4.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习三　等比数列 　　[单元整体设计]　本单元内容是在等差数列的基础上，探究第二类特殊数列——等比数列的概念、性质及应用，研究方法与等差数列完全相同.首先通过生活中的实例，抽象出等比数列的概念；由定义出发，推导出等比数列的通项公式，探究等比数列的通项公式与指数函数之间的关系；应用等比数列的通项公式解决数学问题和实际问题；利用等比数列的通项公式和性质推导出其前n项和公式，并举例说明前n项和公式在解决问题中的应用，学习计划4课时. 本单元内容重点是等比数列的定义，等比数列的通项公式、前n项和公式及它们的应用.难点是等比数列前n项和公式的应用.在研究的过程中，体会代数运算、代数变换在数列研究中的价值，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养. 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念与等比中项的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题(判断、证明、计算等)，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.体会等比数列与指数函数的关系，培养直观想象、数学建模的核心素养. 任务一　等比数列的概念 (阅读教材P27—29，完成探究问题1) 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”. 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律. 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律. 学生用书⬇第32页 等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) [微提醒]　(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*).(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.(3)比必须是同一个常数.(4)等比数列中任意一项都不能为0.(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. [微思考]　常数列是不是等比数列？ 提示：不一定是，只有非零常数列才是等比数列，且此时公比为1. (链教材P31练习T1)判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它们的公比： (1)1，，，，，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，1，0，…； (4)1，－4，16，－64，256，…； (5)a，a，a，a，a…. 解：(1)不是等比数列； (2)是等比数列，公比为； (3)不是等比数列； (4)是等比数列，公比为－4； (5)当a＝0时，不是等比数列，当a≠0时是等比数列，公比为1. 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　判断一个数列是不是为等比数列，通常用定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 对点练1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③数列x，x2，x3，x4； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解析：①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当x＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选A. 任务二　等比中项 (阅读教材P28，完成探究问题2) 问题2.我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. [微思考]　当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 提示：不一定.当G2＝ab时，a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0. 学生用书⬇第33页 (1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值. (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a1和a5的等比中项. 解：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2， 解得x＝－1，或x＝－4. 又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4. (2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即＝a2a4，所以＝64，解得a3＝4，从而a6＝32. 设{an}的公比为q，则 所以a5＝a1q4＝16. 设a1和a5的等比中项为G，则G2＝a1a5＝16， 所以G＝±4，故a1和a5的等比中项是±4. 等比中项应用需注意的问题 1.由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. 2.在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 3.a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab＞0). 对点练2.(1)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　) A.6 B.－6 C.±6 D.±12 (2)(多选)已知a＞0，b＞0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是(　　) A.M与G可能相等 B.M大于G C.M小于G D.M不小于G 答案：(1)C　(2)AD　 解析：(1)因为a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.故选C. (2)由于a＞0，b＞0时，≥，当且仅当a＝b时，等号成立.由a与b的等差中项为M＝，等比中项为G＝±，当a＝b，G＞0时，M＝G；当a≠b时，M＞G.故选AD. 任务三　等比数列的通项公式 (阅读教材P27—30，完成探究问题3) 问题3.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：能.设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2). 思路一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1， 当n＝1时，上式也成立. 思路二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …… 由此可得an＝a1(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立. 1.通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*). 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). (2)任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a＞0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. (3)从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的一些孤立的点. [微提醒]　(1)当a1＞0，q＞1时，数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1＞0，0＜q＜1时，数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1＜0，q＞1时，数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1＜0，0＜q＜1时，数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q＝1时，数列{an}为常数列. (6)当q＜0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同. 学生用书⬇第34页 在等比数列{an}中： (1)若a4＝27，q＝－3，求an； (2)若a1＝2，q＝，an＝，求项数n； (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3. 解：(1)由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1， 故an＝(－1)×(－3)n－1＝－(－3)n－1. (2)由已知得，an＝a1qn－1＝2×＝，即＝＝， 所以n－1＝4，所以n＝5. (3)由已知得＝， 故q＝，或q＝2， 当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. 关于等比数列基本量的运算 1.公式法：等比数列的通项公式an＝a1·中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2.整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算，这里体现了整体思想的应用. 对点练3.在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若a2＝4，a5＝－，求an； (3)若a2＝4，q＝2，an＝128，求n. 解：(1)因为a5＝a1q4， 而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝5×(－3)4＝405. (2)由题意可知 所以q＝－，a1＝－8， 所以an＝a1＝－8×＝(－2)4－n. (3)由a2＝4，q＝2，得a1＝2，所以2·2n－1＝128，解得n＝7. 任务四　 等比数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝1，＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*). (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式. 解：(1)证明：因为＝2an＋1，bn＝an＋1， 所以＝＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn， 又因为b1＝a1＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)知，an＋1＝2×＝2n， 所以an＝2n－1. [变式探究](变条件，变设问)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*). (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列. 解：(1)由S1＝(a1－1)， 得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 得a2＝. (2)证明：当n≥2时， an＝Sn－＝(an－1)－－1)， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列. 学生用书⬇第35页 判定与证明一个数列是等比数列的常用方法 定义法 若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，n∈N*，q为常数且不为零)⇔数列{an}是等比数列 通项公 式法 若数列{an}的通项公式为an＝a1(a1≠0，q≠0)⇔数列{an}是等比数列 等比 中项法 若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔数列{an}为等比数列 构造法 在条件中出现＝kan＋b，kb(k－1)≠0的关系时，往往构造数列，方法是把＋x＝k(an＋x)与＝kan＋b对照，求出x即可 [注意]　(1)要判定一个数列不是等比数列，只要找到此数列中连续的三项不成等比数列即可.(2)在简答题中，证明一个数列是等比数列只能采用判定方法中的定义法与等比中项法. 对点练4.在数列{an}中，a1＝2，＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：由＝4an－3n＋1， 得－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又a1－1＝1≠0， 所以an－n≠0， 所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列. (2)由(1)，可知an－n＝4n－1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n. 任务 再现 1.等比数列的概念.2.等比中项.3.等比数列的通项公式 方法 提炼 1.等比中项的应用策略：定义法. 2.等比数列的通项公式：公式法、方程(组)思想、整体思想.3.等比数列的判定与证明：定义法、等比中项法、通项公式法、构造法 易错 警示 1.在等比数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项起”、“后一项与前一项的比”、“同一个常数”.同时在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.2.a，G，b成等比数列⇒G2＝ab，但G2＝ab⇒/a，G，b成等比数列 1.(多选)下面各数列一定是等比数列的有(　　) A.－1，－2，－4，－8 B.1，2，3，4 C.x，x，x，x D.，，， 答案：AD 解析：根据等比数列的定义，A，D是等比数列，B不是等比数列，C中x可能为0，故C不一定是等比数列.故选AD. 2.若b≠0，则“b＝”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由b＝，得b2＝ac，又b≠0，所以a，b，c成等比数列.若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以b＝±，所以“b＝”是“a，b，c成等比数列”的充分不必要条件.故选A. 3.(双空题)在等比数列{an}中，若a1＝8，a4＝64，则a3＝　　　　；若a3＝2，a2＋a4＝，则通项公式an＝　　　　. 答案：32　2×3n－3或2×()n－3 解析：由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2， 所以a3＝＝32. 由已知得，a1q2＝2，a1q＋a1q3＝，两式相除，得＝，解得q＝3或q＝，所以an＝a3qn－3＝2×3n－3或2×()n－3. 4.已知数列{an}满足＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝　　　　. 答案： 解析：因为{an＋3}是等比数列，＝λan＋2，所以＋3＝λ(an＋3)，即＝λan＋3λ－3，所以3λ－3＝2，所以λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $