精品解析：福建厦门市同安实验中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2026—2027学年第一学期高三年级第二次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用集合中交集与补集的知识解决. 【详解】易知,则. 故选：D. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 函数的部分图像大致为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得，而， 因此， 所以. 故选：A 6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得. 【详解】， 由，得①， 对于， 由，得， 依题意，所以②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故选：B 7. 已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则（ ） A. 9 B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数关于对称； 因为，所以，即， 且，所以函数关于中心对称； 所以，， 当时，， 所以，，所以， 所以，， 解得，所以. 8. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式分离变量得，由，利用对数函数的单调性放大可得，构造函数，由及的单调性可得. 【详解】设，易知在上单调递增. 原式可整理为，由， 则， 即. 因为在上单调递增，所以. 所以，则， 所以当时，；当时，. 故ABC都错误，仅D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 满足的的取值范围为（） C. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到的图象关于对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象可确定函数解析式，再解出三角不等式，利用三角函数伸缩变换、平移变换性质及三角函数对称性计算即可得. 【详解】对A：由图可得，则， 则有，解得， 又，故，故A正确； 对B：由图可得，则， 令，则， 则有， 解得， 即满足的的取值范围为（），故B正确； 对C：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 可得函数，当时，， 由的图象不关于对称，故的图象不关于对称，故C错误； 对D：将函数的图象向左平移个单位长度， 可得函数， 该函数的图象关于轴对称，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是奇函数，则 B. 若是增函数，则 C. 所有零点的平方和等于 D. 当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可判断A；根据导数与单调性的关系及一元二次不等式恒成立即可判断B；根据零点问题及韦达定理可判断C；求出的最值，根据已知条件及二次函数性质可得，结合导数的几何意义及直线垂直的条件可判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为. 若是奇函数，则，即， 所以，故A正确. 对于B：. 若是增函数，则恒成立， 所以，即，故B错误. 对于C：令，则或. 设方程的根为，（2个不等实根或2个相等实根或2个复数根）， 对于C：令，则或. 当时，方程无解，此时只有1个零点，故； 当时，方程有两个相等实根或两个不等实根，记为，，则，， 此时有3个零点，故， 综上，C错误. 对于D：设曲线的两条切线斜率分别为，，不妨令，， ，则 又，所以， 所以一定存在切点，，使得，即， 故当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以. 13. 已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 14. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边角互化化简，再由三角恒等变换即可得到，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理可得，再结合三角形的面积公式即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，所以， 显然，则， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以， 所以的面积. 16. 如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面，平面，． （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的正弦值． 【答案】（1）连结， 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，因为平面，所以平面， 平面，所以， 又因为底面是正方形，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再根据垂直关系的转化证明平面，即可证明线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量为，则，， 即，令，， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知是平面的一个法向量，, 设平面和平面的夹角为， 则, 所以. 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间是，没有减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间是 （3）由（2）可知，时，的最大值为 要证明不等式成立，只需证明，即， 等价转化为，令，即，， 构造函数，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以的最小值为， 所以，恒成立， 所以不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先求函数的导数，，讨论，和三种情况，求函数的单调区间； （3）根据（2）的结果，转化为，再等价变形，以及换元后证明，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性和最值，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，， ，，，整理为 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，得，，得，，得， 函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间， 当时，，得，，得，，得， 函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是， 综上可知，当时，函数的单调递增区间是，没有减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间是 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）若，函数在区间上单调递增，求的值； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数的标准形式,根据给定区间确定化简后中角的取值范围，结合正弦函数的单调性求值域. (2)先写出的表达式，求出其单调递增区间的通式，因为区间是单调递增区间的子集，所以列出关于的不等式组，结合求解. (3)先将问题转化为在上的最大值小于在上的最小值，再利用同角三角函数的平方关系将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求最大值，进而求解的范围. 【小问1详解】 当时，, 由正弦函数性质，上的取值范围是， 因此： 即在该区间的值域为 【小问2详解】 ，正弦函数的单调递增区间为： . 解得. 已知在上单调递增，因此该区间必须是上述某个递增区间的子区间， 令区间为某一单调递增区间的子集， 所以，解得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 所以， 因为，所以. 【小问3详解】 题意等价于：对任意恒成立， 即在上的最大值小于在上的最小值， 由(1)知的最小值为，因此只需对所有恒成立. 对换元：令，当时，，且，代入得： , 即二次函数，开口向下，对称轴为，其在上的最大值需小于： 当时，在上单调递减，最大值为，解得，结合前提得； 当时，在对称轴处取最大值，该不等式恒成立，即； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，结合前提得. 综上的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）单调递增区间是； （2）（i） （ii）证明：∴，∴.∴， 要证：，即证：， 只需证. 令，. ∴在恒成立， ∴在为增函数，∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构造函数并利用导数研究新函数的单调性与最值，研究导函数符号确定的单调区间； （2）（i）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围；（ii）将化为证，利用换元法将要证明的不等式进行转化，结合导数证明结论； 【小问1详解】 （1）当时且，则. 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，即，则在上单调递增， 故的单调递增区间是，无单调递减区间. 【小问2详解】 （i）∵的定义域为，， 若有两个极值点，且， ∴的两个根为， 且， 则与有两个交点， 令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，， 且，所以， 要使与有两个交点，则，即， 所以的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2026—2027学年第一学期高三年级第二次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 函数的部分图像大致为 A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则（ ） A. 9 B. 3 C. 6 D. 8. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 满足的的取值范围为（） C. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到的图象关于对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是奇函数，则 B. 若是增函数，则 C. 所有零点的平方和等于 D. 当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 13. 已知函数，若，则的取值范围是________． 14. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设，，求的面积. 16. 如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面，平面，． （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：． 18. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）若，函数在区间上单调递增，求的值； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $