江苏高邮市2026-2027学年度第一学期高三10月学情调研测试数学试题

2026－2027学年度第一学期高三10月学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设，，为实数，且，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线的倾斜角等于 A．45° B．60° C．135° D．120° 4．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，且终边经过点，则 A． B． C． D． 6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．设函数的图象关于直线对称，则 A． B． C． D． 8．“，”是假命题，则实数的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则 A． B． C． D． 10．若，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是 A．存在，使得是偶函数 B． C．是的整数倍 D．的最大值是6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数是偶函数，则__________． 13．若在区间上是增函数，则的最大值是__________． 14．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，． （1）求； （2）求． 16．（15分） 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，，． 17．（15分） 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥． （1）求与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值． 18．（17分） 已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03． （1）从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； （2）从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，，求的期望； （3）甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1个月开始，第个月的次品率（单位：%）如表： x 1 2 3 4 5 y 5.8 5.4 4.8 4.5 4.0 根据上表数据求得关于的回归直线方程为，求相关系数，并判断该回归直线方程是否有价值． 附：，，，． 若，则认为回归直线方程有价值． 19．（17分） 已知函数的最小正周期为． （1）求在点处的切线方程； （2）函数在上有两个极值点，求锐角的取值范围； （3）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 2026.10.13 一、单选题： 1.A 2.D 3.C 4.A 5.c 6.D 7.B 8.C 二、多选题： 9.ACD 10.AC 11.BC 三、填空题： 5 12.-3v5 13.3 14.（-oo,3e] 四、解答题： 12 sina <a<n 15.(1)因为 13,2 12)2 所以 cosa=-v1-sin'a=-11-13) …3分 cos a-T 所以（ 4 -cosacos+sinasin5x212 4 413213226 ,…6分 0<B<<a<元<a+B<3 (2)因 2 ,所以2 , sina+p)=5,所以 3 cos(a+B)=-1-sin'(a+B)=- 又因 …8分 法：白)数na=背，ccsa= 12 5 13， .-cosa sin 元12V25V217√2 sina cos- -X 所以 413213226 .…11分 cos a- 72 元 π3π 4 <C<π -<a- 【或：由(1) 26,又因为2 ，所以4 44,所以 72 17√2 26 】… …11分 noar-ma+-e--coe+的me-引sma*aa-哥 =-4x72+3x17V2232 526526 130. ………13分 sina=12 Cosa=-5 法二：由(1)知 13 Γ13. 血=na+-因=a+Dea+sna号}-(》吕-君 33 56 又因为 65 11分 【政.osA=ose+m-al=su+csa+snla+小ma-（}( 3、1256 5×1365 65 又因为 …11分 ma引oma号-总君些- ，…13分 -cosxsin + 16. sin xcos 6 =23sinxcosx-2cos2x+1=3 sin 2x-cos2x=2sin 2 …4分 (1)所以()的最小正周期 21-T T 2 …6分 &=f-}-2m2-}--2mx引 …8分 购品2-[8]m到a …11分 所以8(xmin=-l,g(x)ma=2 所以,22 1g(x)-g(≤2-(-)=3 …15分 17.法一： (1)取AC的中点O,连接OD,OB. 因为ABCD为正方形，所以OD L AC,OB⊥AC, 又因为平面DAC⊥平面ABC,平面DAC∩平面ABC=AC,ODC平面DAC, 所以OD⊥平面ABC, …3分 以O为原点，以OB,OC,OD方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 因为正方形的边长为V2,所以AC=2,则A(0,-1,0),B(L1,0,0),C(01,0),D0,0,1), 所以AB=(11,0),CD=(0,-1,1) …5分 AB.CD -1 1 cos(AB,CD)= 4BICDI2x2 …7分 1 所以AB与CD所成角的余弦值为2.… …8分 (2)AB=1,1,0),BD=(-1,0,1),CD=0,-1,) 设平面ADB的一个法向量i=(:,片，)，平面CBD的一个法向量”=(：，乃，2)】 x+y=0 -y2+22=0 则(-x+名，=0 -x+名3=0，即=-%=石，=4=2. 取m=(（,-1,0,n=（,11), …12分 m…n1 cos(m,n） …14分 由图可知，二面角A-DB-C的平面角为钝角， 1 所以二面角A-DB-C的余弦值为3 …15分 法二： (1)取AC中点O,连接OD,OB 因为ABCD为正方形，所以OD⊥AC,OB⊥AC, 又因为平面DAC⊥平面ABC,平面DAC∩平面ABC=AC,ODC平面DAC, 所以OD⊥平面ABC.. …3分 分别取AD、BC的中点M、N,连接OM,ON,MW, 则OMIICD,ON/AB,所以∠MON为AB与CD所成角或其补角.…5分 因为CD=AB=V2,所以 OM =ON=2 2， 取AO中点P,连接PM,PN,则 因为NPC平面ABC,所以OD⊥NP,则PM⊥NP. △PCN中，由余弦定理得： PN2=CP2+CN2-2CP.CN.cos /PCN= -2×2X2 2x32 0s45°=5 4 PN=V5 MN=PM+PNE= 所以2，所以 2 COS LMON OM'+ON:-MN:1 △MON中： 20M.ON 2 …7分 1 所以AB与CD所成角的余弦值为2.… …8分 【也可取BD中点O,求∠MQNj (2)取BD中点O,连接AQ,CQ, 由(1)可得BD=V2,所以△ABD,△CBD均为等边三角形， 所以401BD,C0⊥BD,所以∠A0C为二面角A-DB-C的平面角.12分 △40ct:40=c0=6s∠40c-40+cg-4c.1 2, 240.CO 3 …14分 1 所以二面角A-DB-C的余弦值为3.15分 18.(1)设“从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”为事件A, “从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是甲工厂生产的”为事件B,则 PA0=2×0.06+5×0.03=0.05P4B)=2x0.06=0.04 2 3 3 …3分 P(B4)=P(AB)0.04 P(A)0.05 =0.8 所以 答：该零部件是甲工厂生产的概率为0.8；… …5分 (2)法一： 由(1)知：X～B(3,0.95),Y~B(3,0.05)， …7分 因为X+Y=3,所以5=X-(3-X)=2X-3,所以E(5)=2E(X)-3=2×3×0.95-3=2.7 【或：所以5=(6-Y)-Y=3-2Y,所以E(5)=3-2E(Y)=3-2×3×0.05=2.71 答：5的期望为2.7： 11分 法二： “从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”的概率为p=0.05 由题意5可取：3,1,1,3，且P(5=3)=1-p)°，P(5=)=C1-p)}'p=31-p)2p. P(5=-)=C1-p)p2=31-p)p2,P(5=-3)=p, …7分 E(5)=31-p)3+31-p)2p-31-p)p2-3p3=3(1-2p)=2.7. 答：5的期望为2.7；… …11分 法三： “从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”的概率为P=0.05, 由题意5可取：3,1,1,3， 且P(5=3)=(1-p)3=0.95,P(5=)=C1-p)}2p=31-p)2p=3×0.952×0.05 P(5=-1)=C1-p)p2=31-p)p2=3×0.95×0.052 P(5=-3)=p3=0.053 7分 E(5)=3×0.95°+3×0.952×0.05-3×0.95×0.052-3×0.053=2.7 答：5的期望为2.7： …11分 6240g- =-0.45 x-对 =1+2+3+4+5=3 (3)由题： ,又因为 5 (飞-x}=1-3}+(2-3)2+3-3}2+(4-3)2+5-3y2=10 所以间 …13分 2(x-x)0y-列=-0.45×10=4.5 所以 gs②-可-i0316 2-143 2(x-)0y-) -4.5 ≈0.996 3.16×1.43 所以 ②-列②-列 ……15分 因为r0.996>0.75,所以该回归直线方程有价值.… …17分 f(x)=sin2@x 19.(1) 2 +o2am2a=2ax+引 T=2元=元 因为20，所以0=1，所 f(x)=sin2x+） 3 …2分 =22+引.0，-9 所以，切线方程为： 2:5分 (2)法一： =fu+0=m[2+p+引-2x+2o+引 2x42+2p+22 2+ 所以 2p+2元∈(2元，3m) 2π3π 5π 5π 20+ 2p+2π> 所以 32 2,即：40< 12, π5π 所以，锐角P的取值范围为4'12) 10分 π5π 7π 13π 法二：因为y=()在(6'6上有一个极值点12，区间右侧最近的一个极值点为12. 0<p< 因 2,所以y=f(x+)图像可由y=)图像向左平移P个单位，要使区间内有两个极值点， 13π5π 7ππ .5π 则至少向左平移126)个单位，至多平移126)，所以4 12 g(x)=ax2-x+f(x)=ax2-x+sin2x+ 0. (3)因为 3在 2」上单调递减， 所以 11分 2 2 =πa-2≤0a≤ 则 ,得 …12分 4 2a≤xg四sx+2c0s2x+g 由π，x之0，可得π，于是 设 下面证明h()≤0恒成立. 求导得 元π 因为正弦函数在3’2上单调递增，所以 y=sin /0 2x+3在上12上单擅 0. 故h()在”12上单调递减，则 x)≤h0)=4-25<0 元 所以)在12上单调递减，则h(x)≤h(O)=0, …14分 π 2x π∈π，4π ②当12 2)时 323, π4π + y=sin 2x+ [元T 因为正弦函数在23]上单调递减，所以 、3在12’2上单调递减， ππ =4-4<0n 故h(,在122上单调递增，因为”(2元 4>0 元 ππ 所以存在唯一 123 使得(o)=0,结合()的单调性， 可得当x∈[0，x)时，h()<0,h)单调递减； π 当2时. h(x)>0,h(w)单调递增. / 又因0)=0.2 =2+2c0 4π-1=2-1-1=0 3 所以h(）mx=0.…16分 故 g'(x)≤h(x)≤0 综上，a的取值范围为 ……17分