精品解析：江苏如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二第一次阶段考试数学试题

江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学第一次阶段考试综合试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 已知直线和直线，则“或”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 直线经过的定点为（ ） A. B. C. D. 5. 如果实数满足等式，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若为双曲线，且焦点在轴上，则 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B. 圆心到的距离的最大值为 C. 若圆上存在两点关于对称，则 D. 若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 13. 已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 14. 已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. （1）求的方程； （2）若，求的面积. 17. 已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 18. 已知圆，直线，直线与圆交于点. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； （3）设圆在点，处的切线分别为，所在直线，求点的轨迹方程. 19. 已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学第一次阶段考试综合试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合的图象，进行求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 2. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，所以. 3. 已知直线和直线，则“或”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】直线和直线， 当时，，两直线重合，不是平行； 当时，，化简，两直线平行不重合， 所以“或”不能推出“”，充分性不成立； 若，首先满足，得，得或， 当时，，两直线重合，不是平行； 当时，，化简，两直线平行不重合， 所以等价于，所以“”能推出“或”，必要性成立； 所以“或”是“”的必要不充分条件. 4. 直线经过的定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得：  ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 5. 如果实数满足等式，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 6. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 7. 将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【详解】样本空间共包含个等可能基本事件. ，，事件包含共4个基本事件， 故；事件包含18个基本事件，分别为 ， 故. 事件包含基本事件，故与不互斥，A错误. 事件包含基本事件，，，故与不相互独立，B错误. 事件包含共3个基本事件，，， 故，故与相互独立，C正确. 事件包含基本事件，故，，D错误. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若为双曲线，且焦点在轴上，则 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率可判断A；由即可判断B；根据题意可得，故相互独立，则、也独立，再由独立事件的乘法公式判断CD． 【详解】，，，故A正确； ，故B错误； ， 相互独立，则、也独立， ，故C正确； ，故D错误． 11. 已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B. 圆心到的距离的最大值为 C. 若圆上存在两点关于对称，则 D. 若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆的方程求出与坐标轴交点的坐标即可判断A，根据直线过定点即可判断B，利用直线过圆心判断C，根据直角三角形中角的正弦值范围判断D. 【详解】圆，圆心为，半径． 对于A，圆C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为，，围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，直线过定点，圆心C到该定点的距离为，故圆心C到l的距离最大值为，故B正确； 对于C，若圆C上存在两点关于l对称，则l过圆心，由，得，故C正确； 对于D，当时，直线， 圆心到其距离为，由知，， 此时，不能为，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线的方程为，再待定系数求解即可. 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 13. 已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 14. 已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【答案】（1）入射光线所在直线的方程为，反射光线所在直线的方程为； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）由点的坐标求得入射光线的方程，进而得到入射光线的斜率，根据对称求得反射光线的斜率，根据反射光线过点求得反射光线的方程； （2）讨论直线在两坐标轴上的截距等于零和不等于零两种情况，当在两坐标轴上的截距均为零时，设直线的方程为；当在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线的方程为.分别代入点，可求得直线的方程． 【详解】 【小问1】设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得， 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即. 【小问2】当直线的截距为时，设直线的方程为. 因为直线经过点，所以，所以直线方程为，即， 当直线的截距不为时，设直线的方程为， 则解得或． 若，则直线的方程为，即 若则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为：或或． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. （1）求的方程； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【小问1详解】 设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 17. 已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 18. 已知圆，直线，直线与圆交于点. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； （3）设圆在点，处的切线分别为，所在直线，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）对直线方程进行变形，令即可求解； （2）过作交于，设，则，利用勾股定理求得，即圆心到直线的距离，再根据点到直接的距离公式求解即可； （3）根据题意四点共圆，且以为直径，设，得到在圆上，结合圆，得到直线的方程，再利用直线过定点代入即可求解． 【小问1详解】 ，即， 当时，式子为与无关， 故直线过定点； 【小问2详解】 由（1）知， 圆，则圆心，半径， ，，设，则， 过作交于， ， ，即， 解得， 即圆心到直线的距离， ，解得， 此时直线方程为或； 【小问3详解】 根据题意， 四点共圆，且以为直径， 设，则的中点， 则在圆上， 联立圆， 得到直线的方程为：， 由直线所过定点， ，解得， 所以点的轨迹方程为． 19. 已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）. （2） （3）由（2）知. 所以， 所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆的定义及离心率公式，确定的值，从而求得的值，得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，根据弦长公式列得关于的方程，求解可得的值，进而根据直线的方程，求得其斜率； （3）结合韦达定理，由斜率公式用表示，化简即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立. 所以. 所以 ， 所以，即，. 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $