是，再比较千分位，的千分位是，是三个数中最小的，的千分位是，是三个数中最大的，所以：；而、百分位都是（大于前面比较过的三个数），比较这两个数的千分位，的千分位是，的千分位是，所以，依此把题干所给的五个数从大到小排序，即可得到最大数和最小数。 【详解】五个数排序为：，所以五个数中，是最大的，是最小的， 11．在小数1.1765、、、1.1765555…、1.1765176175…中，有限小数是( )，循环小数有( )个；这些数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 1.1765 3 1.1765 【分析】小数位数有限的小数叫作有限小数，小数位数无限的叫作无限小数；一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数； 比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的数就大，整数部分相同，再比较十分位，十分位相同，再比较百分位……；可以把循环小数的简便形式改写成一般形式，再把各数按从大到小的顺序排列，即可解答。 【详解】根据分析可知： 在小数1.1765、、、1.1765555…、1.1765176175…中，1.1765只有4位小数，则有限小数是1.1765； 是循环小数的是：、、1.1765555…，则循环小数有3个； ＝1.17651765… ＝1.1765765… 因为1.1765765…＞1.1765555…＞1.17651765…＞1.1765176175…＞1.1765， 所以＞1.1765555…＞＞1.1765176175…＞1.1765。 这些数中，最大的是，最小的是1.1765。 12．把1.5，，，四个数按照从大到小的顺序排列后，排在第二个的是( )。 【答案】 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。先把循环小数的简写形式改写成一般形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较。小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】＝1.505050… ＝1.055555… ＝1.505505… 1.505505…＞1.505050…＞1.5＞1.055555… 即＞＞1.5＞ 所以排在第二个的是。 13．6.423423423…小数部分第10位上的数字是______________，第80位上的数字是______________。 【答案】 4 2 【分析】观察小数6.423423423… 可知，小数部分数字“423”依次不断重复出现，这是一个循环小数，循环节是“423”，3个数字一组，要求小数部分第几位上的数字，就用位数除以3，根据余数来判断：余数是几就对应循环节中第几个数字，没有余数对应着循环节中最后1个数字。 【详解】“423”3个数一组 （组）（个） 循环节中第1个数字是4，所以小数部分第10位上的数字是4。 （组）（个） 循环节中第2个数字是2，所以小数部分第80位上的数字是2。 14．5÷37的商是( )小数，用简便方法记作( )，商的小数部分第100位上的数是( )。 【答案】 循环 1 【分析】列竖式求商，判断小数类型；根据余数重复出现的情况判断循环节，从小数点后某一位开始一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数叫做循环小数，被重复的一个或几个数字叫做循环节；最后利用周期问题的规律，用“位数÷循环节位数”求出余数，确定小数部分第100位上的数字。 【详解】 通过列竖式，小数部分“135”这三个数字依次不断重复出现，发现商是（ 循环 ）小数； 5÷37＝0.135135，循环节是“135”，在循环节的首位“1”和末位“5”上各点一个圆点，简便记作：； 循环节“135”共有3位数字，即周期长度是3：100÷3＝331，即表示第100位上的数字是下一组循环节中的第1个数字，就是循环节“135”的第1个数字是“1”。 因此，5÷37的商是循环小数，用简便方法记作，商的小数部分第100位上的数是1。 15．3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是( )，保留两位小数约是( )，商的小数部分第100位数字是( )。 【答案】 0.32 1 【分析】①找出商的小数部分依次重复出现的数即循环节，在循环节的首位和末位点上小黑点即可； ②保留两位小数，看小数点后的第三位，再根据“四舍五入”法取近似数； ③先用100减去不循环的小数位数，再除以循环节的数字个数，根据余数确定第100位数字是几（余数是几对应循环节第几位数）。 【详解】3.5÷11＝0.31818……，所以3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是； 的第三位小数是8，8＞5，所以； 所以商的小数部分第100位数字是1。 16．循环小数的小数部分第1000位上的数字是( )。 【答案】5 【分析】这个循环小数的循环节是42857，每一个循环节是5个数字，且是从百分位后开始循环，可以看（1000－1）位中有几5，就有几个循环节。用（1000－1）除以5，如果没有余数，则第1000位上的数字是7；如果余数是1，则第1000位上的数字是4；如果余数是2，则第1000位上的数字是2；如果余数是3，则第1000位上的数字是8；如果余数是4，则第1000位上的数字是5。 【详解】（1000－1）÷5 ＝999÷5 ＝199（组）……4（个） 42857的第4个数字是5，所以第1000位上的数字是5。 17．2.3÷0.33商的小数点后面第21位上的数是多少？这21位上的数字总和是多少？ 【答案】第21位上的数是9；这总和是159； 【分析】首先计算2.3÷0.33的商，判断商是否为循环小数，确定其循环节的内容与长度。因为要找第21位上的数字，所以用21除以循环节的长度，根据余数判断对应循环节中的位置，得到该位数字。因为要求21位数字总和，所以先计算完整循环节的和，乘完整循环的个数，再加上剩余位数的数字和，即可得到总和。 【详解】 2.3÷0.33＝6.969696⋯ 可以发现商是循环小数，循环节为96，是2位一循环的周期规律。 循环周期长度为2，计算21位包含多少个完整周期、余几个数位： ……1； 余数为1，说明第21位对应循环节96的第1个数字，也就是9； 每个完整周期的数字和为，10个完整周期的数字和为，再加上余下的第21位的数字9： 10×（9＋6）＋9 ＝ 10×15＋9 ＝150＋9 ＝159 答：2.3÷0.33商的小数点后面第21位上的数是9，这21位上的数字总和是159。 18．一张银行卡的密码是一个六位数，这个六位数正好与2÷7的结果中小数点后面第20～25位数字相同。这张银行卡的密码是多少？ 【答案】857142 【分析】先求出2÷7的循环小数，找出循环节；用20除以循环节的位数，看余数，确定第20位对应循环节里的第几个数字，往后取6位就是密码。 【详解】2÷7＝ 循环节是285714，一共6位。 20÷6＝3……2 余数是2，说明小数点后第20位，对应循环节285714的第2位数字：8。 那么第20～25位数字就是循环节中从第2位开始的连续6个数字，即857142。 答：银行卡密码是857142。 19．在0.142857的小数部分添上合适的表示循环节的符号的“•”，把它们都变成循环小数后，使不等式成立。 0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857 【答案】＞＞＞＞＞ 【分析】观察题干后可知，小数点后前六位数字都相同，要想按照从大到小的顺序排列，则第一位小数的循环节的第一位数字是8，第二位小数的循环节的第一位数字是7，第三位小数的循环节的第一位数字是5，第四位小数的循环节的第一位数字是4，第五位小数的循环节的第一位数字是2，第六位小数的循环节的第一位数字是1，由此解决本题即可。 【详解】因为＝0.142857857⋯，＝0.1428577⋯，＝0.14285757⋯，＝0.14285742857⋯，＝0.1428572857⋯，＝0.142857142857⋯ 即0.142857857⋯＞0.1428577⋯＞0.14285757⋯＞0.14285742857⋯＞0.1428572857⋯＞0.142857142857⋯ 则＞＞＞＞＞ 20．有一个纯循环小数，循环节有5个数字，已知小数点后的第16位是9，第32位是8，第63位是0，第104位是7，第800位是3，这个循环小数的循环节是多少？ 【答案】98073 【详解】例如：第16位是9，用16除以5求出商和余数，商是循环节的个数，余数是几，就说明第16位数字就是循环节的第几位数字；照这样的方法分别确定循环节的每一位数字即可。 【解答】16÷5＝3……1，说明循环节第一位是9， 32÷5＝6……2，说明循环节第二位是8， 63÷5＝12……3，说明循环节第三位是0， 104÷5＝20……4，说明循环解第四位是7， 800÷5＝160，说明循环节的末位是3。 答：这个循环小数的循环节是：98073。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数除法（循环小数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、循环小数的产生 在小数除法计算中，有时会出现除不尽的情况：余数重复出现，商的小数部分也会不断重复出现相同的数字，永远也除不完，这样得到的商就是循环小数。 ● 本质：余数重复出现 → 商的对应数位重复出现，循环往复。 ● 例：，余数10不断重复出现，商的十分位、百分位……不断出现5，结果是。 二、循环小数的定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 ● 关键词：小数部分、依次不断、重复出现，三个条件同时满足才是循环小数。 ● 注意：整数部分的数字重复不算，必须是小数部分的数字依次不断重复。 三、循环节 1. 定义：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 　　● 例：的循环节是3；的循环节是45；的循环节是258。 2. 循环起点：循环节不一定从十分位开始，可以从百分位、千分位等任意小数位开始。 　　● 例：的循环节是17，从百分位开始循环。 四、循环小数的写法 1. 一般写法：写出两个完整的循环节，后面加上省略号"…"。 　　● 例：、 2. 简便写法：只写出第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点（循环点）。 　　● 循环节只有一个数字：只在这个数字上面点一个点。例：写作 　　● 循环节有两个数字：分别在两个数字上面点。例：写作 　　● 循环节有三个及以上数字：只在首位和末位上面点。例：写作 五、小数的分类 按小数部分的位数是否有限，分为两类： 1. 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 　　● 例：、、 2. 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 　　● 循环小数是无限小数的一种； 　　● 还有无限不循环小数（小学阶段暂不深入）。 ● 关系：循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 六、循环小数的近似数 求循环小数的近似数，用四舍五入法，方法和普通小数求近似数相同： 1. 先看清保留几位小数； 2. 把循环小数多写出几位，直到能看到要保留位数的下一位； 3. 按四舍五入法取近似值，用"≈"连接。 ● 例：保留两位小数：；保留三位小数： 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：循环小数识别法——余数重复判断法 【解题思路】 判断一个小数是不是循环小数，核心看小数部分有没有"依次不断重复出现"的数字。计算除法时，只要余数第二次重复出现，就能确定商是循环小数，不用一直除下去。 【操作步骤】 第一步：看小数部分有没有重复出现的数字组； 第二步：判断是不是"依次不断"重复，也就是按固定顺序一直重复下去； 第三步：两个条件都满足就是循环小数，重复的数字组就是循环节。 【易错提升】 ● 易错点1：把有限小数当成循环小数，比如3.2525。 　　→ 规避技巧：循环小数小数部分无限，必须有省略号或循环点，有限位数的不是循环小数。 ● 易错点2：只要有重复数字就认为是循环小数，比如2.112113…。 　　→ 规避技巧：必须是"依次不断重复"，也就是按相同顺序一直循环，中间不能插入其他数字。 方法点拨2：简便写法——循环节标点点法 【解题思路】 写循环小数的简便形式，关键是找准循环节，只在循环节的第一个和最后一个数字上面点循环点，中间的数字不用点。 【操作步骤】 第一步：找出依次不断重复的数字，确定循环节； 第二步：只写第一个循环节，不写省略号； 第三步：在循环节的首位数字和末位数字上面各点一个小圆点。 【易错提升】 ● 易错点1：循环节每个数字上面都点上点。 　　→ 规避技巧：只有首位和末位点，中间不用点，循环节是一个数字的只点一个点。 ● 易错点2：把循环点标在整数部分的数字上。 　　→ 规避技巧：循环点只标在小数部分的数字上，整数部分不标。 方法点拨3：求近似数——延伸四舍五入法 【解题思路】 求循环小数的近似数，先把循环小数的省略部分展开几位，直到能看到保留位数的下一位，再按四舍五入法取舍。 【操作步骤】 第一步：明确保留的小数位数； 第二步：把循环小数展开，比要保留的位数多写出一位； 第三步：看下一位数字，满5进1，不满5舍去，写出近似数。 【易错提升】 ● 易错点1：只看到循环节第一位就四舍五入，不看下一位。 　　→ 规避技巧：保留几位就多看一位，比如保留两位小数，就要看到第三位小数。 ● 易错点2：近似数用"="连接。 　　→ 规避技巧：近似数是近似值，不是准确值，必须用"≈"连接。 【第三部分】考点讲练 考点一：循环小数的认识与判断 考查重点：理解循环小数的意义，能正确判断循环小数，找出循环节。 【典例精讲】 题目：下面的小数中，哪些是循环小数？在括号里画"√"，并写出循环节。 （1）（　）　循环节：______ （2）（　）　循环节：______ （3）（　）　循环节：______ （4）（　）　循环节：______ 【变式训练】 题目：判断：是循环小数。（　） 考点二：循环小数的读写与简便写法 考查重点：掌握循环小数的简便写法，能正确进行一般写法和简便写法的互化。 【典例精讲】 题目：把下面的循环小数用简便写法表示。 （1） 写作：________ （2） 写作：________ （3） 写作：________ （4） 写作：________ 【变式训练】 题目：读出下面的循环小数。 （1） 读作：________ （2） 读作：________ 考点三：循环小数的近似数 考查重点：能按要求用四舍五入法求循环小数的近似数。 【典例精讲】 题目：求下面各循环小数的近似数。（保留两位小数） （1）________ （2）________ （3）________ 【变式训练】 题目：保留三位小数约是多少？ 考点四：循环小数的大小比较 考查重点：能正确比较循环小数的大小，掌握比较方法。 【典例精讲】 题目：把下面各数按从小到大的顺序排列。 、、、 【变式训练】 题目：比较大小： ○ 【第四部分】专项提升练习 1．循环小数0.333…用简便记法写作( )。 2．5÷9的商用循环小数表示是( )，保留两位小数是( )。 3．在3.1415926…，12.383，，9.1666…中，( )是有限小数，( )是无限小数，( )是循环小数。 4．在1.3232、177.77、3.141592…、、0.23535…这些数中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 5．在8.148148…、8.1488…、8.148148、8.14848…和8.148这几个数中，( )是有限小数，( )是循环小数；8.148148…的循环节是( )。 6．在…，，…，，中，有限小数有________无限小数有________循环小数有________。 7．在6.089、6.08989、、6.08989…、这五个数中，( )是无限小数，( )是有限小数，最大的数是( )，最小的数是( )。 8．在0.314、0.3143、0.314314…、0.31433143…和0.31443144…中，循环小数有( )个，这五个数中最大的是( )、最小的是( )。 9．在 8.60606060，3.5123679…，2.356432，0.8282…，这5个小数中( )是有限小数，( )是循环小数。无限不循环小数是( )。 10．在1.32、、、、1.33这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 11．在小数1.1765、、、1.1765555…、1.1765176175…中，有限小数是( )，循环小数有( )个；这些数中，最大的是( )，最小的是( )。 12．把1.5，，，四个数按照从大到小的顺序排列后，排在第二个的是( )。 13．6.423423423…小数部分第10位上的数字是______________，第80位上的数字是______________。 14．5÷37的商是( )小数，用简便方法记作( )，商的小数部分第100位上的数是( )。 15．3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是( )，保留两位小数约是( )，商的小数部分第100位数字是( )。 16．循环小数的小数部分第1000位上的数字是( )。 17．2.3÷0.33商的小数点后面第21位上的数是多少？这21位上的数字总和是多少？ 18．一张银行卡的密码是一个六位数，这个六位数正好与2÷7的结果中小数点后面第20～25位数字相同。这张银行卡的密码是多少？ 19．在0.142857的小数部分添上合适的表示循环节的符号的“•”，把它们都变成循环小数后，使不等式成立。 0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857 20．有一个纯循环小数，循环节有5个数字，已知小数点后的第16位是9，第32位是8，第63位是0，第104位是7，第800位是3，这个循环小数的循环节是多少？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $