第六单元专项05 公因数和公倍数的认识及应用（典例专项训练）五年级数学上册典例专项精讲（苏教版 新教材）

第六单元专项05 公因数和公倍数的认识及应用（典例专项训练） 一、选择题 1．下面各组数中，（    ）的最大公因数是1。 A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13 2．学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 3．阅读社团借阅图书，若借35本，平均分发给每人还差1本；若借56本，平均分发给每人还剩2本；若借69本，平均分发给每人还差3本；这个社团最多有（     ）人。 A．36 B．9 C．12 D．18 4．昆虫纲周期蝉属中有13年蝉和17年蝉两类特殊的蝉，它们的生命周期分别是13年和17年因此得名。有两群13年蝉和17年蝉最近一起出现是在2024年，那么下次它们同时出现将是在（    ）年。 A．2037 B．2041 C．2057 D．2245 5．在一次烟花节上，每16秒可以看到一次星星图案的礼花，每24秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（    ）秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。 A．6 B．16 C．24 D．48 6．爱眼护眼之健康监测：乐乐每24天自测一次视力，天天每18天自测一次视力，6月6日两人同时进行了视力检查，至少（    ）天后两人又在同一天进行视力检查。 A．48 B．72 C．216 D．432 7．两条彩带分别长24厘米和18厘米，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成（    ）段。 A．6 B．7 C．12 D．14 8．“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500～600人之间。若这些学生20人一排则多出10人25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有（    ）人。 A．500 B．610 C．560 D．510 二、填空题 9．红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少（ ）盒。 10．随着气温升高，学校开展防溺水安全教育活动，如果在河边遇到危险可以拨打求救电话，它是一个五位数。请根据下面的提示写出这个求救电话。 第1位：既不是质数也不是合数；第2位：既是偶数也是质数；第3位：3的最小倍数；第4位：既是奇数也是合数；第5位：15和20的最大公因数。这个电话号码是（ ）。 11．校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有（ ）个摆件。 12．明明家要将长4.8米，宽4米的卧室重新铺地砖，要想正方形的瓷砖都用整块且正好铺完，瓷砖的边长最长是（ ）分米，至少需要（ ）块。 13．一张入场券的号码是三位数，个位上的数是最小的质数，十位上的数既是2的倍数又是3的倍数，百位上的数既是奇数又是合数，这张入场券的号码是（ ）。 14．参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。如果这些学生的总人数在40人以内，最多是（ ）人。 15．中国2025年投入运营的智能高铁”复兴号”升级版采用自动检修机器人。已知A型机器人每6天进行一次全面检修，B型机器人每8天进行一次全面检修。若今天两种机器人同时进行检修，那么至少经过（ ）天后它们会再次同一天进行检修；在接下来的365天内，它们一共会有（ ）次同一天检修的情况。 16．李老师买回36瓶免洗洗手液和45包消毒湿纸巾，刚好平均分给五年级每个班并且没有剩余。五年级最多可能有（ ）个班，每个班分得（ ）瓶免洗洗手液和（ ）包消毒湿纸巾。 三、判断题 17．两个合数的最小公倍数一定是它们的乘积。（ ） 18．18是6和18的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。（ ） 19．把一个长18cm、宽12cm的长方形的硬纸板，要剪成同样大小的正方形，边长为整厘米数且没有剩余，小正方形的边长有3种不同的取值。（ ） 20．8路公交车每6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，这两路车在早上6：30同时发车，到早上6：54才能再次同时发车。（ ） 四、计算题 21．用短除法求下面每组数的最大公因数。 66和24         39和52         48和56 五、解答题 22．茶叶盒内需用一块黄色正方形绸缎作为装饰。一块长2米、宽1.6米的长方形绸缎，现将它裁剪成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以裁成多少块这样的正方形绸缎？此时正方形面积是多少平方分米？ 23．有两根彩带，长度分别是96厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以截成多少根？ 24．某校组织128名学生参加志愿服务，服务活动需要分组，如果每组至少2人，最多10人，那么要保证每组人数一样多，可以怎样分？ 25．实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 26．王阿姨在家里种了玫瑰花和吊兰，某天她给玫瑰花和吊兰同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水至少再过多少天？ 27．现有72根铅笔需用同种规格的包装盒分装。如图，有A，B，C三种规格包装盒可供选择，选用哪两种规格包装盒能正好把72根铅笔全部装完？ 28．道须沟旅游景区位于宁城县黑里河国家自然保护区内，景区内拥有郁郁葱葱的丛林、清澈的湖水和瀑布。当然，最吸引同学们的就是好玩的研学基地了，研学项目有厨艺、工艺、科技制作等。某学校五年级共有123人，大多数同学都要去参加研学活动。大队长把参加研学活动的同学分组，若按9人一组，则剩下4人，若按10人一组，则差6人。五年级一共有多少名同学要去参加此次研学活动？ 29．智慧老人家的客厅是一个长120分米，宽是88分米的长方形，由于房子年久破旧，智慧老人打算维修翻新，准备给客厅换上美观耐用的方砖。 （1）要想客厅的长与宽都正好用整块方砖铺成，边长至多是多少分米？ （2）如果每块这样的方砖售价32元，智慧老人购买方砖一共需要花多少元？ 30．海阳地雷战是抗日战争时期胶东地区著名的抗日游击战例，被誉为“人民战争的典范”。旅游区占地6000亩，是开展爱国主义教育的重要基地。新元小学组织四一班48人、四二班54人到海阳地雷战旅游区进行红色研学活动。 （1）如果把四一班、四二班两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ （2）两个班级各自可以分为多少个小组？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元专项05 公因数和公倍数的认识及应用（典例专项训练） 一、选择题 1．下面各组数中，（    ）的最大公因数是1。 A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13 【答案】C 【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数（最大公约数）。分别计算每组数的最大公因数，选出结果为1的选项即可。 【解答】A．45和24的公因数有1、3，最大公因数是3，不符合要求。 B．76÷19＝4，76是19的倍数，两个数为倍数关系时最大公因数是较小数，即最大公因数是19，不符合要求。 C．39和40是相邻的自然数，两数互质，最大公因数是1，符合要求。 D．39÷13＝3，39是13的倍数，最大公因数是13，不符合要求。 2．学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】先求出8和12的最小公倍数，再找50以内这两个数的最大公倍数即可。 【解答】 8和12的最小公倍数是 （人） ，，不符合要求。 3．阅读社团借阅图书，若借35本，平均分发给每人还差1本；若借56本，平均分发给每人还剩2本；若借69本，平均分发给每人还差3本；这个社团最多有（     ）人。 A．36 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】先将三种借阅情况转化为正好平均分配时的总本数，人数是这三个总本数的公因数，求最多人数就是求这三个数的最大公因数。 【解答】正好平均分配时的总本数分别为： （本） （本） （本） 分解质因数： 三个数的最大公因数是。 4．昆虫纲周期蝉属中有13年蝉和17年蝉两类特殊的蝉，它们的生命周期分别是13年和17年因此得名。有两群13年蝉和17年蝉最近一起出现是在2024年，那么下次它们同时出现将是在（    ）年。 A．2037 B．2041 C．2057 D．2245 【答案】D 【分析】两种蝉下次同时出现的间隔时间是13和17的最小公倍数，用2024加上间隔时间即可得到结果。 【解答】13和17互为质数，最小公倍数为二者的乘积： 下次同时出现的年份：（年） 5．在一次烟花节上，每16秒可以看到一次星星图案的礼花，每24秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（    ）秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。 A．6 B．16 C．24 D．48 【答案】D 【分析】要计算同时看到两种礼花后，再次同时看到的最少间隔时间，本质是求16和24的最小公倍数。 【解答】 24＝2×2×2×3 2×2×2×2×3＝48 至少还要过48秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。 6．爱眼护眼之健康监测：乐乐每24天自测一次视力，天天每18天自测一次视力，6月6日两人同时进行了视力检查，至少（    ）天后两人又在同一天进行视力检查。 A．48 B．72 C．216 D．432 【答案】B 【分析】求出两人间隔天数的最小公倍数，是两人同时进行视力检查的间隔天数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】24＝2×2×2×3、18＝2×3×3 2×2×2×3×3＝72（天） 至少72天后两人又在同一天进行视力检查。 7．两条彩带分别长24厘米和18厘米，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成（    ）段。 A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】B 【分析】要使剪成的段数最少，因为总长度固定，所以每小段的长度需要尽可能大，且每小段长度需同时整除两条彩带的长度。即求24和18的最大公因数，该最大公因数即为每小段的最大长度。再分别用两条彩带的长度除以最大公因数，得到各自剪成的段数，将两段数相加即可得到总段数。 【解答】根据分析： 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 因此24和18的最大公因数是2×3＝6 24÷6＝4（段） 18÷6＝3（段） 4＋3＝7（段） 因此，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成7段。 8．“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500～600人之间。若这些学生20人一排则多出10人25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有（    ）人。 A．500 B．610 C．560 D．510 【答案】D 【分析】学生人数不管按20人一排还是25人一排，都多出10人，说明总人数减10之后是20和25的公倍数，找出20和25的公倍数，再加10，结合人数在500~600之间找出相应数据即可。 【解答】 20和25的最小公倍数是： 20和25的公倍数有：、、、、、 （人） （人） 所以，参加此次活动的学生有510人。 二、填空题 9．红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少（ ）盒。 【答案】23 【分析】6盒装一箱少1盒，说明总盒数加1后刚好能被6整除，8盒装一箱多7盒，说明总盒数加1后刚好能被8整除，即先求出6和8的最小公倍数，然后减1即可。 【解答】 6和8的最小公倍数：2×3×4＝24 24－1＝23（盒） 即红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少23盒。 10．随着气温升高，学校开展防溺水安全教育活动，如果在河边遇到危险可以拨打求救电话，它是一个五位数。请根据下面的提示写出这个求救电话。 第1位：既不是质数也不是合数；第2位：既是偶数也是质数；第3位：3的最小倍数；第4位：既是奇数也是合数；第5位：15和20的最大公因数。这个电话号码是（ ）。 【答案】12395 【分析】质数与合数：质数是大于1的自然数中，仅能被1和自身整除的数；合数是除了1和自身外，还能被其他数整除的数； 偶数与奇数：能被2整除的自然数是偶数，不能被2整除的是奇数； 一个数的最小倍数是它本身；两个数共有的因数里，数值最大的那个数，就是这两个数的最大公因数。 1既不是质数也不是合数；2是唯一的偶质数；3是3的最小倍数；9既是奇数又是合数；15和20的最大公因数是5。按顺序写出这5个数字。 【解答】第1位是1；第2位是2；第3位是3；第4位是9。 15的因数有1、3、5、15，20的因数有1、2、4、5、10、20，最大的公因数是5。 第5位是5，所以这个电话号码是12395。 11．校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有（ ）个摆件。 【答案】 【分析】根据题意，摆件总数既能被整除，又能被整除，说明总数是和的公倍数。先求出和的最小公倍数，然后找出该最小公倍数的倍数中，位于之间的数即可。 【解答】 12．明明家要将长4.8米，宽4米的卧室重新铺地砖，要想正方形的瓷砖都用整块且正好铺完，瓷砖的边长最长是（ ）分米，至少需要（ ）块。 【答案】8 30 【分析】先根据1米＝10分米，把单位统一成分米；要使正方形瓷砖都是整块且正好铺完，瓷砖的边长是长和宽的最大公因数。再求出长和宽各需要的块数，总块数＝长方向的块数×宽方向块数。 【解答】4.8米＝48分米 4米＝40分米 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40； 48和40的最大公因数是8，所以瓷砖的边长最长是8分米； 长方向需要的块数：48÷8＝6（块） 宽方向需要的块数：40÷8＝5（块） 6×5＝30（块），至少需要30块。 13．一张入场券的号码是三位数，个位上的数是最小的质数，十位上的数既是2的倍数又是3的倍数，百位上的数既是奇数又是合数，这张入场券的号码是（ ）。 【答案】962 【分析】非零自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身两个因数外还有其他因数的数是合数； 既是2的倍数又是3的倍数的数是2和3的公倍数，2和3互质，最小公倍数是这两个数的乘积； 自然数中，不是2的倍数的数是奇数。据此逐一分析。 【解答】最小的质数是2，所以个位上的数是2； 2和3互质，最小公倍数是2×3＝6，且6是一位数，所以十位上的数是6； 10以内的奇数有1、3、5、7、9，其中9是合数，所以百位上的数是9。 综上，这张入场券的号码是962。 14．参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。如果这些学生的总人数在40人以内，最多是（ ）人。 【答案】36 【分析】6人一组或9人一组都可以正好分完，说明人数既是6的倍数，又是9的倍数。写出40以内6和9的公倍数，找出最大的那个即可。 【解答】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数是2×3×3＝18，其余公倍数都是18的倍数，40以内的公倍数还有18×2＝36，所以最多是36人。 15．中国2025年投入运营的智能高铁”复兴号”升级版采用自动检修机器人。已知A型机器人每6天进行一次全面检修，B型机器人每8天进行一次全面检修。若今天两种机器人同时进行检修，那么至少经过（ ）天后它们会再次同一天进行检修；在接下来的365天内，它们一共会有（ ）次同一天检修的情况。 【答案】24 15 【分析】根据题意可知，到下一次同一天进行检修间隔的天数是6和8的最小公倍数。 每间隔24天就会同时检修一次，用365除以相邻两次同一天进行检修的间隔天数，商为两种机器人同一天检修的总共次数。 【解答】 6和8的最小公倍数是： 至少经过24天后它们会再次同一天进行检修；在接下来的365天内，它们一共会有15次同一天检修的情况。 16．李老师买回36瓶免洗洗手液和45包消毒湿纸巾，刚好平均分给五年级每个班并且没有剩余。五年级最多可能有（ ）个班，每个班分得（ ）瓶免洗洗手液和（ ）包消毒湿纸巾。 【答案】9 4 5 【分析】要把36瓶免洗洗手液和45包消毒湿纸巾平均分，没有剩余，班级的数量必须同时是36和45的公因数，求最多有几个班，就是求36与45的最大公因数。用分解质因数的方法先求出最大公因数，再用总数量除以班级数，求出每个班分得的物品数量。 【解答】36＝2×2×3×3 45＝3×3×5 36与45的最大公因数是3×3＝9 所以最多有9个班。 每班分得免洗洗手液：36÷9＝4（瓶） 每班分得消毒湿纸巾：45÷9＝5（包） 三、判断题 17．两个合数的最小公倍数一定是它们的乘积。（ ） 【答案】× 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 两个或多个整数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；其中最小的叫做它们的最小公倍数。 【解答】如：两个合数4和6，4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3＝12，4和6的乘积是4×6＝24，12≠24；即这两个合数的最小公倍数不是它们的乘积。 原题说法错误。 故答案为：× 18．18是6和18的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。（ ） 【答案】× 【分析】用列举法，分别求出6和18的最小公倍数和最大公因数，再对比题干描述判断即可。 【解答】6的倍数有6、12、18、24…… 18的倍数有18、36、54…… 所以6和18的最小公倍数是18； 6的因数有1、2、3、6； 18的因数有1、2、3、6、9、18； 所以6和18的最大公因数是6，不是18。 故答案为：× 19．把一个长18cm、宽12cm的长方形的硬纸板，要剪成同样大小的正方形，边长为整厘米数且没有剩余，小正方形的边长有3种不同的取值。（ ） 【答案】× 【分析】要使剪成的正方形边长为整厘米且无剩余，小正方形的边长必须是18和12的公因数，求出二者的公因数个数即可判断。 【解答】18的因数有：1，2，3，6，9，18，12的因数有：1，2，3，4，6，12，18和12的公因数有1、2、3、6，共4种不同的取值，与题干描述不符，原题说法错误。 故答案为：× 20．8路公交车每6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，这两路车在早上6：30同时发车，到早上6：54才能再次同时发车。（ ） 【答案】√ 【分析】根据题意，再次同时发车的时间间隔是6和8的公倍数，再次同时发车的最短时间间隔是它们的最小公倍数，据此解答。 【解答】6的倍数有：6，12，18，24，30…… 8的倍数有：8，16，24，32…… 6和8的最小公倍数是24； 6时30分＋24分＝6时54分 故答案为：√ 四、计算题 21．用短除法求下面每组数的最大公因数。 66和24         39和52         48和56 【答案】6；13；8 【分析】用短除法求两个数的最大公因数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。 【解答】 所以，66和24的最大公因数是：2×3＝6； 所以，39和52的最大公因数是：13； 所以，48和56的最大公因数是：2×2×2＝8。 五、解答题 22．茶叶盒内需用一块黄色正方形绸缎作为装饰。一块长2米、宽1.6米的长方形绸缎，现将它裁剪成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以裁成多少块这样的正方形绸缎？此时正方形面积是多少平方分米？ 【答案】20块；16平方分米 【分析】要使裁剪的正方形块数最少且没有剩余，正方形的边长应是长方形长和宽的最大公因数。先统一单位为分米，再求长和宽的最大公因数得到正方形边长，再用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，然后相乘即可得到可以裁成的正方形块数。再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求解。 【解答】2米＝2×10＝20分米 1.6米＝1.6×10＝16分米 的因数有：、、、、、 的因数有：、、、、 和的最大公因数是，即正方形边长为分米。 长可裁剪的块数：（块） 宽可裁剪的块数：（块） 总块数：（块） 正方形面积：（平方分米） 答：最少可以裁成块这样的正方形绸缎，此时正方形的面积是平方分米。 23．有两根彩带，长度分别是96厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以截成多少根？ 【答案】12厘米；13根 【分析】截成同样长且无剩余的短彩带，其长度是96和60的公因数，求最长长度就是求这两个数的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数。再分别计算两根彩带可截的段数，相加得到总段数。 【解答】96＝2×2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 96和60的最大公因数是2×2×3＝12；每根短彩带最长是12厘米。 96÷12＋60÷12 ＝8＋5 ＝13（根） 答：每根短彩带最长是12厘米，一共可以截成13根。 24．某校组织128名学生参加志愿服务，服务活动需要分组，如果每组至少2人，最多10人，那么要保证每组人数一样多，可以怎样分？ 【答案】每组2人，能分64组。 每组4人，能分32组。 每组8人，能分16组。 【分析】要保证每组人数一样多，每组人数需是128的因数。先找出128的所有因数，再筛选出2到10之间的因数，最后计算对应组数，用学生人数除以每组的人数。 【解答】128的因数有：1、2、4、8、16、32、64、128。符合每组2到10人要求的因数是2、4、8。每组2人时，组数：128÷2＝64（组）；每组4人时，组数：128÷4＝32（组），每组8人时，组数：128÷8＝16（组）。 答：每组2人，能分64组；每组4人，能分32组；每组8人，能分16组。 25．实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 【答案】 每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 【分析】要使男、女生分组后每组人数相等且最多，需求24和40的最大公因数，再用各自总人数除以每组人数得到小组数。 【解答】分解质因数： 24和40的最大公因数是： 即每组最多8人。 男生小组数：24÷8＝3（组） 女生小组数：40÷8＝5（组） 答：每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 26．王阿姨在家里种了玫瑰花和吊兰，某天她给玫瑰花和吊兰同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水至少再过多少天？ 【答案】 60天 【分析】玫瑰花每20天浇一次水，它的浇水间隔是20的倍数；吊兰每15天浇一次水，它的浇水间隔是15的倍数。要找到“同时浇水”的时间，就是找同时是15和20的倍数的数，也就是两个数的公倍数；题目要求“至少再过多少天”，也就是找两个数的最小公倍数。先将20和15分解质因数，再取两个数所有公有的质因数和各自独有的质因数相乘，所得乘积就是最小公倍数。 【解答】， 20和15的最小公倍数：（天） 答：下一次再给这两种植物同时浇水至少再过60天。 27．现有72根铅笔需用同种规格的包装盒分装。如图，有A，B，C三种规格包装盒可供选择，选用哪两种规格包装盒能正好把72根铅笔全部装完？ 【答案】A和B，或B和C，或A和C 【分析】A包装盒装6根，B包装盒装7根，C包装盒装8根，用72根减去两种规格包装盒根数的最小公倍数，余下的根数能被这两种规格中的任何一种整除，那这两种规格的包装盒能正好把72根铅笔全部装完。 【解答】A包装盒装6根，B包装盒装7根，C包装盒装8根。 （1）A和B：6和7的最小公倍数是42。 72－42＝30（根） 30÷6＝5（盒） 6×5＋7×6＝30＋42＝72（根） 所以，5个A盒和6个B盒能正好把72根铅笔全部装完。 （2）A和C：6和8的最小公倍数是24。 72－24＝48（根） 48÷6＝8（盒） 6×8＋8×3＝48＋24＝72（根） 所以，8个A盒和3个C盒能正好把72根铅笔全部装完。 （3）B和C：7和8的最小公倍数是56。 72－56＝16（根） 16÷8＝2（盒） 7×8＋8×2＝56＋16＝72（根） 所以，8个B盒和2个C盒能正好把72根铅笔全部装完。 答：选A和B，或B和C，或A和C都能正好把72根铅笔全部装完。 28．道须沟旅游景区位于宁城县黑里河国家自然保护区内，景区内拥有郁郁葱葱的丛林、清澈的湖水和瀑布。当然，最吸引同学们的就是好玩的研学基地了，研学项目有厨艺、工艺、科技制作等。某学校五年级共有123人，大多数同学都要去参加研学活动。大队长把参加研学活动的同学分组，若按9人一组，则剩下4人，若按10人一组，则差6人。五年级一共有多少名同学要去参加此次研学活动？ 【答案】名 【分析】按人一组差人，等价于按人一组会剩余（人）。按人一组也剩余4人，说明参加研学的总人数减去之后，能同时被和整除，也就是总人数减是和的公倍数。因为和互质，所以最小公倍数是。结合总人数不超过人的限制，筛选符合条件的公倍数：和的公倍数有、……，只有在以内。计算最终人数：，再验证该结果同时满足两个分组条件即可。 【解答】按人一组差人，相当于按10人一组剩余（人）， 所以参加研学的人数减去后，既是的倍数，也是的倍数，即9和10的公倍数， 和的最小公倍数：，和下一个公倍数是， ，超过总人数，不符合要求， 研学人数：（名）， ，且大于123的一半，符合条件。 答：五年级一共有名同学要去参加此次研学活动。 29．智慧老人家的客厅是一个长120分米，宽是88分米的长方形，由于房子年久破旧，智慧老人打算维修翻新，准备给客厅换上美观耐用的方砖。 （1）要想客厅的长与宽都正好用整块方砖铺成，边长至多是多少分米？ （2）如果每块这样的方砖售价32元，智慧老人购买方砖一共需要花多少元？ 【答案】（1）8分米 （2）5280元 【分析】（1） 要使客厅的长和宽都正好用整块方砖铺成，方砖的边长必须同时是长和宽的公因数，求最大的边长，就是求120和88的最大公因数。 （2）先用除法分别算出沿长、宽方向需要的方砖块数，相乘得到总块数，再用总块数乘每块方砖的售价，即可求出总花费。 【解答】（1）120＝2×2×2×3×5，88＝2×2×2×11 120和88的最大公因数是2×2×2＝8 答：边长至多是8分米。 （2）沿长需要的方砖块数：120÷8＝15（块） 沿宽需要的方砖块数：88÷8＝11（块） 总块数：15×11＝165（块） 总花费：165×32＝5280（元） 答：智慧老人购买方砖一共需要花5280元。 30．海阳地雷战是抗日战争时期胶东地区著名的抗日游击战例，被誉为“人民战争的典范”。旅游区占地6000亩，是开展爱国主义教育的重要基地。新元小学组织四一班48人、四二班54人到海阳地雷战旅游区进行红色研学活动。 （1）如果把四一班、四二班两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ （2）两个班级各自可以分为多少个小组？ 【答案】（1）6人 （2）四一班可以分为8个小组，四二班可以分为9个小组 【分析】（1）根据“两个班每组人数相同且最多”的要求，需先求出48和54的最大公因数； （2）再用各班总人数除以每组人数，即可求出两个班级各自可以分为多少个小组。 【解答】（1）48＝2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 两个数公有的质因数是2和3，所以最大公因数为2×3＝6。 答：每组最多有6人。 （2）四一班小组数：48÷6＝8（个） 四二班小组数：54÷6＝9（个） 答：四一班可以分为8个小组，四二班可以分为9个小组。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $