专题13 一元一次方程应用题分类训练02（销售水电费方案几何动点含参6类48道）2026-2027学年北师大版七年级数学上册高频考题单元专练（重庆专用）

专题13 一元一次方程应用题分类训练02 （销售水电费方案几何动点含参6类48道） 专题目录 【类型1 销售与利润】 1 【类型2 水费与电费】 7 【类型3 方案问题】 16 【类型4 几何图形问题】 24 【类型5 数轴上的动点问题】 30 【类型6 含参数的一元一次方程应用题】 38 【类型1 销售与利润】 1．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 2．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】(1)降价前每件衬衫的利润率为 (2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】（1）根据利润率公式列式计算即可； （2）设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据销售收入进货成本利润，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：降价前每件衬衫的利润率为． （2）解：设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标， 由题意得：， 解得， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 3．某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 【答案】(1)首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克. (2)共获利3300元. (3)糯米糍荔枝是按原价打八五折销售 【分析】（1）设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先计算妃子笑和糯米糍每千克利润，然后进一步求解即可； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，结合题意可知第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为千克，且第二次总利润为元，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克， 根据题意列方程得：， 整理得：，解得（千克）， ∴（千克）， 答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克； （2）妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元）， 则总利润为：（元）， 答：共获利3300元； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售， 第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克）， 第二次总利润为（元）， 根据题意列方程得：， 解得， 答：糯米糍荔枝是打八五折销售． 4．【综合与实践】 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？进价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)每件服装的标价是400元，进价是250元 (2)打七折销售能恰好保证利润率为 【分析】（1）设每件服装的标价是x元，根据“如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元”列方程求解即可； （2）设打y折销售能恰好保证利润率为，根据“利润率为”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元， 根据题意得：， 解得：． ∴（元）． 答：每件服装的标价是400元，进价是250元； （2）解：设打y折销售能恰好保证利润率为， 根据题意得：， 解得：． 答：打七折销售能恰好保证利润率为． 5．某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． (1)填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 【答案】(1)， (2)该产品每件的成本应降低元 【分析】（1）用原销售价乘以即可得到第二季度每件销售价；用原销售量m乘以即可得到第二季度销售量； （2）设该产品每件的成本应降低x元，利用两个季度的总销售利润相等，建立关于x的方程，求解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：第二季度这种产品每件销售价为元， 销售量为； （2）解：设该产品每件的成本应降低x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该产品每件的成本应降低元． 6．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 7．几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话： 小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱． 小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！ 根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数． 【答案】小伙伴的人数为4人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设票价为元，列方程求解得到票价，根据每人一张票，正好会差一张票的钱得出人数． 【详解】解: 设票价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 人数为：（人）． 答：小伙伴的人数为4人． 8．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 【类型2 水费与电费】 9．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 10．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 11．为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】(1)78元 (2)吨 【分析】（1）因为已知用水量为28吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过20吨时的最高水费，每月用水量不超过30吨时的最高水费 ，推出小李家用水量超过30吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 12．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 13．为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【答案】(1)1月份应缴费用元 (2)2月份应缴费用元 (3)3月份用水量为35吨 【分析】（1）根据，利用前面的两个价目表计算即可； （2）使用三个价目表求解即可． （3）先计算用水为30吨时的费用，比较两个费用的大小，判断用水量，再根据价目表适时计算即可． 【详解】（1）解：1月份用水22吨，因为， 所以应缴费用：（元）． 答：1月份应缴费用元． （2）解：因为， 所以2月份应缴费用：元． 答：2月份应缴费用元． （3）解：因为当用水为30吨时，应缴费用元． 因为，所以3月份用水量超过30吨． 由（2）得 解得 答：3月份用水量为35吨． 14．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 每户每月用水量 单位（元/吨） 不超过15吨 3.7 超过15吨的部分 5.1 另：每吨用水加收污水处理费、水资源费共1.9元 (1)某用户1月份用水10吨，1月份应交水费 元； (2)某用户7月份共交水费119元，该用户7月份用水多少吨？（列方程解决） 【答案】(1)56 (2)该用户7月份用水20吨 【分析】（1）直接根据用水量对应计费段计算即可； （2）先判断用水量是否超过15吨，再根据总水费的等量关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， 应交水费为（元）. （2）解：当用水量为15吨时，总水费为（元）， ， 该用户7月份用水量超过15吨， 设该用户7月份用水吨， 由题意得： ， 整理得， 解得， 答：该用户7月份用水20吨． 15．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】由题中价目表，分段讨论求解即可． 【详解】（1）解：由价目表可知，当时，则应缴纳水费元； （2）解：由价目表可知，当用水立方米时，则应缴纳水费元； （3）解：设该户居民5月份用水，则4月份用水， 5月份用水量多于4月份， ，即 则由价目表可知，分三种情况： ①5月份用水超出且不超出，4月份用水不超出，则 ， 解得； ②5月份用水超出且不超出，4月份用水超出且不超出，则 ， 方程无解，不符合题意； ③5月份用水超出，4月份用水不超出，则 ， 解得，与条件矛盾，不符合题意； 综上所述，该户居民5月份用水． 16．为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过度 超过度(超出部分的收费) 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元；小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元； (2)若小明家某月预计用电量为度()，则小明家该月应付的电费为______元(用含的整式表示)； (3)小明预计1月份需要给公司交付电费元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电元，电费满元赠送一张元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ 【答案】(1)；； (2)； (3)小明家1月份用电量为度，选择公司省钱 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——分段计费问题，核心是准确理解不同档位的收费标准，分情况计算电费并通过方程求解未知量． （1）根据用电量是否超过度，直接按对应单价计算电费即可； （2）针对超过度的用电量，先计算度的基础费用，再加上超出部分的费用，最后化简得到含的整式； （3）先通过度的电费判断元对应的用电量超过度，再设未知数列方程求解用电量，最后分别计算两家公司的实际费用并比较大小得出结论． 【详解】（1）解：∵小明家月份用电度，， ∴电费为元； ∵小明家月份用电度，， ∴电费为元； 故答案为：；． （2）解：∵， ∴该月应付电费为元； 故答案为：． （3）解：∵度对应的电费为元，， ∴小明家1月份用电量超过度． 设小明家1月份用电量为度，根据题意列方程：， 解得； 公司的实际费用元， ∵， ∴可获得元代金券，实际支付元， ∵， ∴选择公司省钱． 答：小明家1月份的用电量是度，选择公司省钱． 【类型3 方案问题】 17．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 18．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 19．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 20．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 21．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 22．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 23．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 【答案】(1)110；； (2)当包裹重量为时，两种方案的运费相同 【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，准确地理解不同区间的计价规则是解题的关键． （1）根据货物质量的不同区间，选择对应的计价规则计算运费； （2）若包裹重量超过时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费 （元）； 当包裹的重量为时，则需支付运费 元； （2）解：若包裹重量超过时，按单价“6元”计费，即元， 根据题意，得， 解得， 当包裹重量为时，两种方案的运费相同． 24．某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【答案】(1)100元 (2)90元 (3)学校应该选择方案二购买 【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价； （2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价； （3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每个足球的售价是元， 依题意，， 解得， 即每个足球的售价是元； （2）解：设每个篮球的进价是元， 则两次打折后篮球的实际售价：（元）； 根据题意得， 解得， ∴每个篮球的进价是90元． （3）解：∵总数量共90个，篮球与足球个数比为， 因此篮球个数为 （个）； 足球个数为（个）； 原价总费用为（元）， 方案一：总费用打九折，总费用为（元）； 方案二：40个足球可赠送篮球个数为（个）； 需要付费的篮球个数为 （个） 总费用为 （元） 方案三：超过2000元的部分为（元） ， ∴可满减33次，即满减总金额为（元） ∴总费用为 （元） ∵， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 【类型4 几何图形问题】 25．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 26．榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 27．某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)正方形纸片的边长为 (2) 【分析】（1）设正方形纸片的边长为．根据题意，得，解方程求解即可； （2）阴影部分的面积表示为，求解即可． 【详解】（1）解：设正方形纸片的边长为． 根据题意，得， 解得，经检验，符合题意． 故正方形纸片的边长为． （2）解：正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积为． 28．如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【答案】这个大长方形的面积是． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这个大长方形的面积是，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个大长方形的面积是， ， 解得：． 答：这个大长方形的面积是． 29．如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于两直角边分别为6和12的三角形面积减去两直角边分别为和的三角形面积，据此求解即可； （2）根据（1）所求列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，， 解得． 30．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 【答案】(1) (2)铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程解应用题，数形结合是解决问题的关键． （1）由长方形宽相等列方程求解即可得到答案； （2）根据题意，分别求出卧室面积及除卧室以外的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 长方形的宽相等， 则， 解得； （2）解：铺设木地板面积为 ； 铺设地砖面积为 ； 答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米． 31．如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【答案】15m 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出空白三角形的两直角边长分别为：，，然后根据种植花卉的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：空白三角形的两直角边长分别为： ，， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：长方形空地的长为． 32．如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【答案】原长方形纸片的宽是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，注意计算的准确性．设原长方形纸片的宽是，由题意即可建立方程求解． 【详解】解：设原长方形纸片的宽是， 由题意得： 解得：； 答：原长方形纸片的宽是． 【类型5 数轴上的动点问题】 33．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)10，2 (2)， (3)时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数为1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； （2）根据路程=时间×速度和数轴上两点间的距离公式解答； （3）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7， ∴，线段的中点表示的数为， 故答案为：10，2； （2）解：点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点相遇时， ∴， 解得， ∴时， ∴， ∴相遇点所表示的数为1 34．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)4 (2)12个单位长度 (3)4秒，8秒 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点，两点的距离，掌握根据点表示的数求两点的距离是解题的关键． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）首先分析点的运动时间，然后根据点的运动速度和运动方向表示出点所表示的数，从而求解； （3）分两种情况：运动后的点在点右边4个单位长度；运动后的点在点左边4个单位长度：列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故点所对应的数是4； （2）点运动到所用的时间为（秒）， 点B运动到所在的点， ， 答：间的距离为12个单位长度； （3）设经过秒，A，B两点相距4个单位长度， 分运动后的点在右边4个单位长度；运动后的点在左边4个单位长度两种情况．讨论如下： ①运动后的点在右边4个单位长度， ， 解得，（秒）; ②运动后的点在左边4个单位长度， ， 解得（秒）； 答：经过4秒或8秒两点相距4个单位长度． 35．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)4； (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论． （1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为8和在相遇之后距离为8，求出即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． 即运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为， 故答案为：4；． （2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了， ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和6， ∴A、B的距离为， 若在相遇之前距离为8，则 ， 解得：． 若在相遇之后距离为8，则 ， 解得：． 综上所述：t的值为或． 36．如图，数轴上的单位长度为1，、两点表示的数是互为相反数． (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，求点所表示的数． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点、点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，秒（）后分别运动到点、点，请用含代数式表示点、点的数． 【答案】(1)，2 (2) (3)秒后表示的数为；秒后表示的数为 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，相反数的概念，代数式的表示，解决本题的关键是熟练掌握数轴表示有理数的概念． （1）根据、两点表示的数是互为相反数，可得两数对称，由此可求解． （2）先表示出点运动之后表示的数，再由点表示的数求解即可． （3）由（1）可知点表示的数是，点表示的数2，再根据两个点的运动速度即可求解． 【详解】（1）解：∵、两点表示的数是互为相反数， ∴点表示的数是，点表示的数2． 故答案为：，2． （2）解：∵点所表示的数， 动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位， 此时点所表示的数为， ∵点运动后到达点， ∴，解得． （3）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数2． ∵点、点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动， ∴秒点表示的数为；秒后表示的数为． 37．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【答案】(1)，1，6 (2)①3，8；②；③秒 【分析】（1）由绝对值非负性、平方非负性，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①根据数轴上点的运动情况计算即可得到答案；②由题意直接求解即可得到答案；③根据题意，当点到达点时，点到达点，设再经过秒钟，点与点能相遇，由相遇问题列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，， 为最小的正整数， ， 故答案为：，1，6； （2）解：①点走过的路程为2，时间为2，， 速度为1个单位长度每秒， 点的速度是点的速度的3倍， 点的速度为3个单位长度每秒，此时点运动到点， 间距离为8个单位长度， 故答案为：3，8； ②动点从原点出发，向负半轴运动，速度为1个单位长度每秒，若运动时间为秒， 用含的代数式表示点表示的数为， 故答案为：； ③由题意可知，当点到达点时，点到达点， ， 设再经过秒钟，点与点能相遇， 则，解得， 再经过秒钟，点与点能相遇． 【点睛】本题考查数轴上动点综合问题，涉及绝对值非负性、平方非负性、非负数和为零的条件、数轴表示有理数、数轴上的动点问题、相遇问题等知识，掌握数轴上动点综合问题的解法是解决问题的关键． 38．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点P对应的数是1 (2)存在；点P对应的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， 对于（1），根据点P的位置，结合两点之间的距离相等可得方程，求出解； 对于（2），先确定点P不在点A，B之间，再分两种情况列出方程，求出解. 【详解】（1）解：∵点P到点A，B之间的距离相等， ∴点P在点A，B之间， ∴， 解得； 所以点P对应的数是1； （2）解：存在， ∵点A到点B的距离是， ∴点P不在点A，B之间， ∴或， 解得或. 39．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和．    (1)求、两点之间的距离． (2)点沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①求秒后点表示的数． ②为何值时，、两点之间的距离为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①5秒后A点表示的数为；②或时，、两点之间的距离为 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数右边大于左边． （1）用点表示的数减去点表示的数即可求解； （2）①用点表示的数加上点所走的路程即可求解；②根据题意进行分类讨论：当点运动到点左边时，当点运动到点右边时． 【详解】（1） （2）①， 秒后点表示的数为；   ②秒后点表示的数是， 当点运动到点左边时，， 解得：；   当点运动到点右边时，， 解得：；   综上：或时，、两点之间的距离为． 40．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【答案】(1)4 (2)2 (3)2或6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题， 对于（1），先求出，再根据可得答案； 对于（2），先求出点Q运动到点O时，，再根据可知点Q从点O向点A运动，进而得出答案； 对于（3），先根据，可得或，再求出t值，进而求出，即可得出答案. 【详解】（1）解：当时，，且， ∴ ∴点Q到点O的距离是4； （2）解：当点Q运动到点O时，， ∵， ∴点Q从点O向点A运动， ∴, 所以点Q到点O的距离是2； （3）解：当时， 或， 解得或， 当时，； 当时，. 所以点P到点O的距离是2或6. 【类型6 含参数的一元一次方程应用题】 41．为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 【答案】(1)笔记本购买了10本，签字笔购买了8支 (2)k的值为4 【分析】（1）设签字笔数量为未知数，根据数量关系表示笔记本数量，结合奖品总费用列方程求解即可； （2）分别表示出两种套装的单价与数量，根据总费用的增长关系列方程，求解正整数k． 【详解】（1）解：设购买签字笔x支，则购买笔记本本，根据题意得： ， 解得：， 则笔记本数量为 （本）， 答：笔记本购买了10本，签字笔购买了8支； （2）解：由题意得： 套装A的单价为 元， 套装A的数量为： ， 套装B的单价为 元， 套装B的数量为8， ∵半期表彰总费用比之前的总费用（含运费）增加了，之前的总费用为198元， ∴半期总费用为 ， 列方程：， 解得： ， 答：k的值为4． 42．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 43．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 【答案】(1)30 (2)3 【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解； （2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值． 【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． （2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ， 解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 44．为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 【答案】(1)5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确掌握题中的等量关系是解题的关键． （1）设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为，根据等量关系列出一元一次方程进行计算即可； （2）根据题意得到6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为，列出计算式即可得到答案． 【详解】（1）解：设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为， 由题意得：， 解得， 咸蛋的销售量为袋， 答：5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋； （2）解：6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为， 由题意可得：， 解得． 45．列一元一次方程解应用题 寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为25%． (1)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件； (2)该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进羽绒被的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求m的值． 【答案】(1)羊毛被30件，羽绒被40件 (2)10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）根据售价与进价、利润率的关系“售价进价（利润率）”，分别求出每件羊毛被的售价和每件羽绒被的进价，设购进羊毛被x件，则羽绒被为件，根据题意列出方程求解即可； （2）首先明确第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件，然后根据题意得出：第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元，第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件，再由利润列出方程求解即可． 【详解】（1）解：每件羊毛被的售价为：元， 每件羽绒被的进价为：元， 设购进羊毛被x件， ， 解得：， ∴， 所以羊毛被30件，羽绒被40件； （2）解：由（1）得第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件， 第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元， 售价为800元，利润为元， 第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件， 进价为800元，售价为1200元， 利润为元， 由题意可得：， 解得：． 46．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 【答案】(1)7天 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）先求出甲和乙的工作效率，设先安排甲单独生产了天，则甲生产了天，乙生产了天，根据效率乘以生产天数等于总量列方程求解即可； （2）由（1）知甲生产了10天，乙生产了天，根据甲的生产天数×成本+乙的生产天数×成本=总成本列方程求解即可． 【详解】（1）解：设总工作量为“1”， 根据题意，甲每天可完成总工作量的，乙每天可完成总工作量的 设先安排甲单独生产了天， 则甲生产了天，乙生产了天， ∴ 解得 答：先安排甲单独生产了7天； （2）解：由（1）知甲生产了10天，乙生产了天， ∵甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元， ∴ 解得 答：的值为20． 47．又是一年岁末时，人间繁忙迎新春．农历12月（腊月）是家家户户忙着购置年货的时候，某商场准备在腊月期间举行年货节活动，此次年货节活动特别购进了坚果炒货、糖果糕点两种大礼包进行特价促销，已知坚果炒货大礼包每件的进价比糖果糕点大礼包每件的进价多20元，购进3件坚果炒货大礼包与购进4件糖果糕点大礼包的进价相同． (1)求坚果炒货大礼包、糖果糕点大礼包两种大礼包每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进坚果炒货大礼包40件，糖果糕点大礼包60件．若坚果炒货大礼包每件获利，糖果糕点大礼包每件获利元，当两种礼包全部售完时，总销售额为7620元，求m的值． 【答案】(1)坚果炒货大礼包每件进价80元，糖果糕点大礼包每件进价60元 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设糖果糕点大礼包的进价为元，则坚果炒货大礼包的进价为元，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意表示出两种大礼包的销售额，根据坚果炒货大礼包的销售额加糖果糕点大礼包的销售额等于7620元，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设糖果糕点大礼包的进价为元，则坚果炒货大礼包的进价为元， 依题意，得：， 解得， ， 答：坚果炒货大礼包每件进价80元，糖果糕点大礼包每件进价60元； （2）解：由题意可得坚果炒货大礼包每件售价为元，糖果糕点大礼包每件售价为元 可得， 解得． 48．春节将至，随着2026年欢乐春节官方马年吉祥物“吉祥马”的公布，“吉祥马”毛绒公仔也随之热销．一家文创商店用12000元从厂家共采购了180个A款和B款“吉祥马”公仔，已知每个A款公仔的进价为40元，每个B款公仔的进价为80元． (1)求该商店分别采购了A款公仔与B款公仔各多少件？ (2)若每个A款公仔的标价是其进价的倍，每个B款公仔的标价为130元．元旦期间，商店对两款公仔进行优惠促销活动：A款公仔每件降价元，B款公仔全部打折出售．最终这180件A款和B款公仔全部售完，商店总计获得利润3120元，求的值． 【答案】(1)A款公仔60件，B款公仔120件 (2)8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）设该商店采购了A款公仔x件，则B款公仔件，根据180个A款和B款“吉祥马”公仔共12000元，列出方程，解方程即可； （2）根据商店总计获得利润3120元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该商店采购了A款公仔x件，则B款公仔件，根据题意得： ， 解得：， （件）， 答：A款公仔60件，B款公仔120件； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：的值为8． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一元一次方程应用题分类训练02 （销售水电费方案几何动点含参6类48道） 专题目录 【类型1 销售与利润】 1 【类型2 水费与电费】 3 【类型3 方案问题】 6 【类型4 几何图形问题】 8 【类型5 数轴上的动点问题】 10 【类型6 含参数的一元一次方程应用题】 13 【类型1 销售与利润】 1．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 2．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 3．某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 4．【综合与实践】 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？进价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 5．某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． (1)填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 6．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 7．几个小伙伴打算去德州看音乐演出，他们准备用180元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话： 小红说：如果今天去看演出，我们每人一张票，正好会差一张票的钱． 小明说：过两天就是“儿童节”了，那时候去看演出，票价会打六折，我们每人一张票，还能剩36元钱呢！ 根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数． 8．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【类型2 水费与电费】 9．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 10．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 11．为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． (1)小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ (2)小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 12．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 13．为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 14．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 每户每月用水量 单位（元/吨） 不超过15吨 3.7 超过15吨的部分 5.1 另：每吨用水加收污水处理费、水资源费共1.9元 (1)某用户1月份用水10吨，1月份应交水费 元； (2)某用户7月份共交水费119元，该用户7月份用水多少吨？（列方程解决） 15．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 16．为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过度 超过度(超出部分的收费) 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元；小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元； (2)若小明家某月预计用电量为度()，则小明家该月应付的电费为______元(用含的整式表示)； (3)小明预计1月份需要给公司交付电费元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电元，电费满元赠送一张元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ 【类型3 方案问题】 17．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 18．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 19．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 20．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 21．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 22．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 23．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 24．某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【类型4 几何图形问题】 25．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 26．榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 27．某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 28．如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 29．如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 30．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 31．如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 32．如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【类型5 数轴上的动点问题】 33．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 34．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 35．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 36．如图，数轴上的单位长度为1，、两点表示的数是互为相反数． (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，求点所表示的数． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点、点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，秒（）后分别运动到点、点，请用含代数式表示点、点的数． 37．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 38．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 39．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和．    (1)求、两点之间的距离． (2)点沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①求秒后点表示的数． ②为何值时，、两点之间的距离为，请直接写出的值． 40．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【类型6 含参数的一元一次方程应用题】 41．为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 42．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 43．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 44．为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 45．列一元一次方程解应用题 寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为25%． (1)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件； (2)该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进羽绒被的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求m的值． 46．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 47．又是一年岁末时，人间繁忙迎新春．农历12月（腊月）是家家户户忙着购置年货的时候，某商场准备在腊月期间举行年货节活动，此次年货节活动特别购进了坚果炒货、糖果糕点两种大礼包进行特价促销，已知坚果炒货大礼包每件的进价比糖果糕点大礼包每件的进价多20元，购进3件坚果炒货大礼包与购进4件糖果糕点大礼包的进价相同． (1)求坚果炒货大礼包、糖果糕点大礼包两种大礼包每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进坚果炒货大礼包40件，糖果糕点大礼包60件．若坚果炒货大礼包每件获利，糖果糕点大礼包每件获利元，当两种礼包全部售完时，总销售额为7620元，求m的值． 48．春节将至，随着2026年欢乐春节官方马年吉祥物“吉祥马”的公布，“吉祥马”毛绒公仔也随之热销．一家文创商店用12000元从厂家共采购了180个A款和B款“吉祥马”公仔，已知每个A款公仔的进价为40元，每个B款公仔的进价为80元． (1)求该商店分别采购了A款公仔与B款公仔各多少件？ (2)若每个A款公仔的标价是其进价的倍，每个B款公仔的标价为130元．元旦期间，商店对两款公仔进行优惠促销活动：A款公仔每件降价元，B款公仔全部打折出售．最终这180件A款和B款公仔全部售完，商店总计获得利润3120元，求的值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $