专题05 三角形初步章末48道压轴题型专训（6大题型）-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 三角形初步章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、几何图形中等角转化求三角比 1 题型二、已知一个三角比的值求另外三角比 2 题型三、解直角三角形一一多直角三角形组合模型 3 题型四、折叠背景下求三角比 4 题型五、坡度坡角、方位角综合应用题 5 题型六、解非直角三角形问题 6 【经典例题一 几何图形中等角转化求三角比】 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，，；，，； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； （2）解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中， ，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，． ①求； ②求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∴是菱形； (2)①；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定及性质，三角函数的比值关系等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质寻找条件证出后，即可得到，从而可判定出四边形是菱形； （2）①利用平行得到，再利用相似三角形的比值关系求解即可； ②利用三角函数的比值关系求出菱形的边长，再根据面积公式运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）①解：∵， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作交延长线于点，连接．为上一点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的值． 【答案】(1) 与相切 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴与相切； (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正切的定义等知识，解题的关键是： （1）利用等边对等角得出，，结合直角三角形的性质可得出，即，利用切线的判定即可得出结论； （2）在中，利用勾股定理求出，证明，利用正切定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是直径， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，直角中，，，. （1）求、的长； （2）点为边上一动点，点为边上一定点，若，则当与相似时，的长为多少？ 【答案】（1）AC=2，BC=4；（2）CP=0.4或CP=1.6． 【分析】（1）根据计算AC，根据勾股定理计算BC； （2）分PQ平行AB和PQ与AB不平行，两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴AC=ABsinB==2； 根据勾股定理，得BC==4； 故AC=2，BC=4； （2）如图， 当Q∥AB时，则△CQ∽△CBA， ∴C：CB=CQ：CA， ∴C：4=0.8：2， 解得C=1.6； 当Q与AB不平行时，∠CQ=∠CBA时，两个三角形相似， 即△CQ∽△CAB， ∴C：CA=CQ：CB， ∴C：2=0.8：4， 解得C=0.4； 综上所述，CP=0.4或CP=1.6． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，三角形的相似，熟练掌握三角函数的定义，灵活变形计算，运用好分类思想准确计算是解题的关键． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ． 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2) 证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）略 （3）解：， ， ， ， ． 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，过点D作DE⊥AD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G． （1）如图1，若AC＝4，cos∠CAD＝，求△ADE的面积； （2）如图2，点H为DC是延长线上一点，连接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求证：DH＝CE+FH． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠CAD＝∠ACB，因为AB⊥AC，根据三角函数得到cos∠CAD，cos∠CAD＝，再根据勾股定理进行计算即可得到答案； （2）作FK⊥DH于K，根据题意，由三角函数得到HK＝FH，根据全等三角形的判定（ASA）得到△BOG≌△DOF（ASA），根据全等三角形的性质得到BG＝DF，结合题意根据全等三角形的判定（AAS）和性质即可得到答案. 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∵AB⊥AC， ∴cos∠CAD＝＝cos∠ACB＝＝， ∴BC＝AD＝5， ∵cos∠CAD＝， ∴＝， ∴AE＝， DE＝＝＝， S△ADE＝AD•DE＝×5×＝； （2）证明：作FK⊥DH于K，如图2所示： ∵∠H＝30°， ∴∠HFK＝60°， ∴HK＝sin60°FH＝FH， 连接BD，则OB＝OD，∠OBG＝∠ODF，∠BOG＝∠DOF， 在△BOG和△DOF中，， ∴△BOG≌△DOF（ASA）， ∴BG＝DF， ∵DE＝BG， ∴DE＝DF， ∵AB⊥AC，AB∥CD， ∴CD⊥AC， ∴∠DCE＝∠FKD＝90°， ∵∠CDE+∠CED＝90°，∠CDE+∠KDF＝90°， ∴∠CED＝∠KDF， 在△DCE和△FKD中，， ∴△DCE≌△FKD（AAS）， ∴DK＝CE， ∴DH＝DK+HK＝CE+FH． 【点睛】本题考查三角函数、全等三角形的判定（ASA、AAS）和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA、AAS）和性质. 8．（2026·上海闵行·一模）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ； (2)若角α的终边与直线重合，则的值； (3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值； (4)若，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可； （4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果． 【详解】（1）解：当时， ，，， ，，， 故答案为：． （2）解：∵若角α的终边与直线重合， ， ， 当时，， 当时，， 的值为或． （3）解：，点，且， ， （正值舍去）， ． （4）解：， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 【经典例题二 已知一个三角比的值求另外三角比】 9．（2026·江西吉安·一模）（1）计算：． （2）如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好与甲影子在同一条直线上，已知甲身高米，乙身高米，甲的影长是6米，求甲、乙两同学相距是多少米． 【答案】（1）；（2）甲、乙两同学相距是1米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，求特殊角三角形函数值，二次根式的加减计算，负整数指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，再去绝对值和化简二次根式，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可得到答案； （2）设两个同学相距x米，则米，证明，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）设两个同学相距x米，则米， 由题意得，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴甲、乙两同学相距是1米． 10．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，为了测量山高，分别选择山下平地的处和另一座山的山顶处为测量观测点从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高米， (1)填空：________． (2)求山高的长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）利用三角形的内角和定理和特殊角的函数值得结论； （2）在中先利用直角三角形的边角间关系求出，再解求出，最后在中利用直角三角形的边角关系求出即可． 【详解】（1）解：， ． ∴； （2）在中， ，， ∴（米） 如图所示，过点作于点 ∵， ∴（米） 在中， ∴ ∴（米）. 11．（2026·上海松江·模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段．已知坡的长为，坡角约为，求坡的铅直高度．（参考数据：，，） 【答案】的铅直高度约为 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，，． ， ． 故坡的铅直高度约为． 12．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段检测）小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸上有两棵大树，，当小明跑到处时，测得大树在北偏东方向，小明继续跑步到达处，此时大树刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】该段河的宽度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，锐角三角函数的定义、矩形的判定和性质等知识，过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明四边形是矩形，所以，，设，在中，，在中，，则有，然后解方程即可，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：该段河的宽度约为． 13．（2026·安徽·模拟预测）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点E作于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 14．（2026·江西赣州·模拟预测）如图1，是一款小型渔具包，其侧面可抽象成图2所示的示意图，点C是渔具包的中点，，且始终与地面平行，皮带有一定的弹性，且始终处于紧绷状态，已知． (1)当点A到地面的距离为时，求渔具包与支架的夹角的度数； (2)已知当渔具包与支架的夹角时，渔具包摆放最稳定，且，求此时皮带的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时皮带的长度约为 【分析】（1）连接，首先求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可； （2）过点C作于点G，交于点H，由三线合一得到，解直角三角形求出，然后证明，得到，然后结合求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A到地面的距离为， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作于点G，交于点H， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：此时皮带的长度约为． 15．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） (1)求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； (2)若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 【答案】(1)坡底部增加的长度是米 (2)高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌 【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可； （2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， ∴， 答：坡底部增加的长度是米； （2）解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足， ∴， ∴四边形形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴在中，，米 ， ∵米， ∴在中，， ∴， ∵， ∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌． 【点睛】本题考查了垂直的定义，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用—坡角问题，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2026·河南开封·二模）如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：） (1)若，点A到底座的距离是 ； (2)为了观看舒适，在（1）中的调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？ 【答案】(1) (2)30，此时点到底座的距离与（1）中相比减小了． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作， 垂足为N， 过点A作，交的延长线于点M，过点C作， 垂足为F，则四边形是矩形，从而可得，先在中， 求出的长， 再在中，求出，然后进行计算即可解答； （2）根据题意先画出图形， 然后在中，利用锐角三角函数求出，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图： 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． （2）解：如图：过点作于点， ∵， 在中， ∴旋转的角度为 在， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴此时点到底座的距离与（1）中相比减小了． 【经典例题三 解直角三角形一一多直角三角形组合模型】 17．（26-27九年级上·上海嘉定·课后作业）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度的长为，，求中柱的高．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的长，在中，根据三角函数即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， ， ， 答：中柱的高约为． 18．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，小亮想要测量建筑物的高度，他利用测倾器在点测得，然后他继续向前走了米，到达点，此时测得．已知测倾器的高米，请根据小亮测得的数据，计算该建筑物的高． （结果精确到米，） 【答案】建筑物的高度约为米 【分析】延长交于点，先证四边形、四边形为矩形，得到线段等量关系；设，利用直角三角形性质得，再根据角的正切建立方程求出，最后加上的长度得到建筑物高度． 【详解】解：延长交于点． ，， ∴，， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∴米， ∵， 四边形是矩形． ∴， ∵， 四边形是矩形． 米，，， ∴， 设米． ， 是等腰直角三角形， ∴米， （米）， ，， 即， 解得（米）， （米）． 答：建筑物的高度约为米． 19．（2026·内蒙古兴安·模拟预测）如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 【答案】树的高度约为 【分析】根据山坡的坡度以及平行线的性质得到，进而得到，根据，得到的长度． 【详解】解：山坡的坡度， ， ， ， ， ， 在中，， . 答：树的高度约为． 20．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，根据勾股定理求初始顶端高度 ，根据勾股定理求下滑后顶端高度 ，最后用即可． 【详解】由题意可知，墙与地面垂直， ∴ 、都是直角三角形， ∵梯子长度不变， ∴ 在 中， ， 梯子底端外移后，， ∴在 中，： ， ∴顶端下滑的距离为： ． 21．（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】旗杆高为 【详解】由题意可得，，，，， 设，在中，， 在中，， ∵， ∴解得， ∴． 答：旗杆高为． 22．（2026·河北·模拟预测）明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题：她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离． 【答案】点到点的距离约为 【分析】根据，得到，根据，，得到，继而通过证明四边形是矩形，得到． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴点到点的距离约为． 23．（2026·山东菏泽·二模）【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 【答案】(1) (2)①；②符合，理由：如图， 过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点， 则四边形和四边形均为矩形， ∵， ∴， ∵主坡道的坡度为，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中，， 在 中，， ∴， 在中，由可得， ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）在中，根据坡度定义得，代入已知的长度，即可直接计算得出主坡道的铅直高度； （2）①先根据缓坡道坡度为主坡道坡度的算出缓坡道的坡度，再在中利用坡度定义，代入水平距离的长度算出铅直高度，结合右段缓坡道铅直高度与相等，将三段坡道的铅直高度相加，即可得到车库总高度； ②过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点，证明四边形和四边形均为矩形，先计算出的长度，再求出的长度，利用主坡道的坡度在中算出，进而求出和的长度，再通过角的关系证明，在中利用余弦函数算出的长度，最后将与比较，即可判断该坡道的最小净高是否符合设计规范． 【详解】（1）∵主坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴； 答：主坡道的铅直高度为； （2）①∵缓坡道坡度为主坡道坡度的， ∴缓坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴， 由题意可知：右段缓坡道的铅直高度也等于，车库总高度等于各段坡道铅直高度之和， ∴； 答：车库高度为； ②略 24．（2026·山东济宁·一模）如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 【答案】(1)小明往摄像头的方向前进2.7米后，将完全进入摄像头的视野盲区 (2)点P到点O的距离至少要为3.36米 【分析】（1）利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解； （2）过点B作，垂足为F，利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，记直线与交于点E， 由题意可得四边形和都是矩形． ，， ． 在中，，， , ，， ， 在中，，， ， 米，， ， ， 则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区． （2）解：如图，过点B作，垂足为F， 由题意可得，四边形为矩形． 且， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ，， ， ，， ， ∴点P到点O的距离至少要为米． 【经典例题四 折叠背景下求三角比】 25．（25-26九年级下·全国·单元测试）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值． 【答案】． 【分析】根据翻折变换的性质得出AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，∠FAB=67.5°，进而得出tan∠FAB=tan67.5°=得出答案即可． 【详解】解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处， ∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°． ∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处， ∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°， ∴∠FAB＝67.5°． 设AB＝x，则AE＝EF＝x， ∴tan∠FAB＝tan67.5°＝＝＝＋1． 【点睛】本题考查了翻折变换，折叠得到的图形是轴对称图形，对应的角相等，对应的边相等． 26．（2026·四川南充·一模）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边F处． (1)写出图中一定相似的三角形，并证明． (2)若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即的值． 【答案】(1)△ADE∽△AFE，△ABF∽△FCE，证明见解析 (2) 【分析】（1 ）由折叠的性质可得△ADE≌△AFE，由余角的性质可证∠BAF＝∠CFE，可证△ABF∽△FCE； （2 ）由相似三角形的性质可求∠BAF＝∠FAE＝∠DAE＝30°，由锐角三角函数可求解． 【详解】（1）相似的三角形有：△ADE∽△AFE，△ABF∽△FCE， 理由如下：∵将△ADE沿AE折叠， ∴△ADE≌△AFE， ∴△ADE∽△AFE， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠BAF＝∠AFB+∠EFC＝90°， ∴∠BAF＝∠CFE， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABF∽△FCE； （2）若图中的相似三角形超过2对，则必有△AFE∽△ABF， ∴∠BAF＝∠FAE， 又∵△ADE≌△AFE， ∴AD＝AF，∠FAE＝∠DAE， ∴∠BAF＝∠FAE＝∠DAE， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAF＝∠FAE＝∠DAE＝30°， ∴cos∠BAF＝． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，分清折叠前后的对应关系是解决问题的关键． 27．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设．    (1)________； (2)若点A在的平分线上，求的长； (3)求点，D距离的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）利用勾股定理求出，根据，可得结论． 【详解】（1）如图1中，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图1中，∵平分，    ∴， 由翻折可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图2中，连接，．    在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为8， 此时，，D共线，设，则有， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 28．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在矩形 中，，点是对角线上一动点（不与点,重合），将矩形沿过点 的直线 折叠，使得点 分别落在直线 和 上． (1)若，求的值； (2)若，在点运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)记，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为16 (3)当 为直角三角形时，的值为 或 【分析】本题考查三角函数，轴对称的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，可以求出，进而求解； （2）由轴对称性，得，进而求解周长； （3）分两种情况讨论，当 ； 时分别求解即可． 【详解】（1）解：在 中， ， ， 由题意，可得 ， 在 中， ， ； （2）由轴对称性，得， 的周长,， 当 时，的长度最小， 此时 ， 的周长最小值为； （3）由（1）知 ， ， ； 如图1，当 时，， 由轴对称性，得 ， 又 在 中，， ， ， 设 ，， ， ， ，， ； 如图2，当 时，， 在 中，， ， ， ， ，， ； 综上所述，当 为直角三角形时，的值为 或 ． 29．（2026·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)； (2) 证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）略 30．（2026·山东济宁·模拟预测）已知矩形纸片．进行如下操作： 第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结，，，与相交于点O（如图1）． 第2步：将纸片继续沿折叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点H（如图2）． (1)猜想和的数量关系，并证明你的结论； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) ，理由如下； 由折叠的性质可知，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，则，证明，进而结论得证； （2）由矩形，可得，由题意知，，由折叠的性质可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形， ∴， 由题意知，， 由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴ 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切是解题的关键． 31．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，D是的边上一点，连接，作的外接圆，将沿直线折叠，点C的对应点E落在圆上．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】 （1）解 ：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）由翻折的性质得出，根据全等三角形对应角相等，对应边相等得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据等量代换得出，根据等角对等边得出，从而得出结论； （2）如图，过点A作于点H，根据等腰三角形的三线合一得出，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出，从而得出，在直角三角形中，利用勾股定理得出的长． 【详解】（1）略 （2）解 ：如图，过点A作于点H，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ =， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点． 32．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某班同学在开展以折纸为主题的实践活动中，发现了三等分直角、三等分线段的方法． (1)如图，将矩形对折，使得与重合，得到折痕（其中，点、分别是边、的中点），然后再将矩形纸片展开．再次折叠矩形纸片，使得点落在上，记作点，且使折痕经过点，得到折痕．求证：、将三等分． (2)类比地，如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于于．求证：． 【答案】(1) 证明：由折叠得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴、将三等分； (2) 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点、分别是边、的中点， ∴设， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由折叠得，，，，解直角三角形得到，然后结合平行线和折叠的性质得到即可证明； （2）如图，连接，由折叠得，，，，证明出，得到，设，，表示出，，然后利用勾股定理得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【经典例题五 坡度坡角、方位角综合应用题】 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在一建筑物的前方54米处有一斜坡，坡比为，小敏从斜坡脚点C处沿斜坡走13米到达点D处，然后将测角仪放置在点D处（测角仪与斜坡的距离忽略不计），测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】约为米 【分析】过点作于点，作，交延长线于点，先求出的长，则可得的长，再解直角三角形可得的长，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，作，交延长线于点， 由题意得：米，米，，， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，则米， ∴在中，， 解得， ∴米，米， ∴米， 又∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，（米）， ∴米， 答：建筑物的高度约为米． 34．（2026·山东青岛·二模）在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡处测得松树顶端的仰角，并测得斜坡的坡度（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端处，测量得到． (1)求点到水平地面的距离； (2)求松树的高（精确到）．（参考数据： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设于D，利用坡度的定义结合勾股定理即可求得答案； （2）先求得，再解直角三角形求出，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：设于D， 在直角三角形中，∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴m，即点到水平地面的距离是； （2）解：由（1）可得， 则在直角三角形中， ∵，即， ∴， ∴； 答：松树的高约为． 35．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 【答案】(1)上升了厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据坡比的定义进行计算即可； （2）设楔子从P点开始前进的距离为，表示出两个木桩上升的高度，然后建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 答：木桩①上升了2厘米． （2）解：设楔子从P点开始前进的距离为， 根据题意，可得：， 解得， 答：两个木桩之间的施工预留水平间隙为厘米． 36．（2026·安徽合肥·一模）如图，一艘渔船由C处自东向西以每小时12海里的速度向码头A航行，已知码头A在灯塔B北偏西方向，C处在灯塔B北偏东方向．时渔船从C处出发，时渔船航行至D处，D处在灯塔B的东北方向．受冷空气影响，点后码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A．（参考数据：，，，，，） 【答案】 解：不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A， 理由：过B作于点E， 由题意得：，，（海里）， ∴，， 设海里，则海里，海里， 在中，， 解得， 在中，，， ∴， ∴， ∴（分钟）， 从经过90分钟是，之前能到达A． ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 【分析】过B作于点E，由题意得：，，（海里），海里，，设海里，则海里．在中，，可得，在中， ，从而得到，即可求解． 【详解】略 37．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）泰州快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速60千米/小时，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．参考数据：（，，，，，，） 【答案】(1)8米 (2) 解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 米/秒， 而， 所以该汽车不超速． 【分析】（1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； （2）略 38．（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，设，解，再由建立方程求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，由题意，设，解中， ．在等腰中， ，则，解得，那么．设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点，最后对运用勾股定理建立方程及其即可． 【详解】（1）解：如答图1，过点作的垂线，交的延长线于点． 由题意，． 设． 在中， ． 在等腰中，， 则， 解得， ． ； （2）解：能． 如答图2，过点作的垂线，垂足为点． 由题意，设， 在中， ． 在等腰中， ， ， 解得， ． 如答图2，设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点， ， ， ． 在中，由勾股定理列方程， 解得． 答：在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流． 39．（2026·广东广州·一模）如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． (1)求学校与公园之间的距离； (2)若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 【答案】(1)学校与公园之间的距离约为270米； (2)学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的垂线，进而求出的内角，过C点作的垂线构造直角三角形，利用特殊角、的三角函数值求解． （2）先计算点A到直线的垂直距离，与噪音半径比较；若受影响，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线，过点作的垂线，两线交于点． 由题意得，． ∵，， ∴，， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴（米）． 答：学校与公园之间的距离约为270米． （2）如图，过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）知，在中，，， ∴，， ∴学校在大型货车的噪声污染范围内． 设货车在点与点之间行驶时，学校受到噪声污染，连接、、则 ∵， ∴， ∴米． 答：学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 40．（2026·广东东莞·二模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： (1)平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    (2)上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 【答案】(1) (2)①； ②司机不能看见孩子，理由如下： 如图2，过F作交于点G． ， 解得米米． 所以，孩子在司机视线盲区，司机不能看见孩子． 【分析】（1）延长交直线于点K．证明，根据相似三角形的性质进行解答即可． （2）①延长ME交AH于点K．求出，． 根据进行解答即可； ②过F作交AH于点G．求出，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，延长交直线于点K． 根据题意，得． ． ，即． 解得． 车头盲区的面积约为． （2）解：①如图，延长交于点K． 在中，． ． ， ． ． ②略 【经典例题六 解非直角三角形问题】 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）按要求解答问题： (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 【答案】(1) 即为所求； (2)． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，过作于，根据，可得，在等腰三角形中根据三角函数值即可解得答案． 【详解】（1）略． （2）解：连接，过作于，如图： ， ， ，， ， 在中，， ， ， 的半径为． 42．（25-26九年级上·安徽六安·期末）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥上方150米的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为65°和45°，求桥的长度．（参考数据：，，；结果精确到0.1米） 【答案】220.1米 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可． 【详解】解： 如图，过点作，垂足为， 由题意得，，（米）， 在中，（米）， 在中，， ∴（米） ∴（米） 答：桥的长度约为220.1米． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 43．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，已知． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAC=∠FCB， ∵∠ABF=∠FBC+∠DAC ， ∴∠ABF=∠FBC+∠FCB， ∵∠AFB=∠FBC+∠FCB， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AB=AF， ∴▱ABEF是菱形； （2） 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，再根据可证AB=AF，由一组临边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）作DH⊥AC于点H，根据平行四边形的性质可得，在Rt△ADH和Rt△DCH中依次解直角三角形即可求得AH和HC，从而求得AC． 【详解】（1）略 （2）解：作DH⊥AC于点H， ∵BE∥AC， ∴∠1=∠CBE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠2=∠1， ∴， Rt△ADH中，设DH=x，则， 根据勾股定理， 解得（舍掉负值）， 即， ∵四边形ABEF为菱形， ∴CD=AB=BE=6, 在Rt△DCH中，根据勾股定理, 即 ，解得（舍掉负值）， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数、勾股定理等．（1）中掌握菱形的判定定理，并能结合题意灵活运用是解题关键；（2）能正确构造辅助线，构造直角三角形是解题关键． 44．（2026·吉林白山·二模）如图，已知灯塔P的周围10海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到B处后，又测得该灯塔在北偏东45°方向，渔轮不改变方向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．【参考数据：＝1.732，＝1.414】 【答案】海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险 【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设BC＝x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC＝PC＝x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到PC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险． 【详解】解：没有触礁的危险．理由如下： 作PC⊥AB于C，如图，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8， 设BC＝x， 在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴BC＝PC＝x， 在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝， ∴AC＝ ，即8+x＝，解得 即PC≈10.92， ∵10.92＞10， ∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 45．（2026·四川广元·模拟预测）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 【答案】隧道EF的长度米． 【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解． 【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示： 由题意得：， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴AG=EG=DG， 设AG=EG=DG=x， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：隧道EF的长度米． 【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 46．（2026·天津河东·一模）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得学校1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且和分别垂直地面于点和，为的中点，求2号楼的高度(结果保留根号)． 【答案】2号楼的高度为米． 【分析】过点作于，过点作于，由B为CD的中点可得EG=HF，在Rt△AEG中利用∠EAG的正切函数可求出EG的长，在Rt△AHF中，根据∠HAF=45°可得AH=HF，进而根据即可得答案. 【详解】过点作于，过点作于， 则四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， 由已知得：∠HAF=90°-45°=45°， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴(米)． 答：2号楼的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义利用辅助线构造直角三角形是解题关键. 47．（25-26九年级下·四川内江·阶段练习）【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】(1)，证明： 如图，作于点E． 在中，， 在中，． ， ， ． (2) 【分析】（1）仿照图1的证明方法，首先构造直角三角形，即作于点E，在和中根据正弦的定义得到 ，，然后利用建立等量关系即可得解； （2）利用第（1）问探究的结论可知然后代入相关数据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ，即， 解得． 答：点A到点B的距离为． 48．（2026·贵州六盘水·二模）赤道式日晷（guǐ）是中国古代经典的天文计时仪器．如图1是某景区日晷实物图．数学兴趣小组想要了解日晷的晷针长度和晷针针尖到地面的铅直高度，他们将日晷实物图抽象成如图2所示的几何图形，并进行了如下的实地测量： 【测量数据】 如图2，点，，，在同一平面内，测得晷针与水平线的夹角，，． 【问题解决】 根据以上测量的数据，解答下列问题： (1)求晷针的长度． (2)求晷针的针尖到地面的铅直高度． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，利用余弦函数求解； （2）得出，利用正弦函数求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形初步章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、几何图形中等角转化求三角比 1 题型二、已知一个三角比的值求另外三角比 2 题型三、解直角三角形一一多直角三角形组合模型 3 题型四、折叠背景下求三角比 4 题型五、坡度坡角、方位角综合应用题 5 题型六、解非直角三角形问题 6 【经典例题一 几何图形中等角转化求三角比】 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中， ，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，． ①求； ②求的面积． 3．（25-26九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作交延长线于点，连接．为上一点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的值． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，直角中，，，. （1）求、的长； （2）点为边上一动点，点为边上一定点，若，则当与相似时，的长为多少？ 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 7．（2026·重庆·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，过点D作DE⊥AD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G． （1）如图1，若AC＝4，cos∠CAD＝，求△ADE的面积； （2）如图2，点H为DC是延长线上一点，连接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求证：DH＝CE+FH． 8．（2026·上海闵行·一模）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ； (2)若角α的终边与直线重合，则的值； (3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值； (4)若，则的取值范围是 ． 【经典例题二 已知一个三角比的值求另外三角比】 9．（2026·江西吉安·一模）（1）计算：． （2）如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好与甲影子在同一条直线上，已知甲身高米，乙身高米，甲的影长是6米，求甲、乙两同学相距是多少米． 10．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，为了测量山高，分别选择山下平地的处和另一座山的山顶处为测量观测点从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高米， (1)填空：________． (2)求山高的长度． 11．（2026·上海松江·模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段．已知坡的长为，坡角约为，求坡的铅直高度．（参考数据：，，） 12．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段检测）小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸上有两棵大树，，当小明跑到处时，测得大树在北偏东方向，小明继续跑步到达处，此时大树刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 13．（2026·安徽·模拟预测）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 14．（2026·江西赣州·模拟预测）如图1，是一款小型渔具包，其侧面可抽象成图2所示的示意图，点C是渔具包的中点，，且始终与地面平行，皮带有一定的弹性，且始终处于紧绷状态，已知． (1)当点A到地面的距离为时，求渔具包与支架的夹角的度数； (2)已知当渔具包与支架的夹角时，渔具包摆放最稳定，且，求此时皮带的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 15．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） (1)求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； (2)若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 16．（2026·河南开封·二模）如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：） (1)若，点A到底座的距离是 ； (2)为了观看舒适，在（1）中的调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？ 【经典例题三 解直角三角形一一多直角三角形组合模型】 17．（26-27九年级上·上海嘉定·课后作业）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度的长为，，求中柱的高．（结果精确到） 18．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，小亮想要测量建筑物的高度，他利用测倾器在点测得，然后他继续向前走了米，到达点，此时测得．已知测倾器的高米，请根据小亮测得的数据，计算该建筑物的高． （结果精确到米，） 19．（2026·内蒙古兴安·模拟预测）如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 20．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？ 21．（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 22．（2026·河北·模拟预测）明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题：她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离． 23．（2026·山东菏泽·二模）【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 24．（2026·山东济宁·一模）如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 【经典例题四 折叠背景下求三角比】 25．（25-26九年级下·全国·单元测试）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值． 26．（2026·四川南充·一模）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边F处． (1)写出图中一定相似的三角形，并证明． (2)若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即的值． 27．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设．    (1)________； (2)若点A在的平分线上，求的长； (3)求点，D距离的最小值，并求此时的值． 28．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在矩形 中，，点是对角线上一动点（不与点,重合），将矩形沿过点 的直线 折叠，使得点 分别落在直线 和 上． (1)若，求的值； (2)若，在点运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)记，当为直角三角形时，求的值． 29．（2026·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 30．（2026·山东济宁·模拟预测）已知矩形纸片．进行如下操作： 第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结，，，与相交于点O（如图1）． 第2步：将纸片继续沿折叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点H（如图2）． (1)猜想和的数量关系，并证明你的结论； (2)已知，，求的值． 31．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，D是的边上一点，连接，作的外接圆，将沿直线折叠，点C的对应点E落在圆上．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 32．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某班同学在开展以折纸为主题的实践活动中，发现了三等分直角、三等分线段的方法． (1)如图，将矩形对折，使得与重合，得到折痕（其中，点、分别是边、的中点），然后再将矩形纸片展开．再次折叠矩形纸片，使得点落在上，记作点，且使折痕经过点，得到折痕．求证：、将三等分． (2)类比地，如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于于．求证：． 【经典例题五 坡度坡角、方位角综合应用题】 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在一建筑物的前方54米处有一斜坡，坡比为，小敏从斜坡脚点C处沿斜坡走13米到达点D处，然后将测角仪放置在点D处（测角仪与斜坡的距离忽略不计），测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，） 34．（2026·山东青岛·二模）在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡处测得松树顶端的仰角，并测得斜坡的坡度（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端处，测量得到． (1)求点到水平地面的距离； (2)求松树的高（精确到）．（参考数据： 35．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 36．（2026·安徽合肥·一模）如图，一艘渔船由C处自东向西以每小时12海里的速度向码头A航行，已知码头A在灯塔B北偏西方向，C处在灯塔B北偏东方向．时渔船从C处出发，时渔船航行至D处，D处在灯塔B的东北方向．受冷空气影响，点后码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A．（参考数据：，，，，，） 37．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）泰州快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速60千米/小时，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．参考数据：（，，，，，，） 38．（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 39．（2026·广东广州·一模）如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． (1)求学校与公园之间的距离； (2)若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 40．（2026·广东东莞·二模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： (1)平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    (2)上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 【经典例题六 解非直角三角形问题】 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）按要求解答问题： (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的情况下，若，长为6，求的半径 42．（25-26九年级上·安徽六安·期末）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥上方150米的点处悬停，此时测得桥两端两点的俯角分别为65°和45°，求桥的长度．（参考数据：，，；结果精确到0.1米） 43．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，已知． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，，，求的长． 44．（2026·吉林白山·二模）如图，已知灯塔P的周围10海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到B处后，又测得该灯塔在北偏东45°方向，渔轮不改变方向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．【参考数据：＝1.732，＝1.414】 45．（2026·四川广元·模拟预测）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 46．（2026·天津河东·一模）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得学校1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且和分别垂直地面于点和，为的中点，求2号楼的高度(结果保留根号)． 47．（25-26九年级下·四川内江·阶段练习）【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 48．（2026·贵州六盘水·二模）赤道式日晷（guǐ）是中国古代经典的天文计时仪器．如图1是某景区日晷实物图．数学兴趣小组想要了解日晷的晷针长度和晷针针尖到地面的铅直高度，他们将日晷实物图抽象成如图2所示的几何图形，并进行了如下的实地测量： 【测量数据】 如图2，点，，，在同一平面内，测得晷针与水平线的夹角，，． 【问题解决】 根据以上测量的数据，解答下列问题： (1)求晷针的长度． (2)求晷针的针尖到地面的铅直高度． （结果精确到，参考数据：，，） 学科网（北京）股份有限公司 $