4.1 投影 新知复习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

4.1 投影 新知复习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 3．在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（   ） A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④ 4．如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 5．某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 6．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 二、填空题 9．_____光线与投影面_____的投影称为正投影．物体的不同摆放角度形成不同的正投影 10．夜晚，小刚在某一路灯下的影子越长，说明他与路灯的距离越_____（填“远”或“近”） 11．阳光照射小树在地面上形成的投影属于______投影（填“平行”或“中心”）． 12．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为____________（取）． 13．如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，现测得，，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是________． 三、解答题 14．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影． 15．数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 16．如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 17．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 18．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B D B C D 1．【答案】B 【知识点】正投影 【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案． 【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 3．【答案】C 【知识点】平行投影 【分析】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系． 不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点和规律可知，④，③是上午，①，②是下午， 根据影子的长度可知先后为④③①②， 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】函数图象识别、中心投影 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出y随x的变化规律是解决问题的关键．根据中心投影的性质得出小颖在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象． 【详解】解：∵小路的正中间有一路灯，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系为：y随x的增大而减小， ∴用图象刻画出来应为B． 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】正投影 【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、平行投影 【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影、坐标与图形综合 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．利用中心投影，过点作于点交于点，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点交于点， 根据题意得：， ， ， ， ． ，，， ， ，即， 解得：． 故选：C． 8．【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、平行投影 【分析】根据平行投影的性质，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别求出光线沿射线、方向射入时，投影的边长，即可得答案． 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 9．【答案】 平行 垂直 【知识点】正投影 【解析】略 10．【答案】远 【知识点】中心投影 【分析】本题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和小刚的顶端并延长交平面于一点，这点到小刚的底端的距离就是小刚的影长，画出相应图形，比较即可． 【详解】解：如图所示： 由图得，它的影子越长，那么离路灯越远， 故答案为：远． 11．【答案】平行 【知识点】平行投影、中心投影 【分析】本题主要考查了平行投影，阳光来自太阳，由于太阳距离地球很远，光线可视为平行光，因此形成的投影属于平行投影． 【详解】解：根据投影的定义，平行投影是指互相平行的光线形成的投影，而中心投影是指光线从一点发出形成的投影，阳光是平行光，因此小树在地面上的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 12．【答案】 【知识点】平行投影 【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解． 13．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题意可求出与的比，证明得到，再由三角尺与其在墙上形成的影子相似，结合相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 如图所示，由中心投影的性质可得， ∴， ∴， ∵三角尺与其在墙上形成的影子相似， ∴这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 14．【答案】 从正面正投影依次为： 从上面正投影依次为： 【知识点】正投影 【分析】根据投影的概念逐个求解即可. 【详解】略 【点睛】本题主要考查投影视图，解决本题的关键是要熟练掌握正投影的定义. 15．【答案】该古塔的高度为 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 16．【答案】(1) 中心投影． 理由：如图所示，光线相交于点O，所以此光源下形成的投影是中心投影． (2) 如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子． 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与，连接、并延长交于点，据此判断即可； （2）连接并延长交直线于，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【知识点】相似三角形实际应用、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、平行投影、尺规作一个角等于已知角、中心投影 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 18．【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【知识点】相似三角形实际应用、视点、视角和盲区 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $