专题04 直线15大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题04 直线 基础·固本强基 题型 1 倾斜角与斜率换算 题型 2 直线五种方程形式 题型 3 直线的方向向量、法向量 题型 4 两直线平行、垂直基础判定（含参数） 题型 5 直线过定点问题 题型 6 截距相关基础问题 提升·进阶突破 题型 7 求两直线交点；由交点求直线方程 题型 8 距离公式：点到直线距离、两条平行线间距离 题型 9 过定点直线与线段相交 题型 10 对称问题：点关于直线对称（将军饮马模型） 题型 11 光线反射问题 题型 12 直线与坐标轴围成三角形的面积 题型 13 三条直线构成三角形条件 拔高·压轴破难 题型 14 直线与圆位置关系综合 题型 15 圆上点到直线距离相关问题 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 倾斜角与斜率换算 【模型】倾斜角，斜率不存在。 【步骤】 ①已知倾斜角，判断是否为，再求斜率； ②已知两点求斜率：； ③由斜率反求倾斜角，结合正切函数值域确定角度范围。 1．（期中，福建）直线的倾斜角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 3．（期中，安徽）下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距为1 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 D．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 4．（期中，河南）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 题型 2 直线五种方程形式 【模型】 点斜：斜率存在；斜截：； 截距式：；两点式；一般式Ax+By+C=0。 【步骤】 ①根据已知条件选合适方程； ②注意斜率不存在、截距为 0 时截距式不能用； ③化为一般式。 1．（期中，河南）求满足下列条件的直线l的一般式方程. (1)直线l经过直线和的交点，且与直线平行； (2)直线l经过点，与直线，的交点分别为B，C，且A是线段BC的中点. 2．（期中，河南）已知直线经过点，. (1)求直线的斜率及直线的斜截式方程； (2)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (3)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 3．（期中，安徽）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 题型 3 直线的方向向量、法向量 【模型】直线Ax+By+C=0，方向向量，法向量。 【步骤】 ①由一般式直接读出； ②已知方向向量求斜率。 1．（期中，福建）下列说法中，正确的有（    ） A．直线必过定点 B．点到直线的距离为7 C．直线的倾斜角为 D．直线的一个方向向量为 2．（期中，福建）若直线在轴和轴上的截距分别为和2，则直线的一个方向向量为__________. 题型 4 两直线平行、垂直基础判定（含参数） 【模型】，排除重合； 垂直：，无需考虑斜率存在。 【步骤】 ①平行：先满足系数比例，再检验常数项排除重合； ②垂直直接用系数积为 0，避开斜率不存在讨论。 1．（期中，河南）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（期中，安徽）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．一定经过第一､四象限 C．若，则 D．若，则 4．（期中，福建）已知直线：，直线：，则（   ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．若，则或 5．（期中，河南）已知直线与直线. (1)当直线与垂直时，求实数的值； (2)当直线与平行时，求直线与的距离. 题型 5 直线过定点问题 【模型】含参数直线，恒过两直线交点。 【步骤】 ①整理为参数 × 式子 + 常数式\(=0\)； ②令参数的系数、常数部分同时等于 0，解出定点。 1．（期中，福建）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 2．（期中，安徽）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (3)若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 题型 6 截距相关基础问题 【模型】在x、y轴截距，分：截距为 0（过原点）、截距不为 0 两类。 【步骤】 ①令y=0得x轴截距；令x=0得y轴截距； ②截距相等一定要分过原点和不过原点。 1．（期中，安徽）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 2．（期中，安徽）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 提升·进阶突破 题型 7 求两直线交点；由交点求直线方程 【模型】联立两直线方程组求解交点；过交点直线系方程。 【步骤】 ①联立方程组，解x,y； ②利用直线系或者点斜式写新直线。 1．（期中，福建）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 3．（期中，河南）设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 4．（期中，河南）已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 5．（期中，河南）已知直线：，：. (1)求经过直线，的交点，且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线，的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 题型 8 距离公式：点到直线距离、两条平行线间距离 【模型】 点到直线：； 平行线距离：两直线化为A、B完全相同再套距离公式。 【步骤】 ①平行线距离，先统一x、y系数； ②代入公式，距离非负。 1．（期中，河南）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（   ） A．5 B．3 C． D．2 3．（期中，河南）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 4．（期中，河南）已知两平行直线，，则，之间的距离可能为（    ） A．2 B． C． D． 5．（期中，河南）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为__________. 题型 9 过定点直线与线段相交 【模型】直线恒过定点，转动直线与线段AB相交；求出，结合图像分析斜率区间；注意斜率不存在情况。 【步骤】 ①找到直线所过定点； ②算出定点到线段两端点斜率； ③画图判断，注意竖直直线。 1．（期中，安徽）已知点，若直线与线段相交，则该的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（期中，河南）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 题型 10 对称问题：点关于直线对称（将军饮马模型） 【模型】点P关于直线l对称点P'：①；②PP'中点在l上； 将军饮马：直线上找一点，使到两定点距离之和最小，转化对称点两点连线。 【步骤】 ①列垂直、中点在直线两个方程解对称点； ②距离最小值 = 两对称点之间线段长。 1．（期中，福建）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 3．（期中，河南）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（期中，安徽）已知点，，C为直线上一点，则的最小值是__________. 5．（期中，福建）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 6．（期中，福建）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 题型 11 光线反射问题 【模型】反射光线等价：取光源关于反射轴的对称点，反射直线经过对称点。 【步骤】 ①求点关于坐标轴 / 定直线的对称点； ②反射光线过对称点，再结合相切、相交条件求参数。 1．（期中，河南）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 2．（期中，河南）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线方程为_____________. 4．（期中，河南）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 题型 12 直线与坐标轴围成三角形的面积 【模型】直线过定点，与坐标轴正半轴相交，求面积最小值；利用截距，基本不等式求最值。 【步骤】 ①设截距或者设斜率，表示横纵截距； ②写出面积表达式； ③基本不等式求最小值，验证等号条件。 1．（期中，安徽）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 3．（期中，福建）已知直线过点. (1)若与直线垂直，求直线的方程； (2)若分别与轴负半轴，轴正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程. 4．（期中，河南）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 题型 13 三条直线构成三角形条件 【模型】三条直线构成三角形：任意两条不平行，三条直线不共点。 【步骤】 ①排除平行情况； ②排除交于同一点； ③取参数集合的补集。 1．（期中，福建）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 2．（期中，河南）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 拔高·压轴破难 题型 14 直线与圆位置关系综合 【模型】 ①位置：比较圆心到直线距离d与半径r； ②弦长：垂径定理； ③切线：点到直线距离等于半径；分斜率存在 / 不存在。 【步骤】 ①写出圆心半径； ②计算圆心到直线距离； ③弦长、切线列式求解。 1．（期中，河南）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．3 2．（期中，河南）已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知圆，直线，过上的动点作圆的切线，切点分别为，则（    ） A．圆上的点到的距离最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为4 4．（期中，河南）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．在轴上的截距为2 B．与直线垂直 C．与直线之间的距离为 D．与圆相离 5．（期中，福建）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则______. 6．（期中，河南）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 7．（期中，河南）已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 题型 15 圆上点到直线距离相关问题 【模型】圆上到直线距离等于m的点的个数，比较d与；圆上点到直线距离最大最小：d+r、|dr)。 【步骤】 ①算圆心到直线距离d； ②画图分析交点个数、距离最值。 1．（期中，河南）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（    ） A．曲线的方程为 B．当最小时， C．当最大时， D．若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 2．（期中，福建）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. $专题04 直线 基础·固本强基 题型 1 倾斜角与斜率换算 题型 2 直线五种方程形式 题型 3 直线的方向向量、法向量 题型 4 两直线平行、垂直基础判定（含参数） 题型 5 直线过定点问题 题型 6 截距相关基础问题 提升·进阶突破 题型 7 求两直线交点；由交点求直线方程 题型 8 距离公式：点到直线距离、两条平行线间距离 题型 9 过定点直线与线段相交 题型 10 对称问题：点关于直线对称（将军饮马模型） 题型 11 光线反射问题 题型 12 直线与坐标轴围成三角形的面积 题型 13 三条直线构成三角形条件 拔高·压轴破难 题型 14 直线与圆位置关系综合 题型 15 圆上点到直线距离相关问题 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 倾斜角与斜率换算 【模型】倾斜角，斜率不存在。 【步骤】 ①已知倾斜角，判断是否为，再求斜率； ②已知两点求斜率：； ③由斜率反求倾斜角，结合正切函数值域确定角度范围。 1．（期中，福建）直线的倾斜角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角和斜率关系求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角是， 所以，所以直线方程变形为. 所以，解得. 故选：B. 2．（期中，河南）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 3．（期中，安徽）下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距为1 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 D．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 【答案】BD 【分析】对A可直接计算并判断，对B根据斜率和截距进行判断，对于C考虑特殊直线，对于D根据斜率的范围来确定倾斜角的范围. 【详解】对于A，将代入直线方程，可得，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以可化为， 所以直线的斜率，纵截距，所以直线经过第一、二、四象限，故B正确； 对于C，经过任意两个不同的点的直线，当斜率等于0时，， 当斜率不存在时，，都不能用方程表示，故C错误； 对于D，直线的方程为， 当时，直线方程为，倾斜角， 当时，直线方程化为，斜率， 因为，所以，即， 又因为，所以. 综上可得，故D正确． 故选：BD． 4．（期中，河南）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 题型 2 直线五种方程形式 【模型】 点斜：斜率存在；斜截：； 截距式：；两点式；一般式Ax+By+C=0。 【步骤】 ①根据已知条件选合适方程； ②注意斜率不存在、截距为 0 时截距式不能用； ③化为一般式。 1．（期中，河南）求满足下列条件的直线l的一般式方程. (1)直线l经过直线和的交点，且与直线平行； (2)直线l经过点，与直线，的交点分别为B，C，且A是线段BC的中点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线平行设直线方程，代入交点坐标即可； （2）分斜率存在不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为直线直线p，直线， 所以设直线l的方程为. 解方程组，得，所以直线l过点. 所以，解得， 所以直线l的一般式方程为. （2）由题意，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 把分别代入直线和的方程，得，， 点不是线段BC的中点，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为（且）. 解方程组，得，则. 解方程组，得，则. 由题意得，，解得， 所以直线l的一般式方程为. 2．（期中，河南）已知直线经过点，. (1)求直线的斜率及直线的斜截式方程； (2)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (3)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由斜率公式求斜率，再写出点斜式，化为斜截式求解即可； （2）根据平行可得直线的斜率，再由过点写出点斜式，化成一般式即可； （3）由垂直可得直线的斜率，再由过点写出点斜式，化成一般式即可 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的方程为，它的斜截式方程为. （2）因为直线平行于直线，所以直线的斜率为. 又直线经过点，所以直线的方程为，它的一般式方程为. （3）因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为， 它的一般式方程为. 3．（期中，安徽）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为，分和，两种情况讨论，分别求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由直线的斜率， 设所求直线的斜率为，因为所求直线与直线平行，所以， 又因为所求直线经过，所以， 即所求直线方程为. （2）解：由直线的斜率， 因为两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为， 设所求直线的斜率为，可得，解得， 又因为所求直线经过点，可得，即直线方程为. （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为， ①当时，直线过原点，设方程为， 因为直线过点，可得，此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件， 此时直线方程为； ②当时，则直线方程为且． 又所求直线过点，可得， （i）若，代入得，解得，所以直线方程为； （ii）若，代入得，解得，所以直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或或. 题型 3 直线的方向向量、法向量 【模型】直线Ax+By+C=0，方向向量，法向量。 【步骤】 ①由一般式直接读出； ②已知方向向量求斜率。 1．（期中，福建）下列说法中，正确的有（    ） A．直线必过定点 B．点到直线的距离为7 C．直线的倾斜角为 D．直线的一个方向向量为 【答案】AC 【分析】A选项，化为点斜式，求出定点坐标； B选项，利用点到直线距离公式得到答案； C选项，通过斜率与倾斜角的关系求解即可； D选项，根据方向向量的定义判断. 【详解】A选项：， 易知过定点：，故A正确； B选项：点到直线的距离为： ，故B错误； C选项: 直线的斜率为， 而斜率等于倾斜角的正切值， 故直线的倾斜角为，故C正确； D选项：由直线的一般式， 可知该直线的一个方向向量为， 易知本选项的一个直线方向向量为，与向量不共线，故D错误. 故选：AC 2．（期中，福建）若直线在轴和轴上的截距分别为和2，则直线的一个方向向量为__________. 【答案】答案不唯一，形如均可 【分析】由题意可得直线的斜率，即可得到其方向向量. 【详解】由直线在轴和轴上的截距分别为和2，可得直线的斜率， 所以直线的一个方向向量可以是. 故答案为： 题型 4 两直线平行、垂直基础判定（含参数） 【模型】，排除重合； 垂直：，无需考虑斜率存在。 【步骤】 ①平行：先满足系数比例，再检验常数项排除重合； ②垂直直接用系数积为 0，避开斜率不存在讨论。 1．（期中，河南）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】代入，得到直线与直线的方程，根据直线平行的性质结合充分条件与必要条件的判定分析选项. 【详解】当时，直线的方程为，直线的方程为，，充分性成立. 若，则，解得或. 当时，直线与直线的方程均为，直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，直线的方程为，， 所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件 故选：C 2．（期中，安徽）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 3．（期中，安徽）已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．一定经过第一､四象限 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由斜率的范围判断A，根据直线所过的定点判断B，根据直线平行或垂直的判断方法求出对应的参数值判断C，D即可. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则， 由题设有直线的斜率为，设，故，故A正确； 对于B，直线过定点，且该直线的斜率非零或不存在， 故一定经过第一､四象限，故B正确； 对于C，因为，故，故或，故C错误； 对于D，因为，故，故， 此时，，平行，故D正确. 故选：ABD. 4．（期中，福建）已知直线：，直线：，则（   ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．若，则或 【答案】ABC 【分析】对A，直接求交点；对B，转化为两直线交点求解；对C、D，根据两直线垂直、平行的系数关系求解. 【详解】对于A：当时，， 由解得，所以的交点是，A正确； 对于B：可化为，恒过与的交点， 可化为恒过与的交点，B正确； 对于C：若，则，解得，C正确； 对于D：若，则，解得或， 又当时，与重合，所以，D错误. 故选：ABC. 5．（期中，河南）已知直线与直线. (1)当直线与垂直时，求实数的值； (2)当直线与平行时，求直线与的距离. 【答案】(1)0或7 (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由，求得，再由平行线间距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意知直线与的斜率分别为：， 当直线与垂直时，则，即， 解得：，故实数的值为0或7； （2）由（1）知直线与的斜率分别为：， 当直线与平行时，有，即， 解得：. 此时，直线的方程为，直线的方程为， 为计算距离，将两直线方程分别化为和， 所以直线与的距离. 题型 5 直线过定点问题 【模型】含参数直线，恒过两直线交点。 【步骤】 ①整理为参数 × 式子 + 常数式\(=0\)； ②令参数的系数、常数部分同时等于 0，解出定点。 1．（期中，福建）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【分析】由两直线位置关系计算可得AB；令的系数为，计算可得C；借助平行线间距离公式计算可得D. 【详解】对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令，得，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 2．（期中，安徽）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (3)若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) 直线的方程化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. (2)，是圆心为，半径为2的圆； (3)或. 【分析】（1）变形直线的方程，建立方程组求出定点坐标即可. （2）根据给定的几何关系列出方程，化简即得的轨迹方程及对应的曲线. （3）求出圆心到直线的距离，再按的斜率是否存在，结合点到直线距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）设，依题意，，则， 整理得，即， 所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为2的圆. （3）直线过点，由，得圆心到直线距离， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 于是，解得，此时直线方程为， 所以直线的方程为或. 题型 6 截距相关基础问题 【模型】在x、y轴截距，分：截距为 0（过原点）、截距不为 0 两类。 【步骤】 ①令y=0得x轴截距；令x=0得y轴截距； ②截距相等一定要分过原点和不过原点。 1．（期中，安徽）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. 【详解】（1）当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则解得， 综上所述，的取值范围为； （2）当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 2．（期中，安徽）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. 【详解】（1）当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则解得， 综上所述，的取值范围为； （2）当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 提升·进阶突破 题型 7 求两直线交点；由交点求直线方程 【模型】联立两直线方程组求解交点；过交点直线系方程。 【步骤】 ①联立方程组，解x,y； ②利用直线系或者点斜式写新直线。 1．（期中，福建）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】由，得，∴交点坐标为． 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， ∴所求直线方程为， 故选：A. 2．（期中，安徽）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由直线， 联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. （2）解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 3．（期中，河南）设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. 【详解】（1）由，解得， 因此，点的坐标为； （2）直线的斜率为， 垂直于直线的直线斜率为， 则过点且垂直于直线的直线的方程为， 即：. 4．（期中，河南）已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． 【详解】（1）由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 5．（期中，河南）已知直线：，：. (1)求经过直线，的交点，且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线，的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）联立，解得，即直线与的交点为， 由直线，可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. （2）当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 . 综上所述：所求直线方程为或． 题型 8 距离公式：点到直线距离、两条平行线间距离 【模型】 点到直线：； 平行线距离：两直线化为A、B完全相同再套距离公式。 【步骤】 ①平行线距离，先统一x、y系数； ②代入公式，距离非负。 1．（期中，河南）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 2．（期中，安徽）已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（   ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可. 【详解】当时，则满足，解得， 此时：，：， 则两直线间的距离为. 故选：B. 3．（期中，河南）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断. 【详解】对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立，解得， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 4．（期中，河南）已知两平行直线，，则，之间的距离可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AB 【分析】先由两直线平行求出，再由两平行线间的距离公式求距离即可. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离为2； 当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离. 故选：AB. 5．（期中，河南）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为__________. 【答案】/ 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故答案为：. 题型 9 过定点直线与线段相交 【模型】直线恒过定点，转动直线与线段AB相交；求出，结合图像分析斜率区间；注意斜率不存在情况。 【步骤】 ①找到直线所过定点； ②算出定点到线段两端点斜率； ③画图判断，注意竖直直线。 1．（期中，安徽）已知点，若直线与线段相交，则该的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线过定点，求出直线的斜率，由直线与线段相交得出斜率的不等关系，从而可得结论. 【详解】直线，即，令，解得， 直线过定点， ，， 直线可化为，其斜率为， 直线与线段相交，直线斜率为需要满足， 即或. 故选： 2．（期中，安徽）设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（期中，安徽）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 4．（期中，河南）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 【答案】 【分析】问题转化为过定点的直线l与线段有公共点，先计算过临界点的直线的斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 题型 10 对称问题：点关于直线对称（将军饮马模型） 【模型】点P关于直线l对称点P'：①；②PP'中点在l上； 将军饮马：直线上找一点，使到两定点距离之和最小，转化对称点两点连线。 【步骤】 ①列垂直、中点在直线两个方程解对称点； ②距离最小值 = 两对称点之间线段长。 1．（期中，福建）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心关于的对称点，结合图形可得的最小值为 【详解】设圆心关于的对称点为，则解得即，    所以.N为与直线交点时等号成立， 故选：B 2．（期中，安徽）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 3．（期中，河南）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 4．（期中，安徽）已知点，，C为直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】5 【分析】作点关于直线的对称点，则，故，根据两点间线段最段，当、、三点共线时，取最小值，即，设，利用是的垂直平分线求出，利用和求出，得到关于和的一个方程，利用的中点在直线上，得到关于和的另一个方程，这两个方程联立方程组求解就是的坐标，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值. 【详解】作点关于直线的对称点，则， 故，根据两点间线段最短， 当、、三点共线时，取最小值，即， 设，是的垂直平分线，， ，，， ，，的中点在直线上， ，联立，解得，， ，的最小值为5. 故答案为：5. 5．（期中，福建）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 6．（期中，福建）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 题型 11 光线反射问题 【模型】反射光线等价：取光源关于反射轴的对称点，反射直线经过对称点。 【步骤】 ①求点关于坐标轴 / 定直线的对称点； ②反射光线过对称点，再结合相切、相交条件求参数。 1．（期中，河南）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 2．（期中，河南）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【详解】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 3．（期中，安徽）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线方程为_____________. 【答案】或 【分析】根据反射光线的性质，设出反射光线所在直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求直线斜率即可得解． 【详解】点关于轴的对称点， 根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点， 因为反射光线与圆相切， 易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 所以圆心到直线的距离，解得或， 所以反射光线所在直线方程为或 化简可得：或， 故答案为：或． 4．（期中，河南）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 【答案】 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 题型 12 直线与坐标轴围成三角形的面积 【模型】直线过定点，与坐标轴正半轴相交，求面积最小值；利用截距，基本不等式求最值。 【步骤】 ①设截距或者设斜率，表示横纵截距； ②写出面积表达式； ③基本不等式求最小值，验证等号条件。 1．（期中，安徽）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 2．（期中，河南）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． (2) (3)的最小值为4，直线l的方程为 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线总过定点； （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 3．（期中，福建）已知直线过点. (1)若与直线垂直，求直线的方程； (2)若分别与轴负半轴，轴正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)12，. 【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，利用待定系数法求解. （2）设出直线的方程，并求出点的坐标，表示出三角形面积，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）由直线与直线垂直，设直线的方程为， 又直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，即，， 令，得，则；令，得，则， ， 当，即时取等号，所以的面积最小值为12，直线的方程为.    4．（期中，河南）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 题型 13 三条直线构成三角形条件 【模型】三条直线构成三角形：任意两条不平行，三条直线不共点。 【步骤】 ①排除平行情况； ②排除交于同一点； ③取参数集合的补集。 1．（期中，福建）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 2．（期中，河南）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 拔高·压轴破难 题型 14 直线与圆位置关系综合 【模型】 ①位置：比较圆心到直线距离d与半径r； ②弦长：垂径定理； ③切线：点到直线距离等于半径；分斜率存在 / 不存在。 【步骤】 ①写出圆心半径； ②计算圆心到直线距离； ③弦长、切线列式求解。 1．（期中，河南）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设直线的方程，利用直线与圆相切得，再利用直线的垂直关系列方程求解即可. 【详解】由题意直线的斜率存在，设过点的直线的斜率为， 则它的方程为，即. 因为直线和圆相切，所以，解得. 因为直线与直线垂直，所以，解得. 故选：A 2．（期中，河南）已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，且定点在圆外，所圆上的点到直线的最大距离为半径加上圆心到直线的最大距离可得. 【详解】由圆得圆心，直线的方程， 可化为，联立，解得， 所以直线经过定点，且，所以在圆C的外部， 当时，圆心到直线的最大距离为， 因为点在圆上，则点到直线的距离的最大值为， 故选：C. 3．（期中，安徽）已知圆，直线，过上的动点作圆的切线，切点分别为，则（    ） A．圆上的点到的距离最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断ABD，对于C，根据解直角三角形可得，根据可算出的最大值为钝角，故可判断正误. 【详解】连接， 对于A，由题设有，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 而，故直线与圆相离，故圆上的点到的距离最大值为，故A正确； 对于B，因为，而为到直线的距离， 故，故B错误； 对于C，因为，当且仅当时等号成立， 故，设且为锐角， 则由可得，而为锐角，故， 故，结合可得的最大值可为1， 故C正确； 对于D，由对称性可得， 故，其中为四边形的面积， 而， 由B的分析可得为到直线的距离，故， 故的最小值，当且仅当时取最小值，故D正确；    故选：ACD. 4．（期中，河南）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．在轴上的截距为2 B．与直线垂直 C．与直线之间的距离为 D．与圆相离 【答案】BC 【分析】令，解得的值就是直线在轴上的截距为；直线的斜率为，直线的斜率为，由得到与直线垂直；易知与直线平行，利用两平行线间的距离公式求解；求出圆心到直线的距离得到与圆相交. 【详解】对于A，令，则，解得， 所以在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线：的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与直线垂直，B正确； 对于C，易知与直线平行，所以它们之间的距离为，C正确； 对于D，因为圆心到直线的距离，所以与圆相交，D错误. 故选：BC. 5．（期中，福建）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则______. 【答案】 【分析】先写出直线的点斜式方程，转化为一般式方程，求出圆心到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】由题可知，直线的方程为，即. 由圆：得，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 6．（期中，河南）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则， 当时，取得最小值，为. 7．（期中，河南）已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心为，由可求得的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线l的方程为，由题意可得，求解即可. 【详解】（1）∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得， ∴圆心M的坐标为，半径． ∴圆M的方程为． （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心M到直线l的距离， 解得或， ∴直线l的方程为或； 当当直线l的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 题型 15 圆上点到直线距离相关问题 【模型】圆上到直线距离等于m的点的个数，比较d与；圆上点到直线距离最大最小：d+r、|dr)。 【步骤】 ①算圆心到直线距离d； ②画图分析交点个数、距离最值。 1．（期中，河南）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（    ） A．曲线的方程为 B．当最小时， C．当最大时， D．若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 【答案】ABC 【分析】由动点满足的条件列得其轨迹方程，判断A；由A知动点P的轨迹为圆，结合图象可知，当直线与曲线相切时，可分别使最小或最大，求出切线长可判断B，C；由曲线上仅有一点到直线的距离为2，得圆心到直线的距离等于，由此可求得两条满足条件的直线，判断D. 【详解】设，由，得， 化简得，曲线，故A正确； 由曲线的方程，知曲线表示以为圆心，且半径为的圆. 当最小或最大时，如图所示，直线分别在的位置，均与曲线相切， ，故B，C正确；    圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误. 故选：ABC. 2．（期中，福建）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【详解】易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. $