福建福州市平潭县新世纪学校2026-2027学年高二上学期第一次月考质量检测数学试题

2026-2027学年第一学期平谭新世纪学校 高二数学第一次月考质量检测答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求) 1.B2.D3.A 4.C5.B6.A7.D 8.A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部 分) 9.AC 10.ABD 11.BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 13.7 14（-0,-4)U(-4,2) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分) (1)(7分)空间向量à=(2,4，-2)，6=（-1,0,2)，c=（x,2,-1), 因为a/Ic,所以存在实数k,使得c=ka, x=2k 所以2=4k,解得x=1,所以c=(1,2,-1), -1=-2k 则=V1+22+(-1)2=6. (②)(6分)因为bLc,则b·c=-x+0-2=0,解得x=-2, 所以c=（-2,2,-1), a.c-2×2+2×4+(-1)×(-2)V6 故cos(a,d)=同丽4+16+4×V4+4+1 6 16.(15分) (1)(5分)因为B(-1,1,2),C(-3,0,4), 所以BC=(-2,-l,2),又因为c/1BC, 所以c=(-2元，-元，22)，又因为d=3, 所以V(-222+(-2)2+(222=3→元=±1， 因此c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2): (②)(5分)因为ā=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2) ab -1 V10 所以a与万的夹角的余弦值为可万2×(-+2 10： (3)(5分)因为ka+b与ka-2b互相垂直， 所以(a+b)a-26)=0→k2.-ka-6-262=0→2k2+k-10=0 94=2 17(15分) @6分)由图可将，F=0诉-0-号-0+D0=0-5+: 3 (②)(9分)由题意，|aHbHc=3,(a,b)=伍，c)=(a,c=60, 则a6=6=ad=3x3os6w-号 于是，由证=-a-方+c两边取平方， 2 3 a-(a-+0r-ar+r+glaf+2ga6-e-0o 4 49 6 =9+2 x1_119_19 46624 故！E乐卡© 2 18(17分) (1)(5分)取BC中点H,因为△B1BC为等边三角形，所以B1H1BC, 又因为平面B1BCC1⊥平面ABC,平面B1BCC1n平面ABC=BC,B1HC平面B1BCC1, 所以B1H1平面ABC,又因为AC⊥BC,中位线HP/AC,所以HP1BC, 则以点H为原点，以HP,HC,HB所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标 系，如图所示， B 因为CB=2CA=4,B1H=23, 所以可得H(0,0,0),A(2,2,0),C(0,2,0),B(0,-2,0),B1(0,0,23,C1(0,4,2V3, P(1,0,0),Q(1,3,V3, 向量PQ=(0,3,V3,且平面BCC1B1的法向量为n1=(1,0,0), 则PQn1=0,所以PQ1n1,又因为PQ平面BCC1B1, 所以PQ/平面BCC1B1· (2)(6分)由向量B1P=(1,0,-23,P0=(0,3,③， 设平面B1PQ的法向量为n2=(x,y,z), 则P0-3y+=0,令2=V3,每x=6y=-1, (n2B1P=x-2V3z=0 所以n2=(6,-1,V3,又因为平面BCC1B1的法向量为n1=(1,0,0), 所以o训=周=品=晋 则平面BCCB1与平面B1PQ的夹角的余弦值为3 10 (3)(6分)由A(2,2,0),B(0,-2,0),B1(0,0,2V3, 则向量BA1=BA+BB1=(2,4,0)+(0,2,2V3=(2,6,2V3, 平面B1PQ的法向量为n2=(6,-1,V3, 设直线A1B与平面B1PQ所成角为0， 则sin0 12 3v130 2y13x2y10 130 即直线A1B与平面B1PQ,所成角的正弦值为3y@ 130 19(17分) (1)(4分)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,则PD⊥AB, 在正方形ABCD中，AB⊥AD,因ADOPD=D,AD,PDC平面PAD, 则AB⊥平面PAD,因DEC平面PAD,则DE⊥AB, 又PD=AD=2,点E是PA的中点，则DE⊥PA, 又因为PAOAB=A,PA,ABC平面PAB,故DE⊥平面PAB. (2)(8分)由(1)DE⊥平面PAB,因PBc平面PAB,则DE⊥PB, 因PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PD⊥BC, 又BC⊥CD,PDOCD=D,PD,CDC平面PCD,所以BC⊥平面PCD, 因DFC平面PCD,则BC⊥DF, 又因为F是PC的中点，DC=DP,则DF⊥PC, 因PCOBC=C,PC,BCc平面PBC,则DF⊥平面PBC, 因PBC平面PBC,则DF⊥PB, 因DF∩DE=D,DF,DEc平面DEGF,则PB⊥平面DEGF, 因为EGC平面DEGF,则PB⊥EG,即∠PGE=90°， 即由(1)AB⊥平面PAD,因PAC平面PAD,则PA⊥AB,即∠PAB=90°， 又∠EPG=∠BPA,则aPEG~aPBA,则PAPB' PG PE 因为PA=2√2，PB=√PA+AB2=23,PE=V2, 则PG ,即PG=25,即PG=PB. 2W22W5 3 3 以点D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B 则D(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0) 所以=@2o0.c=m+元=m+号历=Qa2+时2-2刘-号)， 设平面CDG的一个法向量为n=(x,y,z), n.DC=2y=0 则 万Dc-子x+y+42=0'令z=l得x=-2y=0, 2.2 33 3 所以平面CDG的一个法向量为n=（-2,0,1), 而平面ABCD的法向量可取为m=(0,0,1)， 设平面CDG与平面ABCD的夹角为O, 则cos0=|cosm,= mi1√5 mi1×55’ 所以平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值为V5 (3)(5分)由(2)可得E(1,0,1),F(0,1,1),则EF=(-1,1,0), 假设线段EF上是存在一点H(:,,),使得点H到平面CDG的距离为 10 则E证=EF(0≤t≤1)，则(x-1,,名-1)=(-11,0)， [x-1=-1x=1-1 所以y=t，则y=t,即H(1-44,1),则Di=(1-4,4,1), z-1=03=1 由(2)已得平面CDG的一个法向量为n=（-2,0,I), 则点H到平面CDG的距离d= DH万_24-5，解得1=3或1= |510 4 则度 即在线段EF上存在一点：使得点H到平面CDG的距离为√5 102026-2027学年第一学期平潭新世纪学校 高二数学第一次月考质量检测 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知平面的一个法向量为元=(4，-2，m),直线1的一个方向向量为元=(-1，-3,2)，若1/1，则 m=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知a=(2,3,-2),b=(4,2,1),c=（10,3,2),若a、b、c三个三向量共面，则实数2等于 7 A. 2 2 0、11 3.如图，已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA, BC的中点，点G在线段MN上，且GN=2MG,现用向量OA,OB,OC表示 M 向量0G,设OG=xOA+yOB+zOC,则x+y+2=() G A. 3 D.2 4.在空间直角坐标系中，点P(-1,2,-3)关于xOy平面的对称点P'的坐标为 P () A.(1,2,-3) B.(-1,-2,-3) C.(-1,2,3) D.(1,-2,-3) 5.已知空间向量p=2a-3b+3C,g=3ā+b+c,则p+g以{a,b,c为单位正交基底时的坐标为 () A(5,-3,4) B.(5,-2,4) c.（2,-3,3) D.(3,1,1) 长空间向量石-(5.0,5-兮0马.则a在5上钓数影同的辰务：) A.3 B.1 C.2 第1页/共4页 7.若平面的法向量为=（-1,2,4)，平面B的法向量为V=(m,-1,-2),直线1的方向向量为 t=(n-2,-4),则() A.若a/1B,则m=1 B.若l⊥a,则n=2 C.若n=-20,则l//a D.若m=-10,则a⊥B 8.四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=1,OB=2,OC=3, 点D在棱OC上，且OC=3OD,点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离 为() D G 2 A. C. 2 B 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知空间向量ā=(1,2,1)b=(3,-2,1),c=（-4,4,-1),则( ) A.a=6 B.{a,b,c}可以为空间的一组基底 c.aLb D.(a+b)c=10 10.关于空间向量，以下说法正确的是() A若{a,b,c构成空间的一个基底，则a+b,a+6+c,c必共面 B.若空间中任意一点0，有OP=0A+OB+)0C,则R小B.C四点共面 C.若空间向量a、b满足a.b<0,则a与b夹角为钝角 D.点M(3,2,1)关于平面xOz对称的点的坐标是(3，-2,1) 11.在空间直角坐标系0xwz中，A(2,0,0),B(1,1,-2),C(2,3,1),则() A.AC=2V3 B.AB.BC=-5 C.异面直线B与AC所成角的余弦值为V西 30 D.点0到直线C的距离是3V42 14 第2页/共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若AB=(1,2,2),则与AB共线反向的单位向量a 13.己知空间直角坐标系中的点M,N的坐标分别为(5,5,8)，（-1,1,4).则线段MW的中点到坐标原点的距 离为一一一 14若向量a=(L,-1,2),b=(-2,2,),且a与万的夹角为钝角，则实数t的取值范围为一· 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知空间向量à=(2,4，-2)，b=(-1,0,2),c=(x,2,-1). (1)若a/1c,求： (2)若b⊥c,求cos(a,c)的值. 16.己知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC (1)若=3，c11BC,求c: (2)求a与b的夹角的余弦值： (3)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 17.如图，四面体ABCD中，E,F分别为AB,DC上的点，且AE=BE,CF=2DF,设 DA=a,DB=b,DC=c (1)以{a,b,c}为基底表示EF: (2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°，且DA=3,DB=3,DC=3,求EF 第3页/共4页 18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P,Q分别是AB,AC1的中点，平面B1BCC11平面ABC,AC⊥BC,△B1BC 为等边三角形，CB=2CA=4. B (1)求证：PQ/平面BCC1B1; (2)求平面BCC1B1与平面B1PQ的夹角的余弦值： (3)求直线A1B与平面B1PQ所成角的正弦值 19.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.己知E,F分 别为PA,PC的中点，平面DEF与棱PB交于点G D (1)求证：DE⊥平面PAB: (2)求平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值： (3)判断线段EF上是否存在一点H,使得点H到平面CDG的距离为？若存在，请求出点H的坐 10 标；若不存在，请说明理由， 第4页/共4页2026-2027学年第一学期平潭新世纪学校 准考证 高二数学第一次月考质量检测 [o][o][o][o] [o1 [o] [1] [1] [1] [1] [1] [1 答题卡 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [31 [3] [3] [4] [4] [41 [41 [4] [4] 学校 班级 [5] [5] [5 [5 [5 [5 [6] [61 [61 [6 [6 [6 [7] [7] [7] [7] [7 [7] [8] [8] [8] [8] [81 [8] 姓名 考号 [9][9][9] [9] [91 [9] 注1.答题前，考生务必首先认真核准条形码上的姓名、考号，然后使用0.5毫米墨水签字笔将考生学校、班级、姓名、考号填写在相应位置。 2.答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂。修改时，要使用橡皮擦干净。正确填涂样例： 意 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0,5毫米黑色墨水签字笔书写清楚。要求字体工整、笔迹清晰。严格按题号所指的答题区域作答，超出答题区域 事 书写的答案无效：在试卷、草稿纸上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整。严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液、胶带和修正液。 项5，未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 一、 选择题（共58分） 1.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 3.[A[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 二、填空题（每空5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D A E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第2页共4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B C A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第3页共4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) F E D C ⊙ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页共4页