期中真题重组卷（江苏专用，苏教版选择性必修第一册第1-3章：直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程）高二数学上学期

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．或 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即． 综上，求直线的方程为或．（6分） （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或．（7分） 16．（15分） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为；（7分） （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为．（8分） 17．（15分） 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为． 依题意可得，又， 所以，则． 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率（4分） （2）（ⅰ）设，． 联立，整理得． 由，解得或． 即的取值范围为．（4分） （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则． 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得． 解得，满足． 所以的值为．（7分） 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为；（5分） （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以；（5分） （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，．（7分） 19．（17分） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）设点，其中，则， ， 故的最大值为①， 当点为上顶点时，②， 又因为③，由①②③得，，， 所以椭圆的标准方程为．（5分） （2）设、，易知点、， （i）由题意可知直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 所以．（5分） （ii）易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且．（7分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知圆，圆，则（   ） A．过点作圆的切线有且仅有2条 B．圆与圆无公共点 C．点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D．圆上到直线的距离为2的点恰有3个 11．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 14．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（25-26高二上·江苏·期中）求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 16．（15分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 17．（15分）（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值． 18．（17分）（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值． 19．（17分）（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆，、分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为，当为椭圆上顶点时，直线的倾斜角为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交于椭圆、两点 （）若直线的倾斜角为，求线段的长； （）求的面积最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】直线的斜率为，因此倾斜角为， 故选：B． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程． 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可． 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得， 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件， 故选：D 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可． 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为． 故选：B 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由抛物线的定义可得，得，代入抛物线方程求出纵坐标即可得到点的坐标． 【详解】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A 6．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线和半圆的位置关系进行求解即可． 【详解】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需． 故选：D 7．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率． 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率． 故选：D 8．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出点的轨迹方程，确定点的轨迹是圆，再结合椭圆的性质，求出圆心到椭圆上的点的最大距离，即可得到的最大值． 【详解】设点，由题意可知． 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 设椭圆上动点，则有，即． 点到圆心的距离 ． 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以． 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AD 【详解】对于选项A，当时，可得，则直线：，， 当时，可知，则，此时， 当时，此时：，：，可得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，可得，则：，得，可知：， 当，即时，重合，所以选项B错误； 对于选项C，可知：，当时，，所以图像经过第一象限，所以选项C错误； 对于选项D，当时，可得：，过， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以选项D正确． 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知圆，圆，则（   ） A．过点作圆的切线有且仅有2条 B．圆与圆无公共点 C．点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D．圆上到直线的距离为2的点恰有3个 【答案】ACD 【分析】求出圆、的圆心及半径，再结合圆的性质逐项判断即得． 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，点在圆外，过点作圆的切线有且仅有2条，A正确； 对于B，，即，圆与圆相交，有2个公共点，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，点到直线的距离， 则与直线平行且距离为2的两条平行线中，一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 因此圆上到直线的距离为2的点恰有3个，D正确． 故选：ACD 11．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 【答案】AC 【分析】根据可得，求出后判断A，根据抛物线定义求出到准线的距离后可判断B，根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质、平行线内错角的性质可证，故可判断C的正误，利用设点法结合面积关系可得或，据此求出的轨迹方程后判断D． 【详解】对于A，因为准线过，故，故，故A正确； 对于B，由A可得抛物线方程为，故准线方程为， 而在抛物线上，故到准线的距离为，故B错误； 对于C，由抛物线的定义可得，故， 同理，故， 故，，而，故， 故C正确；    对于D：由题设可得不过焦点，故设，， 则，此时的面积为， 当时，则， 令，则，故此时的面积为（1）， 故，而相异，故， 故即，故或， 又，且， 若，则即的轨迹方程为， 因为，故，故此时的轨迹方程为， 若，同理可得的轨迹方程为， 因为，故，同理可得的轨迹方程为， 若，则，此时的面积为， 故，故， 故或， 故或， 此时，该点在曲线上， 综上，的轨迹方程为或，故D错误．        故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得． 【详解】点到直线的距离为，所以． 解得，或． 故答案为：或． 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 【答案】4 【分析】设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是． 故答案为：4． 14．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 【答案】 【分析】先设出点的坐标，利用向量的关系和垂直的条件，结合椭圆的性质来求解离心率即可． 【详解】设，， ，，解得， 又，，即， 把代入，得，化简得， 点在上，把代入，得，得， 又，，化简得，即， 等式两边同时除以，得，即， 令，得，解得或， ，，即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（25-26高二上·江苏·期中）求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案． 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即． 综上，求直线的方程为或． （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或． 16．（15分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可， 【详解】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 17．（15分）（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得． 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为． 依题意可得，又， 所以，则． 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 （2）（ⅰ）设，． 联立，整理得． 由，解得或． 即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则． 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得． 解得，满足． 所以的值为． 18．（17分）（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得． 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，． 19．（17分）（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆，、分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为，当为椭圆上顶点时，直线的倾斜角为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交于椭圆、两点 （）若直线的倾斜角为，求线段的长； （）求的面积最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据题设条件得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （ii）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值． 【详解】（1）设点，其中，则， ， 故的最大值为①， 当点为上顶点时，②， 又因为③，由①②③得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）设、，易知点、， （i）由题意可知直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 所以． （ii）易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $