第20章·二次根式·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第20章·二次根式·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能说出二次根式的概念，会判断二次根式有意义的条件并求字母取值范围 · 能运用二次根式的性质=|a|进行化简与求值 · 能熟练进行二次根式的乘除、加减及混合运算，会分母有理化 · 能识别最简二次根式与同类二次根式并进行相关参数求解 · 能运用二次根式解决勾股、数轴、几何图形等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的概念与有意义条件 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，「√」称为二次根号 二次根式有意义的条件：被开方数a≥0；若同时含分母，则分母不为0 当x满足 x-1≥0 时， 在实数范围内有意义 概念辨析例题：若式子 + 在实数范围内有意义，求x的取值范围。 答案：x≥2 且 x≠3。 解析：二次根式被开方数须非负：x-2≥0 得 x≥2；分式分母不为0：x-3≠0 得 x≠3。取交集得 x≥2 且 x≠3。 ☆ 2.二次根式的性质 (=a（a≥0） =|a|=a（a≥0），-a（a<0） ≥0（a≥0），即二次根式具有双重非负性 概念辨析例题：实数a在数轴上的位置如图所示（a<0），化简 + |a-1|。 答案：1-2a。 解析：由a<0得 =|a|=-a；又a<0<1，故a-1<0，|a-1|=1-a。原式=-a+1-a=1-2a。 ☆ 3.二次根式的乘除运算 乘法：=（a≥0，b≥0） 除法：=（a≥0，b>0） 运算结果需化为最简二次根式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 概念辨析例题：计算 × ÷ 。 答案：6。 解析：原式=÷==6÷=6。 ☆ 4.二次根式的加减与混合运算 同类二次根式：化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式 加减：先化最简，再合并同类二次根式（类似合并同类项） 混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号；可运用运算律与乘法公式 概念辨析例题：计算 ( + - 。 答案：1+。 解析：前半用平方差公式：(=3-2=1；=2，=，合并得 2=。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式 形如（a≥0） 被开方数必须非负 双重非负性 ≥0 且 a≥0 常见隐含条件 性质 =|a| 先定符号再去根号 最简二次根式 被开方数不含开得尽方因数 运算结果必须化简 同类二次根式 最简后被开方数相同 先化最简再判断 分母有理化 分子分母同乘恰当因式 结果分母不含根号 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的有关概念（第1-5题） · 判断有意义条件：被开方数≥0，同时注意分母≠0、零指数幂底数≠0 · 最简二次根式两标准：不含分母、不含能开得尽方的因数（式） · 同类二次根式：先全部化最简，再比较被开方数是否相同 · 求参数：根据「同类」「最简」列方程求解，注意检验 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【知识点】同类二次根式 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为____________． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）x是怎样的实数时，？ 【答案】当时，等式成立． 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】二次根式的乘法法则成立的前提是两个二次根式的被开方数均为非负数，即且，因此根据二次根式的非负性列不等式组求解未知数的取值范围即可． 【详解】解：由题意得， 解得． ∴当时，． 【考点2】二次根式的性质与化简（第6-12题） · 牢记 =|a|，先判断a的符号再去绝对值 · 结合数轴：先由点的位置判断绝对值内式子的正负 · 含字母化简时注意分类讨论 a≥0 与 a<0 · 多重根号从内向外逐层化简 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】此题考查二次根式的计算，根据二次根式的乘法，二次根式的性质分别计算、化简，再判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.与无意义，故此项不正确； B.不相等，故此项不正确； C.，相等，故此项正确； D.，不相等，故此项不正确； 故选：C． 7．（25-26八年级下·山东滨州·期末）若，则对下列各式：，，，，，其中运算结果等于的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简 【分析】已知，根据二次根式、立方根、绝对值的性质，逐个化简每个式子，统计结果等于的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ①化简，根据二次根式性质，得， ②化简，得，∵，∴，即， ③化简，根据立方根性质，得， ④化简，∵，∴，∴， ⑤化简，根据立方根性质，得， 综上，个式子的运算结果都等于，因此结果等于的个数为． 8．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】根据数轴判断出，再根据，当时，，当时，来化简即可． 【详解】解：根据数轴可知：, ． 9．（12.1二次根式（2）八年级数学下册苏教版）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式性质求解即可，熟练运用二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 10．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、无理数的大小估算、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】先根据无理数比较大小的原则判断与的大小，由此化简绝对值，再由二次根式的乘法以及加减法运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，则， ∴ ． 12．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】根据数轴上各点的位置有：，，再利用绝对值的意义和二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴ ． 【考点3】二次根式的乘除运算（第13-22题） · 乘除公式可逆向用于化简与比较大小 · 带系数根式：系数相乘除、被开方数相乘除 · 运算后务必化到最简二次根式 · 几何背景题中用勾股定理求线段长后再化简 13．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算，正确计算二次根式的乘法、掌握估算的方法是解题的关键； 先计算二次根式的乘法，再估算得到的结果，即可求出答案. 【详解】解：， ∵，， ∴， ∵（a，b为连续整数）， ∴， 故选：C. 14．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的乘法 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 15．（2024·广东江门·一模）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、二次根式的乘法 【分析】本题考查七巧板，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由正方形的面积求出，由等腰直角三角形的性质得到，又由图形可得，即可求出阴影的面积，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积， ∴， ∵是等腰直角 三角形， ∴， 由条件和图形得，， ∴阴影的面积， 故选：． 16．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、二次根式的乘法、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 17．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）化简的结果为_______． 【答案】/ 【知识点】积的乘方的逆用、二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；根据二次根式的运算及积的乘方的逆用进行求解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 18．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，，，，，则______． 【答案】/45度 【知识点】等边对等角、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ，， ∵，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为_______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【知识点】利用平方根解方程、二次根式的乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 22．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先运用乘法分配律计算，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先运用平方差公式、完全平方公式计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点4】二次根式的加减运算（第23-28题） · 先把各根式化最简，再合并同类二次根式 · 非同类二次根式不能合并，照抄保留 · 估算无理数大小：找相邻完全平方数夹逼 · 与数轴结合时先定符号再运算 23．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和计算，无理数的估值，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和计算法则． 先对二次根式进行化简计算，再对无理数进行估值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在5和6之间， 故选：B． 25．（25-26八年级下·广西玉林·期末）计算的结果是（     ） A．0 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】先利用二次根式乘法法则计算乘法，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 26．（2022·江苏扬州·模拟预测）计算： ____________________ ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【详解】解： ． 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求得它的近似值为________．（精确到0.01， ，） 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简、然后再合并同类项，最后将相关数据代入计算，最后去近似数即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5) 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简各二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （4）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （5）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 【考点5】二次根式的混合运算与化简求值（第29-42题） · 运算顺序同有理数，善用平方差、完全平方公式 · 分母有理化：乘共轭因式或最简因式 · 已知字母值求代数式：先化简再代入，避免直接代入大数 · 整数部分与小数部分：设 a= 的整数部分为m，则小数部分为 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简方法，及二次根式的乘法法则，加减运算法则进行求解即可． 【详解】解：∵ , , , , ∴ 括号内为 , ∴ 原式  . 故选：A． 30．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若为正有理数，则有，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论：（    ） ①； ②若（其中为有理数）则； ③若，则； ④； 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：① ，故该结论正确； ②根据题意，可得 ， 则有，解得， 所以，可有，故该结论正确； ③若， 因为 ， 所以，故该结论正确； ④因为 ，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有4个． 故选：D． 31．（24-25九年级上·重庆·期中）估计的值应在（） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴估计的值在9和10之间， 故选：D． 32．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算：______． 【答案】45 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 33．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测） ______． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】先计算算术平方根与绝对值，最后进行实数的加减运算． 【详解】解： ． 34．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则______． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 35．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的面积为，，则的长为__________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算 【分析】菱形对角线互相垂直且互相平分，菱形面积等于对角线乘积的一半，先求出长度，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，． 菱形的面积为， ，即， ， ， 在中，由勾股定理：． 36．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2)已知，，求下列各式的值： ①；② 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及求代数的值，熟练掌握二次根式的运算法则以及公式法因式分解是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则，先化简各二次根式，再进行二次根式乘法计算后合并即可， （2）①根据已知条件求得，根据 代入数据即可求解． ②直接代入数据，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）① ② 37．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 【答案】(1) (2)；长方形周长大 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． （1）根据长方形的周长列式，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先求长方形的面积，可求得与长方形等面积的正方形的面积，即得该正方形的边长，再计算该正方形的周长，即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 长方形的周长为； （2）解：长方形的面积为， 与长方形等面积的正方形的面积为12， 与长方形等面积的正方形的边长为， 与长方形等面积的正方形的周长为， ， 长方形周长大． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）先求出，，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）将先通分，再整体代入，计算即可得出结果； （3）直接代入、的值计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴； （3）解：． 39．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】先将、进行分母有理化，再求出、的值，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 40．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮， (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的性质，整式的混合运算，掌握以上知识是关键． （1）根据二次根式的性质判定即可； （2）运用完全平方公式，根据二次根式的性质化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 二次根式的性质， 故答案为：小亮；； （2）解： ∵， ∴， ∴原式 ． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）设a是的小数部分，求的值． 【答案】的值为． 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的混合运算 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，因此首先确定的整数部分，从而得到a的值，然后将a的值代入到代数式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴． ∴ ． 42．（25-26八年级上·广东茂名·期中）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)2024 (3)10 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 【考点6】二次根式的综合应用（第43-52题） · 几何综合：先由勾股定理或全等求出含根式的线段 · 坐标背景：两点距离公式 d= · 比较根式大小：可平方后比较或作差 · 实际应用注意结果取最简并检验实际意义 43．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质与判定求线段长、全等三角形的性质、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 44．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（   ） A．，2 B．， C．1，2 D．1， 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】利用正方形的性质和勾股定理，求出，从而得到点、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：为正方形的对角线，且， ，， ， ， ，， 将点，代入得， ，解得：． 45．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）比较大小：___________（选填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 【答案】 5或11 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）先求出的长，再求出的长，最后根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上和点P在的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 47．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为______．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 48．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标、化为最简二次根式、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，两点距离计算公式，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则，则，，进而可得当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则， 由平移的性质可得， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 49．（21-22八年级下·云南昆明·期中）如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】连接，则可得，那么，故当点共线时，取得最小值，为，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是正方形 ∴垂直平分， ∴ ∴ 当点共线时，取得最小值，为 ∵M为中点， ∴ ∴． 50．（26-27九年级上·全国·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1)10 (2) (3) (4)9 (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （2）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （3）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （4）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （5）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （6）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （7）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （8）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （9）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （10）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解：； （9）解：； （10）解：． 51．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，且．求的面积． 【答案】的面积为 【知识点】化为最简二次根式、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，即可得出四边形是矩形，利用勾股定理求出的长，利用矩形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵的对角线，相交于点O， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴的面积为． 52．（25-26九年级上·全国·阶段检测）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 先过一遍概念与性质，重点默写 =|a| · 整理乘除、加减公式各做3道基础题 · 混合运算限时训练，坚持每题化到最简 · 把数轴与绝对值结合的易错题集中重做 · 考前回顾分母有理化与整数部分估算两类题型 【作业1】．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段检测）有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】实数的性质、同类二次根式、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，算术平方根，同类二次根式，绝对值，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：的平方根是；故①错误； 表示6的算术平方根的相反数；故②正确； 是的平方根；故③正确； 与是同类二次根式；故④正确； 的绝对值是；故⑤正确； 故选C． 【作业2】．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 【作业3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 【作业4】．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，的化简结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵， ∴，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴原式. 【作业5】．（25-26八年级下·河北保定·期末）若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的（     ）段． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴、二次根式的加减运算 【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段即可． 【详解】解：∵， ， ， 表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段， 【作业6】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知为实数，且满足，则___________． 【答案】2 【知识点】二次根式有意义的条件、通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查因式分解的应用，偶次方及二次根式的非负性，已知字母的值求代数式的值，将方程变形后，利用完全平方公式和算术平方根的非负性，得到 和 的值，再计算 ． 【详解】由 ， 移项得 ，即 ， 由于 和 ， 所以 和 ， 解得 和 ， 因此 ， 故答案为：2． 【作业7】．（2025八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 【答案】④ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 【作业8】．（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 【答案】10 【知识点】无理数整数部分的有关计算、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，解题的关键是求出a、b的值． 化简，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，又， ， ，， ． 故答案为：10． 【作业9】．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 【作业10】．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：且且， 解得：且且， 即且． 故答案为：且． 【作业11】．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= __________． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【作业12】．（20-21八年级下·广东汕头·阶段检测）当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 【作业13】．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【答案】(1)1 (2)5 (3)12 【知识点】二次根式的应用、已知式子的值，求代数式的值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、算术平方根的应用等知识点，理解阅读材料并掌握整体思想和倒数变形整体代入是解题的关键． （1）由题意可得，然后代入所求代数式式中可求值即可； （2）将代入代数式进行变形求值即可可； （3）设此长方形的边长为a，b，则、，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 故答案为：1． （2）解：∵，且 ∴ ． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则 ∵， ∴，即， ∴， ∴该矩形的周长的最小值为12． 【作业14】．（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)． (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】负整数指数幂、二次根式的加减运算、零指数幂、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，化简绝对值，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先化简算术平方根，然后按照加减运算即可求解； （2）先计算乘方，再化简算术平方根，然后按照加减运算即可求解； （3）先计算零指数幂，负整数幂并化简绝对值，然后再按照加减运算即可求解； （4）先化简算术平方根并用平方差公式进行计算，然后即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【作业15】．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的混合运算，根据夹逼法得到a，b的值，代入求解即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 【作业16】．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）化简求值： (1)，其中； (2)已知，，求的值； 【答案】(1)化简结果为，值为 (2) 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】（1）先对分式进行化简，然后再代值求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而代入进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； ∵， ∴原式； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【作业17】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可； （2）先计算括号里的减法，再计算二次根式的除法即可； （3）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算，最后计算加减即可； （4）先分母有理化，再计算加减即可； （5）结合乘法分配律根据二次根式的乘法计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【作业18】．（22-23八年级上·全国·期中）（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简：． （2）已知和互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）1；（2） 【知识点】求一个数的平方根、构造二元一次方程组求解、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数轴、利用二次根式的性质进行化简、绝对值的非负性、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴可得，从而可得，，再结合绝对值的意义和二次根式的性质化简即可得解； （2）由相反数的定义结合非负数的性质计算得出，，代入求出的值，最后再由平方根的定义即可得解． 【详解】解：（1）由数轴可得：， ∴，， ∴； （2）∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章·二次根式·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能说出二次根式的概念，会判断二次根式有意义的条件并求字母取值范围 · 能运用二次根式的性质=|a|进行化简与求值 · 能熟练进行二次根式的乘除、加减及混合运算，会分母有理化 · 能识别最简二次根式与同类二次根式并进行相关参数求解 · 能运用二次根式解决勾股、数轴、几何图形等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的概念与有意义条件 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，「√」称为二次根号 二次根式有意义的条件：被开方数a≥0；若同时含分母，则分母不为0 当x满足 x-1≥0 时， 在实数范围内有意义 概念辨析例题：若式子 + 在实数范围内有意义，求x的取值范围。 答案：x≥2 且 x≠3。 解析：二次根式被开方数须非负：x-2≥0 得 x≥2；分式分母不为0：x-3≠0 得 x≠3。取交集得 x≥2 且 x≠3。 ☆ 2.二次根式的性质 (=a（a≥0） =|a|=a（a≥0），-a（a<0） ≥0（a≥0），即二次根式具有双重非负性 概念辨析例题：实数a在数轴上的位置如图所示（a<0），化简 + |a-1|。 答案：1-2a。 解析：由a<0得 =|a|=-a；又a<0<1，故a-1<0，|a-1|=1-a。原式=-a+1-a=1-2a。 ☆ 3.二次根式的乘除运算 乘法：=（a≥0，b≥0） 除法：=（a≥0，b>0） 运算结果需化为最简二次根式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 概念辨析例题：计算 × ÷ 。 答案：6。 解析：原式=÷==6÷=6。 ☆ 4.二次根式的加减与混合运算 同类二次根式：化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式 加减：先化最简，再合并同类二次根式（类似合并同类项） 混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号；可运用运算律与乘法公式 概念辨析例题：计算 ( + - 。 答案：1+。 解析：前半用平方差公式：(=3-2=1；=2，=，合并得 2=。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式 形如（a≥0） 被开方数必须非负 双重非负性 ≥0 且 a≥0 常见隐含条件 性质 =|a| 先定符号再去根号 最简二次根式 被开方数不含开得尽方因数 运算结果必须化简 同类二次根式 最简后被开方数相同 先化最简再判断 分母有理化 分子分母同乘恰当因式 结果分母不含根号 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的有关概念（第1-5题） · 判断有意义条件：被开方数≥0，同时注意分母≠0、零指数幂底数≠0 · 最简二次根式两标准：不含分母、不含能开得尽方的因数（式） · 同类二次根式：先全部化最简，再比较被开方数是否相同 · 求参数：根据「同类」「最简」列方程求解，注意检验 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为____________． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）x是怎样的实数时，？ 【考点2】二次根式的性质与化简（第6-12题） · 牢记 =|a|，先判断a的符号再去绝对值 · 结合数轴：先由点的位置判断绝对值内式子的正负 · 含字母化简时注意分类讨论 a≥0 与 a<0 · 多重根号从内向外逐层化简 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东滨州·期末）若，则对下列各式：，，，，，其中运算结果等于的个数为（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（     ） A． B． C． D． 9．（12.1二次根式（2）八年级数学下册苏教版）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是________． 12．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【考点3】二次根式的乘除运算（第13-22题） · 乘除公式可逆向用于化简与比较大小 · 带系数根式：系数相乘除、被开方数相乘除 · 运算后务必化到最简二次根式 · 几何背景题中用勾股定理求线段长后再化简 13．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 14．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广东江门·一模）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）化简的结果为_______． 18．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，，，，，则______． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为_______． 20．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 21．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 22．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）计算： (1) (2)． 【考点4】二次根式的加减运算（第23-28题） · 先把各根式化最简，再合并同类二次根式 · 非同类二次根式不能合并，照抄保留 · 估算无理数大小：找相邻完全平方数夹逼 · 与数轴结合时先定符号再运算 23．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 25．（25-26八年级下·广西玉林·期末）计算的结果是（     ） A．0 B． C．5 D． 26．（2022·江苏扬州·模拟预测）计算： ____________________ ． 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求得它的近似值为________．（精确到0.01， ，） 28．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点5】二次根式的混合运算与化简求值（第29-42题） · 运算顺序同有理数，善用平方差、完全平方公式 · 分母有理化：乘共轭因式或最简因式 · 已知字母值求代数式：先化简再代入，避免直接代入大数 · 整数部分与小数部分：设 a= 的整数部分为m，则小数部分为 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．6 30．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若为正有理数，则有，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论：（    ） ①； ②若（其中为有理数）则； ③若，则； ④； 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（24-25九年级上·重庆·期中）估计的值应在（） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 32．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算：______． 33．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测） ______． 34．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则______． 35．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的面积为，，则的长为__________． 36．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2)已知，，求下列各式的值： ①；② 37．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长，宽． (1)求长方形的周长； (2)求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 39．（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求的值． 40．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________． (2)先化简，再求值：，其中． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）设a是的小数部分，求的值． 42．（25-26八年级上·广东茂名·期中）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； (3)已知，求的值． 【考点6】二次根式的综合应用（第43-52题） · 几何综合：先由勾股定理或全等求出含根式的线段 · 坐标背景：两点距离公式 d= · 比较根式大小：可平方后比较或作差 · 实际应用注意结果取最简并检验实际意义 43．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 44．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（   ） A．，2 B．， C．1，2 D．1， 45．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）比较大小：___________（选填“”“”或“”）． 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 47．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为______．（结果保留根号） 48．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为______． 49．（21-22八年级下·云南昆明·期中）如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 50．（26-27九年级上·全国·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 51．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，且．求的面积． 52．（25-26九年级上·全国·阶段检测）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 先过一遍概念与性质，重点默写 =|a| · 整理乘除、加减公式各做3道基础题 · 混合运算限时训练，坚持每题化到最简 · 把数轴与绝对值结合的易错题集中重做 · 考前回顾分母有理化与整数部分估算两类题型 【作业1】．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段检测）有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业2】．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【作业4】．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，的化简结果是（     ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级下·河北保定·期末）若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的（     ）段． A．① B．② C．③ D．④ 【作业6】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知为实数，且满足，则___________． 【作业7】．（2025八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 【作业8】．（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 【作业9】．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 【作业10】．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【作业11】．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= __________． 【作业12】．（20-21八年级下·广东汕头·阶段检测）当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【作业13】．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【作业14】．（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)． (4)； 【作业15】．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【作业16】．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）化简求值： (1)，其中； (2)已知，，求的值； 【作业17】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【作业18】．（22-23八年级上·全国·期中）（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简：． （2）已知和互为相反数，求的平方根． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $