第三十章 第58课时 正多边形与圆(1)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

在Rt△OGB中，根据勾股定理得OB=OG十BG, .OC=(0C-2)2+42..OC=5. .OG=0C-CG=5-2=3. ∴.AD=2OG=6. 第56课时圆的切线(2)—切线长定理 1.A2.C3.C4.B5.C 6.证明：PA,PB分别切⊙O于点A,B, ∴.PA=PB,∠APC=∠BPC 又.PC=PC,∴.△APC≌△BPC(SAS) ..AC=BC. 7.6 8.解：PA,PB是⊙O的切线，PA=PB. 过点C的切线分别交PA,PB于点D,E, ∴AD=CD,BE=CE, :△PDE的周长为20，.PD+CD+CE+PE=20, ∴.PD+AD+BE+PE=20,即PA十PB=2PA=20 .PA=10. 9.解：(1)，OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA=30°， :PA,PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠PAB=∠PBA=60°，△PAB是等边三角形， .∠APB=60°. (2)如答图，连接OP, PA,PB是⊙O的切线 .PO平分∠APB, ∴.∠APO=∠BPO=30°， ..OP=20A. .AP=3,OP2=OA2+AP2, 答图 ∴.(2OA)2=OA2+32, .OA=√3，.⊙O的半径为3. 10.解：(1).PA是⊙O的切线，.OA⊥PA, 即∠CAP=90°，∴.∠PAB=90°-∠BAC=90°-28°=62. ,PA,PB是⊙O的切线，.PA=PB, .∠PBA=∠PAB=62°， .∠P=180°-∠PAB-∠PBA=56°， (2)如答图，连接CB, AC是⊙O的直径， ∴.∠CBA=90°， 在Rt△ABC中， ∠BAC=30°，AC=8, ∴BC=之AC=4,由勾股定理： 答图 AB=√AC-BC=√/82-42=4√3， .∠CAP=90°，∴.∠PAB=90°-∠BAC=90°-30°=60°， :PA=PB,∴△PAB是等边三角形， .AB=PA=PB=4√5， ∴.△ABP的周长为4√×3=123. 11.(1)证明：如答图，连接OP ,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C, ∴.PA=PC,OA⊥PA. .OA=OC,OP=OP, .△OPA≌△OPC(SSS). .∠AOP=∠POC. QP⊥PA,∴.QP∥BA 答图 ∴.∠QPO=∠AOP ∴.∠QOP=∠QPO.∴.OQ=PQ. (2)解：设OC=r. .PQ=OQ=r+6,..PC=PA=AB=2r PC是⊙O的切线，.OC LPC 参考咨案 ∴.∠OCP=∠PCQ=90°. 在Rt△PCQ中，PQ=PC+QC, 即(6十r)2=62+(2r)2,解得r=4或r=0(舍去)， .半径的长为4. 第57课时三角形的内切圆 1.B2.C3.D4.495.C 6.解：(1)如答图所示. (2):AO平分∠BAC, CO平分∠BCA, ∴∠OAC-∠BAC ∠OCA=2∠BCA, 答图 ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA =180°-2(ZBAC+∠BCA). :∠B=70°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°. ∠A0C=180°-2×110=125 7.解：如答图，设△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D,E, F,连接OD,OE,OF, 则OE⊥BC,OD⊥AB,OF⊥AC. 设⊙O的半径为r,则CF=r. :∠C=90°，BC=4,AC=3, .AB=5. ∴.AF=AD=3-r, BE=BD=4-r. 答图 .4-r+3-r=5,解得r=1. ∴.△ABC的内切圆⊙O的半径为1. 8.(1)解：：∠CBD=34°，∠CAD=34° ,点E是△ABC的内心，∴·∠BAC=2∠CAD=68°， .∠EBC+∠ECB=(180°-68°)÷2=56°， .∠BEC=180°-56°=124. (2)证明：，E是△ABC的内心， ∴.∠BAD=∠CAD,∠EBA=∠EBC I∠DEB=∠BAD+∠EBA, ∠DBE=∠EBC+∠CBD,∠CBD=∠CAD, .∠DEB=∠DBE,.DE=DB. 9.证明：(1)：点E是△ABC的内心， .∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC :∠BED=∠BAE+∠EBA, ∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC, .∠DBE=∠DEB..DB=DE (2)如答图，连接CD. AD平分∠BAC,∠DAB=∠DAC. .BD=CD..BD=CD. .BD=DF,∴.CD=DB=DF ∴.∠BCF=90° .BC⊥CF ∴直线CF为⊙O的切线. 第58课时正多边形与圆(1) 1.B2.C3.C4.B5.B6.B 7.D8.C9.6√210.C 11.解：(1)如答图，连接OB,OC. :三角形ABC为正三角形， .∠ABC=∠BCA=60°. ∠B0C=360=120, 3 OB=OC, 答图 数学九年级上册(RJ) :∠0BC=∠0CN=180°-，∠B0C=30 2 .∠OBM=∠OCN, .'OB=OC,BM=CN,∴.△OBM≌△OCN(SAS) ∴.∠BOM=∠CON.∴.∠MON=∠BOC=120°. (3)在题图1中，∠M0N=360°-120， 3 在题图2中，∠MON=360°=90， 4 在题图3中，∠MON=360=72,…, 5 故在题图n中，∠MON=360 12.解：(1)如答图，连接BD. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠C=180. ∠C=120°，∠BAD=60°. .AB=AD,.△ABD是等边三角形 .∠ABD=60°. :四边形ABDE是⊙O的内接四边形， .∠AED+∠ABD=180°.∴.∠AED=120° (2),∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°. .∠DOE=90°，∴.∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°. 六n=360 30°=12. 第59课时正多边形与圆(2) 1.C2.75°3.六4.105.609 6.解：如答图，正方形ABCD即为所求. D B 答图 7.B8.A9.B10.B11.2027 12.1)V0(2)57 R 13.解：(1)依题意，圆内接正六边形ABCDEF如答图所示 (2)如答图，连接OA,OB, 过点B作BG⊥AO于点G, ,六边形ABCDEF是正六边形， ∴.∠AOB=360°÷6=60°， .AO=OB=2, ∴△AOB是等边三角形， 答图 则A0=AB=OB=2,G0= 2X2=1. 则a∠B0A=8瓷即an60=BC-,BG-5, 2X2 ∴△A0B的面积为号×A0XBG=号×2X5=5, 六边形ABCDEF的面积为6X√3=6√3. 第三十章《直线与圆的位置关系》易错疑难集训 1.B2.B3.54.B 5.解：(1)如答图，连接OA7,OA1 由圆周被12等分，得每份对应的圆心角是30°， .劣弧AA1所对圆心角∠AOA11=120°， 劣弧A,A:的长1=120X6=4元 180 4π>12，∴.劣弧A7A11更长」 A 答图 (2)垂直. 理由：如图，连接OA1,则由AA,等于圆周长的一半，可知 A1,O,A7三点共线，A1A7是⊙O的直径， .∠A2A1A1=90°，即A,A1⊥PA1. (3)PA,是⊙0的切线， ∴.∠PAO=90°， 由(1)知∠A,0A1=120°， ∴.∠A2A1A1=60°，∴∠P=30°， .PA2=√3A1A2=12√3. 6.B7.128.D9.A10.C11.B12.72 13.714.9,10或18 15.解：如答图，设M是BC与⊙O的切点，连接OC,OM. ⊙O是正三角形ABC的内切圆， .CO平分∠ACB, ∴.∠OCM=30°， ..OC-2OM. 在Rt△OMC中，设OM=r, 则OC=2r, .2+CM=4r, 答图 ∴.3r2=CM BC=6,.CM=3, ∴.3r2=9,∴.r=√3. 连接OG,OD,则∠DOG=90°， .DG=2+2, .DG=√2r=√2X3=√6， 即正方形DEFG的边长为√6. 第60课时《直线与圆的位置关系》单元复习 1.B2.D3.C4.⊙B或⊙C5.45°6.74°7.20 8.解：PD是⊙O的切线，∴.OD⊥DP,即∠ODP=90° ∠ADP=25°， ∴∠ADO=∠ODP-∠ADP=90°-25°=65. OD=OA,∴.∠OAD=∠ADO=65. 根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD=180°一∠OAD= 180°-65°=115°. 9.D 10.(1)证明：如答图，连接OC .OA=OB,CA-CB, .OC⊥AB. 直线AB经过点C, .OC是⊙0的半径. .AB⊥OC, 答图 .直线AB是⊙O的切线， (2)解：.OC⊥AB,.∠OCB=90° ⊙0的半径为4，∴.0C=4. ∠B=30°，∴.∠C0D=90°-∠B=60 易知8瓷-5BC-50c-4v5 S-5m-56m-号X4X45-0-85-g 360 “阴影部分的面积是8尽-8 28数学·九年级·上册（人教版） 第58课时 正 A基础巩固●●。 落实课标 1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,则正五 边形中心角∠COD的度数是 A.76° B.729 C.60° D.36 (第1题图) (第2题图) 2.如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧 AB上，则∠P的度数为 ( A.15° B.30 C.45° D.60° 3.一个正多边形的中心角为45°，这个正多边形 的边数是 ( A.3 B.6 C.8 D.12 4.(2025秋·寒亭区期末)如图，正五边形ABC DE内接于⊙O,连接正五边形的对角线可得 到我们常见的五角星图案，则∠CAD的度数 是 A.30° B.36° C.40° D.45° B能力提升●● 灵活应用 5.(2025秋·满洲里市期末)如图，⊙O是 △ABC的外接圆，若∠ABC=15°，弦AC是 ⊙O内接正多边形的一边，则该正多边形是 A.正二十四边形 B.正十二边形 C.正八边形 D.正六边形 ●>1 多边形与圆(1) 6.(2025秋·柯桥区期末)如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O,连接OB,BD,则∠OBD 的度数是 A.17°B.18° C.19°D.20° 0 C (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.如图，正八边形ABCDEFGH内接于圆O,点 P是GH上的任意一点，则∠CPE的度数为 ( A.30° B.15° C.60° D.45° 8.如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正 六边形ABCDEF的边心距OG的长为 ( ) A.3√3 R C.33 2 D.3 9.已知⊙O的半径为6，则⊙O的内接正方形的 边长为 C拓展应用 深度思考 10.(2025秋·寒亭区期末)如图1，刘徽在《九章 算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多 边形来确定圆周率.如图2，内部多边形为 ⊙O的内接正十二边形，若⊙O的半径为2， 则这个圆内接正十二边形的面积为( 图1 图2 A.1 B.6√5C.12 D.4π 60 第三十章直线与圆的位置关系 11.如图1,2,3，…，n,M,N分别是⊙O的内接正 12.(2025秋·拱墅区月考)如图，在⊙O的内接 三角形ABC、正方形ABCD、正五边形 四边形ABCD中，AB=AD,∠C=120°，点E ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB, 在弧AD上，连接OA,OD,OE,AE,DE. BC上的点，且BM=CN,连接OM,ON. (1)求∠AED的度数； (2)当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接 正n边形的一边，求n的值. 图1 图2 E G B 图3 图n (1)求图1中∠MON的度数； (2)图2中∠MON的度数是 ,图3 中∠MON的度数是 (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n 的关系（直接写出答案）. ●>1510