专题01 锐角三角函数的定义和性质（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题01 锐角三角函数的定义和性质 题型一 三角函数的定义 题型二 特殊角度的三角函数 题型三 锐角三角函数的性质 题型一：三角函数的定义 1.【答案】A 【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3， ∴∠A的正切值为 =3， 故答案为：A． 2.【答案】D 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，可得出∠B＝90°-∠A，a= c，b=cosAc，tanB= 分别求出结论，然后判断即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10， 所以，∠B＝90°-∠A＝90°-30°=60°， a= c=5，b=cosAc=5 ，tanB= = . 所以，选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意. 故答案为：D 3.【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴tanA=， ∵AC=4，tanA=， ∴BC=AC•tanA=2， ∴AB===2． 故选C． 4.【答案】A 【分析】在Rt△ABC中，BA=2AC,可得∠ABC=30°，∠BAC=60°，设BD=BA=2x，从而可得AC=x，BC= x，由DC=DB+BC求出CD的长，由tan∠DAC= 即可求出结论. 【详解】解：在Rt△ABC中，BA=2AC， ∴∠ABC=30°，∠BAC=60°， ∵设BD=BA=2x， ∴AC=x，BC= x， ∴DC=DB+BC=2x+ x， 则tan∠DAC= . 故答案为：A. 5.【答案】B 【分析】连接BC，借助方格纸的特点，利用勾股定理算出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为等腰直角三角形，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故答案为：B． 6.【答案】A 【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE= BC= AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴ = ， ∴EF= AF， ∴EF= AE， ∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF= =2 x， ∴tan∠BDE= = = ； 故选：A． 7.【答案】 【详解】∵3a＝b，∴＝； 令a＝k，则b＝3k；c＝＝2k． ∴sinA＝＝， 故答案为：. 8.【答案】（12，0） 【分析】在Rt△OB′C中，tan∠OB′C==，从而求出OB′=12，继而求出点B'的坐标. 【详解】解：在Rt△OB′C中，tan∠OB′C= ， ∴ = ，即 = ， 解得，OB′=12， 则点B′点的坐标为（12，0）， 故答案为：（12，0）． 9.【答案】 【分析】根据同角的余角相等可得∠DCB=∠A，从而可得，由即可求出结论. 【详解】解： ， ， , ， ， 故答案为： . 10.【答案】2 【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ，又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ，从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2，根据对顶角相等从而得出答案. 【详解】解：连接BE交CF于点G（如图）， ∵四边形BCEF是边长为1的正方形， ∴BE=CF= ，BE⊥CF， ∴BG=EG=CG=FG= ， 又∵BF∥AC， ∴△BFO∽△ACO， ∴ ， ∴CO=3FO， ∴FO=OG= CG= ， 在Rt△BGO中， ∴tan∠BOG= =2， 又∵∠AOD=∠BOG， ∴tan∠AOD=2. 故答案为：2. 11.【答案】8 【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC=10，在Rt△BCD中，由tan∠DBC= ，可求出CD的长，由AD=AC-CD即可求出结论. 【详解】解：如图， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴BC=AC=10， 在Rt△BCD中，∵tan∠DBC= ， ∴CD= ×10=2， ∴AD=AC-CD=10-2=8． 12.【答案】 ， ， 【分析】在Rt△ABC中，由tanB= 【详解】解：∵tanB= 设： ，则 ，即 综上： ， ， 题型二：特殊角度的三角函数 1.【答案】B 【分析】熟记特殊角的三角函数值。 【详解】根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1， 故选B． 2.【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠A=45°，sinA=． 故选B． 3.【答案】A 【详解】直接根据特殊角的三角函数值得∠A=30°. 故选A. 4.【答案】C 【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。 【详解】（ ）﹣1+tan30°•sin60° =2+ =2+ = ， 故答案为：C． 5.【答案】4 【分析】先算开方、绝对值、代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式，即可解答， 【详解】原式=2 ﹣（2 ﹣2）+2×1 =2 ﹣2 +2+2 =4， 故答案为：4． 6.【答案】0 【分析】先算乘方运算、代入特殊角的三角函数值，再算乘方运算，然后算加减法。 【详解】解：2sin30°+（﹣1）2026﹣（ ）﹣1 =2× +1﹣2 =1 +1﹣2 =0， 故答案为：0． 7. 【答案】﹣7+ 【分析】根据实数的运算法则先算乘方，再算乘除，后算加减，逐步计算；需注意2cos45°=，把化简为2，零指数幂为1，再化简为最简二次根式. 【详解】解：原式=﹣8﹣ +1+2 =﹣7+ ， 故答案为：﹣7+ 8. 【答案】1+ 【分析】根据0指数，特殊锐角三角函数值，化简即可得出答案。 【详解】详解：原式=1+ ． 故答案为：1+ ． 9.【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可. 【详解】解：∵∠α为锐角，sinα= ， ∴∠α=45°， cosα=cos45°= ． 故答案为： . 10.【答案】 【分析】 在Rt△ABC中,由sinB= ，利用特殊角的三角函数值求出∠B的度数，然后求出其正切值即可. 【详解】解：如图所示： ∵∠C=90°，AC= AB， ∴sinB= ， ∴∠B=30°， ∴tan∠ABC= ． 故答案为： ． 11.【答案】2- 【分析】设AB=AC=2x，根据含30°锐角的直角三角形的性质可得CD= AC=x，利用勾股定理可得AD= x，利用BD=AB-AD可得BD=（2- ）x，由tan ∠BCD =tan15°=即可求出结论. 【详解】解：由已知设AB=AC=2x， ∵∠A=30°，CD⊥AB， ∴CD= AC=x， 则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2， ∴AD= x， ∴BD=AB-AD=2x- x=（2- ）x， ∴tan15°= 故答案为：2- ． 12.【答案】-1.5 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、有理数的乘方将原式化简，然后计算即可. 【详解】解：|1﹣ |﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2026 = ﹣1﹣2× +0.5﹣1 =﹣1.5 13.【答案】 +5 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质将原式化简，然后计算即可. 【详解】解：（﹣ ）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣ |+tan45° =4+1+ ﹣1+1 = +5． 14.【答案】6 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及零指数幂的性质将原式化简，然后计算即可. 【详解】解：原式=3+1+2× +2﹣ =4+ +2﹣ =6． 题型三：锐角三角函数的性质 1.【答案】B 【详解】∵为锐角，∴cos＞0， 又∵cos＜，∴0＜cos＜， ∵cos90°＝0，cos45°＝， 根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜＜90°， ∵tan＞0，tan＜，∴0＜tan＜， 又∵tan0°＝0，tan60°＝，∴0°＜＜60°， 综合上述，45°＜＜60°， 故选：B. 2.【答案】D 【详解】根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1． 又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大， ∴sin70°＞sin20°，即sin70°＞cos70°，∴cos70°＜sin70°＜tan70° 故选D． 3.【答案】A 【详解】∵sin2B+cos2B＝1，cosB＝，∴sinB＝＝， 故选：A. 4.【答案】B 【详解】由sin2+cos2＝1，cos＝，得：sin＝＝， ∴tan＝＝2， 故选：B. 5.【答案】C 【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝， ∴可设BC＝5k，AB＝13k， ∴AC＝＝12k， ∴tanB＝＝＝， 故选：C. 6.【答案】 【详解】由∠A+∠B＝90°，sinA＝，得：cosB＝sinA＝， 故答案为：． 7.【答案】－＜m＜ 【详解】∵0＜cos＜1， ∴0＜＜1，解得：－＜m＜， 故答案为：－＜m＜． 8.【答案】20°＜∠A＜30° 【详解】∵ ＜cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°． 故答案为：20°＜∠A＜30°． 9.【答案】 【详解】由tan＝＝知，如果设a＝3x，则b＝4x， 结合a2+b2＝c2得c＝5x． 所以sin＝＝＝，cos＝＝＝， sin+cos＝+＝， 故答案为：． 10．【答案】（1）1；1；1；（2）1；（3）见详解；（4） 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别求出直角三角形两锐角的正弦值，然后代入计算即可； （2）根据（1）中的结论，可猜想sin2A+sin2B=1； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，sinB= ，代入sin2A+sin2B中，可得，利用勾股定理即可求出结论； （4）根据∠A＋∠B＝90°可得sin2A+sin2B=1，据此即可求出结论. 【详解】（1）解：由图可知：sin2A1+sin2B1=（ ）2+（ ）2=1； sin2A2+sin2B2=（ ）2+（ ）2=1； sin2A3+sin2B3=（ ）2+（ ）2=1．（2）观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1． （2）1 （3）解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． ∵sinA= ，sinB= ， ∴sin2A+sin2B= ， ∵∠C=90°， ∴a2+b2=c2， ∴sin2A+sin2B=1 （4）解：∵ ∠A＋∠B＝90° ，∴∠C=90° ∵sin2A+sin2B=1， ∴sinB==. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数的定义和性质 题型一 三角函数的定义 题型二 特殊角度的三角函数 题型三 锐角三角函数的性质 题型一：三角函数的定义 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3， ∴∠A的正切值为 =3， 故答案为：A． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列错误的是（　　） A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 D．tan B＝ 【答案】D 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，可得出∠B＝90°-∠A，a= c，b=cosAc，tanB= 分别求出结论，然后判断即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10， 所以，∠B＝90°-∠A＝90°-30°=60°， a= c=5，b=cosAc=5 ，tanB= = . 所以，选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意. 故答案为：D 3.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则AB的长是（　　） A．2 B．8 C．2 D．4 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴tanA=， ∵AC=4，tanA=， ∴BC=AC•tanA=2， ∴AB===2． 故选C． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（　　） A．2+ B．2 C．3+ D．3 【答案】A 【分析】在Rt△ABC中，BA=2AC,可得∠ABC=30°，∠BAC=60°，设BD=BA=2x，从而可得AC=x，BC= x，由DC=DB+BC求出CD的长，由tan∠DAC= 即可求出结论. 【详解】解：在Rt△ABC中，BA=2AC， ∴∠ABC=30°，∠BAC=60°， ∵设BD=BA=2x， ∴AC=x，BC= x， ∴DC=DB+BC=2x+ x， 则tan∠DAC= . 故答案为：A. 5.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】连接BC，借助方格纸的特点，利用勾股定理算出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为等腰直角三角形，根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故答案为：B． 6.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE= BC= AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴ = ， ∴EF= AF， ∴EF= AE， ∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF= =2 x， ∴tan∠BDE= = = ； 故选：A． 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝________. 【答案】 【详解】∵3a＝b，∴＝； 令a＝k，则b＝3k；c＝＝2k． ∴sinA＝＝， 故答案为：. 8.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C= ．则点B′点的坐标为　 　． 【答案】（12，0） 【分析】在Rt△OB′C中，tan∠OB′C==，从而求出OB′=12，继而求出点B'的坐标. 【详解】解：在Rt△OB′C中，tan∠OB′C= ， ∴ = ，即 = ， 解得，OB′=12， 则点B′点的坐标为（12，0）， 故答案为：（12，0）． 9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为　 　. 【答案】 【分析】根据同角的余角相等可得∠DCB=∠A，从而可得，由即可求出结论. 【详解】解： ， ， , ， ， 故答案为： . 10.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=　 　. 【答案】2 【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ，又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ，从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2，根据对顶角相等从而得出答案. 【详解】解：连接BE交CF于点G（如图）， ∵四边形BCEF是边长为1的正方形， ∴BE=CF= ，BE⊥CF， ∴BG=EG=CG=FG= ， 又∵BF∥AC， ∴△BFO∽△ACO， ∴ ， ∴CO=3FO， ∴FO=OG= CG= ， 在Rt△BGO中， ∴tan∠BOG= =2， 又∵∠AOD=∠BOG， ∴tan∠AOD=2. 故答案为：2. 11.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，D是AC上一点，若tan∠DBC= ，求AD的长． 【答案】8 【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC=10，在Rt△BCD中，由tan∠DBC= ，可求出CD的长，由AD=AC-CD即可求出结论. 【详解】解：如图， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴BC=AC=10， 在Rt△BCD中，∵tan∠DBC= ， ∴CD= ×10=2， ∴AD=AC-CD=10-2=8． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC= ，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长. 【答案】 ， ， 【分析】在Rt△ABC中，由tanB= 【详解】解：∵tanB= 设： ，则 ，即 综上： ， ， 题型二：特殊角度的三角函数 1.tan45°的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】熟记特殊角的三角函数值。 【详解】根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1， 故选B． 2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠A=45°，sinA=． 故选B． 3.已知，则锐角A的度数是 （　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【详解】直接根据特殊角的三角函数值得∠A=30°. 故选A. 4.计算：（ ）﹣1+tan30°•sin60°=（　　） A．﹣ B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。 【详解】（ ）﹣1+tan30°•sin60° =2+ =2+ = ， 故答案为：C． 5.计算： ﹣|2﹣2 |+2tan45°=　 　． 【答案】4 【分析】先算开方、绝对值、代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式，即可解答， 【详解】原式=2 ﹣（2 ﹣2）+2×1 =2 ﹣2 +2+2 =4， 故答案为：4． 6.计算：2sin30°+（﹣1）2026﹣（ ）﹣1=　 　． 【答案】0 【分析】先算乘方运算、代入特殊角的三角函数值，再算乘方运算，然后算加减法。 【详解】解：2sin30°+（﹣1）2026﹣（ ）﹣1 =2× +1﹣2 =1 +1﹣2 =0， 故答案为：0． 7. （﹣ ）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+ =　 　． 【答案】﹣7+ 【分析】根据实数的运算法则先算乘方，再算乘除，后算加减，逐步计算；需注意2cos45°=，把化简为2，零指数幂为1，再化简为最简二次根式. 【详解】解：原式=﹣8﹣ +1+2 =﹣7+ ， 故答案为：﹣7+ 8. （π﹣3.14）0+tan60°=　 　． 【答案】1+ 【分析】根据0指数，特殊锐角三角函数值，化简即可得出答案。 【详解】详解：原式=1+ ． 故答案为：1+ ． 9.若a为锐角，且sin a= ,则cos a=　 　． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可. 【详解】解：∵∠α为锐角，sinα= ， ∴∠α=45°， cosα=cos45°= ． 故答案为： . 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= AB，则tan∠ABC=　 　． 【答案】 【分析】 在Rt△ABC中,由sinB= ，利用特殊角的三角函数值求出∠B的度数，然后求出其正切值即可. 【详解】解：如图所示： ∵∠C=90°，AC= AB， ∴sinB= ， ∴∠B=30°， ∴tan∠ABC= ． 故答案为： ． 11.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝　 　． 【答案】2- 【分析】设AB=AC=2x，根据含30°锐角的直角三角形的性质可得CD= AC=x，利用勾股定理可得AD= x，利用BD=AB-AD可得BD=（2- ）x，由tan ∠BCD =tan15°=即可求出结论. 【详解】解：由已知设AB=AC=2x， ∵∠A=30°，CD⊥AB， ∴CD= AC=x， 则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2， ∴AD= x， ∴BD=AB-AD=2x- x=（2- ）x， ∴tan15°= 故答案为：2- ． 12.计算：|1﹣ |﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2026． 【答案】-1.5 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、有理数的乘方将原式化简，然后计算即可. 【详解】解：|1﹣ |﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2026 = ﹣1﹣2× +0.5﹣1 =﹣1.5 13.计算：（﹣ ）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣ |+tan45° 【答案】 +5 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质将原式化简，然后计算即可. 【详解】解：（﹣ ）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣ |+tan45° =4+1+ ﹣1+1 = +5． 14.计算：（ ）﹣1+（ ﹣1）0+2sin45°+| ﹣2|． 【答案】6 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及零指数幂的性质将原式化简，然后计算即可. 【详解】解：原式=3+1+2× +2﹣ =4+ +2﹣ =6． 题型三：锐角三角函数的性质 1.若锐角满足cos＜，且tan＜，则的范围是（ ） A.30°＜＜45° B.45°＜＜60° C.60°＜＜90° D.30°＜＜60° 【答案】B 【详解】∵为锐角，∴cos＞0， 又∵cos＜，∴0＜cos＜， ∵cos90°＝0，cos45°＝， 根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜＜90°， ∵tan＞0，tan＜，∴0＜tan＜， 又∵tan0°＝0，tan60°＝，∴0°＜＜60°， 综合上述，45°＜＜60°， 故选：B. 2.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ） A.tan70°＜cos70°＜sin70° B.cos70°＜tan70°＜sin70° C.sin70°＜cos70°＜tan70° D.cos70°＜sin70°＜tan70° 【答案】D 【详解】根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1． 又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大， ∴sin70°＞sin20°，即sin70°＞cos70°，∴cos70°＜sin70°＜tan70° 故选D． 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵sin2B+cos2B＝1，cosB＝，∴sinB＝＝， 故选：A. 4.已知是锐角，cos＝，则tan的值是（ ） A. B.2 C.3 D. 【答案】B 【详解】由sin2+cos2＝1，cos＝，得：sin＝＝， ∴tan＝＝2， 故选：B. 5.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝， ∴可设BC＝5k，AB＝13k， ∴AC＝＝12k， ∴tanB＝＝＝， 故选：C. 6.已知：∠A+∠B＝90°，若sinA＝，则cosB＝__________. 【答案】 【详解】由∠A+∠B＝90°，sinA＝，得：cosB＝sinA＝， 故答案为：． 7.若为锐角，且cos＝，则m的取值范围是_________________. 【答案】－＜m＜ 【详解】∵0＜cos＜1， ∴0＜＜1，解得：－＜m＜， 故答案为：－＜m＜． 8.已知：＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________________. 【答案】20°＜∠A＜30° 【详解】∵ ＜cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°． 故答案为：20°＜∠A＜30°． 9.已知：是锐角，且tan＝，则sin+cos＝__________. 【答案】 【详解】由tan＝＝知，如果设a＝3x，则b＝4x， 结合a2+b2＝c2得c＝5x． 所以sin＝＝＝，cos＝＝＝， sin+cos＝+＝， 故答案为：． 10．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： （1）sin2A1＋sin2B1＝　 　；sin2A2＋sin2B2＝　 　；sin2A3＋sin2B3＝　 　； （2）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝　 　； （3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； （4）已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB. 【答案】（1）1；1；1；（2）1；（3）见详解；（4） 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别求出直角三角形两锐角的正弦值，然后代入计算即可； （2）根据（1）中的结论，可猜想sin2A+sin2B=1； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，sinB= ，代入sin2A+sin2B中，可得，利用勾股定理即可求出结论； （4）根据∠A＋∠B＝90°可得sin2A+sin2B=1，据此即可求出结论. 【详解】（1）解：由图可知：sin2A1+sin2B1=（ ）2+（ ）2=1； sin2A2+sin2B2=（ ）2+（ ）2=1； sin2A3+sin2B3=（ ）2+（ ）2=1．（2）观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1． （2）1 （3）解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． ∵sinA= ，sinB= ， ∴sin2A+sin2B= ， ∵∠C=90°， ∴a2+b2=c2， ∴sin2A+sin2B=1 （4）解：∵ ∠A＋∠B＝90° ，∴∠C=90° ∵sin2A+sin2B=1， ∴sinB==. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数的定义和性质 题型一 三角函数的定义 题型二 特殊角度的三角函数 题型三 锐角三角函数的性质 题型一：三角函数的定义 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（　　） A．3 B． C． D． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列错误的是（　　） A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 D．tan B＝ 3.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则AB的长是（　　） A．2 B．8 C．2 D．4 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（　　） A．2+ B．2 C．3+ D．3 5.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A． B．1 C． D． 6.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝________. 8.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C= ．则点B′点的坐标为　 　． 9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为　 　. 10.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=　 　. 11.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，D是AC上一点，若tan∠DBC= ，求AD的长． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC= ，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长. 题型二：特殊角度的三角函数 1.tan45°的值为（　　） A． B．1 C． D． 2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA等于（　　） A． B． C． D．1 3.已知，则锐角A的度数是 （　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4.计算：（ ）﹣1+tan30°•sin60°=（　　） A．﹣ B．2 C． D． 5.计算： ﹣|2﹣2 |+2tan45°=　 　． 6.计算：2sin30°+（﹣1）2026﹣（ ）﹣1=　 　． 7. （﹣ ）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+ =　 　． 8. （π﹣3.14）0+tan60°=　 　． 9.若a为锐角，且sin a= ,则cos a=　 　． 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= AB，则tan∠ABC=　 　． 11.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝　 　． 12.计算：|1﹣ |﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2026． 13.计算：（﹣ ）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣ |+tan45° 14.计算：（ ）﹣1+（ ﹣1）0+2sin45°+| ﹣2|． 题型三：锐角三角函数的性质 1.若锐角满足cos＜，且tan＜，则的范围是（ ） A.30°＜＜45° B.45°＜＜60° C.60°＜＜90° D.30°＜＜60° 2.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ） A.tan70°＜cos70°＜sin70° B.cos70°＜tan70°＜sin70° C.sin70°＜cos70°＜tan70° D.cos70°＜sin70°＜tan70° 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinB的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知是锐角，cos＝，则tan的值是（ ） A. B.2 C.3 D. 5.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（ ） A. B. C. D. 6.已知：∠A+∠B＝90°，若sinA＝，则cosB＝__________. 7.若为锐角，且cos＝，则m的取值范围是_________________. 8.已知：＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________________. 9.已知：是锐角，且tan＝，则sin+cos＝__________. 10．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： （1）sin2A1＋sin2B1＝　 　；sin2A2＋sin2B2＝　 　；sin2A3＋sin2B3＝　 　； （2）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝　 　； （3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； （4）已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $