精品解析：江苏常州市北郊高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段调研数学试题

26～2027学年第一学期十月阶段调研高三数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：张敏 2026年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ） A. 身高越高，体重越重 B. 身高越高，体重越轻 C. 身高与体重成正相关 D. 身高与体重成负相关 2. 已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则“”是“向量共线”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各项表述正确的是（   ） A. 若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 表示，两事件恰有一个发生 10. 如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为定值 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 若，则平面与平面夹角的余弦值为 11. 函数与函数的定义域均为，若存在非零实数使得在定义域内满足，则称满足“性质”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足“性质” B. 若，则满足“性质” C. 若满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 D. 若满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则_________． 13. 用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 14. 已知函数，，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数b的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间； （2）若，求的值． 16. 某装备制造企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位）． （1）现有旧设备生产的零件共个，其中直径大于的有个．现从这个零件中随机抽取个，记表示取出的零件中直径不大于的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率． 参考数据：，，且时，标准正态分布函数表如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0.1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0.2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0.3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0.4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0.5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 17. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 18. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 19. 将1，2，…，（）这个正整数随机分为和两组，每组各个数，所有分法等可能．记组中最小数为，组中最小数为，． （1）当时，求，； （2）当时，求关于的表达式； （3）求的数学期望关于的表达式，并证明． 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26～2027学年第一学期十月阶段调研高三数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：张敏 2026年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ） A. 身高越高，体重越重 B. 身高越高，体重越轻 C. 身高与体重成正相关 D. 身高与体重成负相关 【答案】C 【解析】 【详解】由散点图可知身高与体重成正相关． 2. 已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，. 复数在复平面内对应的点为，对应的象限为第二象限. 3. 已知向量，则“”是“向量共线”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以向量. 当时，，所以，则向量共线成立. 由向量共线，得，解得， 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件． 4. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的投影公式即可求解. 【详解】向量在向量方向上的投影向量. 5. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在上是增函数， 故内层函数在上是减函数且成立， 只需对称轴且， 解得：，即. 6. 已知，，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由整理得， 由， 当且仅当，即时取等，即的最小值为． 7. 正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线的方向向量，联立方程求解公垂线方向向量，再套用异面直线距离公式，计算连接两直线上点的向量在公垂向量上投影的绝对值得到距离． 【详解】设正四棱锥的底面中心为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，则 ， 为侧棱的中点，故， 则， 设异面直线与的公垂线方向向量为，则 ，令，则， 故异面直线与的距离． 8. 在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦和正弦定理可得，又因为，所以以为原点，在轴上，建立平面直角坐标系，并设，，可得的坐标，利用向量的数量积求解即可. 【详解】因为， 由余弦定理得， 代入得， 即， 因为三角形是钝角三角形，所以， 所以， 由正弦定理， 代入得，即， 又因为，得， 以为原点，在轴上，建立平面直角坐标系： 设，， 所以重心， 由 ， 所以， 代入， 得 所以， 解得或， 对应，不是钝角，舍去， 因此 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各项表述正确的是（   ） A. 若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 表示，两事件恰有一个发生 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，任意两个事件的通用加法公式为，故A错误； 对于B，互斥事件的概率和满足，故B错误； 对于C，事件与相互独立的定义就是两事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积， 即，故C正确； 对于D，表示发生、不发生，表示不发生、发生， 二者的并集就是两事件恰有一个发生，故D正确． 10. 如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为定值 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 若，则平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以底面圆心为原点，建立空间直角坐标系，设，得，对于A，易得即为三棱锥外接球的球心，故表面积定值，故A正确；对于B，由已知得，可得平面，则，在中，由，可知不可能成立，故B错误；对于C，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，利用直线的方向向量为，求出再计算出取得最大值；对于D，平面的一个法向量为，当时，不妨设点的坐标为，求得平面的法向量，再求得平面与平面夹角的余弦值即可. 【详解】以底面圆心为坐标原点， 以直线､底面内垂直于的直线､直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设且，由为的中点，得. 对于A，易知， 即点到三棱锥的四个顶点的距离相等， 故点即为三棱锥外接球的球心，外接球半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积，为定值，故A正确； 对于B，若直线平面，则，易知， 所以平面，则，在中， 由，可知不可能成立， 所以不存在点，使得直线平面，故B错误； 对于C，易知平面的一个法向量为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当，即或时，对应点的坐标为，符合题意， 此时取得最大值，故C正确； 对于D，平面的一个法向量为， 当时，不妨设点的坐标为， 则，； 设平面的法向量为， 则，令，得， 即平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D正确. 11. 函数与函数的定义域均为，若存在非零实数使得在定义域内满足，则称满足“性质”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足“性质” B. 若，则满足“性质” C. 若满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 D. 若满足“性质”，且，则存在零点的充要条件为不存在极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】由定义判断A，B；举反例判断C；由题意可得，，利用导数及充要条件的定义求解后即可判断D. 【详解】对于A，因为，则 ， 又， 当 ，解得，所以满足“性质”，故A正确； 对于B，由，则， 若满足“性质”，则满足， 解得不是定值， 即不存在非零实数使得在定义域内满足， 所以不满足“性质”，故B错误； 对于C：若满足“性质”，且， 所以存在非零实数，使得 ， 取， 则 ，满足条件， 但同时存在零点与极值点，故C错误； 对于D：若满足“性质”，且， 存在非零实数，使得， 将替换为，可得， 联立方程组， 当时，方程组无解； 当时，， 若函数存在零点，则方程有解， 即有解，则满足且， 又由，令，可得 ，此时方程无解， 所以函数没有极值点； 反之：若函数有极值点，则方程有解，即 有解， 因为 且，所以，可得且， 令，可得 ，此时方程无解，即函数没有零点， 所以函数存在零点的充要条件为不存在极值点，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则_________． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据集合相等及对数运算求出，继而即可求解. 【详解】由，可得或， 解得或， 所以或0. 13. 用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则， 所以，则． 故与事件至少有一个发生的概率为. 14. 已知函数，，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数b的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据公切点这个条件，通过斜率相等和点在曲线上，找到关于的函数关系求导，求函数的最大值. 【详解】设公共点的横坐标为 ，因 的定义域为 求导： 两曲线在公共点处切线相同，即 ，得 两边乘 整理： ，即 因 ，故 ，舍去 ，得 所以公共点的横坐标恰为 ，公共点为 公共点处函数值相等，即 整理得 。 设： 令 ，因 ，只需 ，即 ，故 当 时， 单调递增 当 时， 单调递减 在 处取得最大值 【点睛】本题考查了公切线双条件，导数值相等确定切点关系，函数值相等确定参数表达式，两式并用是＂公共点处切线相同＂问题的通法。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间； （2）若，求的值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再利用平移变换求得的解析式，进而利用整体法求得在区间上的单调递增区间； （2）利用已知可求得，化为齐次式，进而利用齐次式化为正切的代数式可求值. 【小问1详解】 因为将函数的图象向右平移个单位得到， 所以， 由，得， 又，所以的单调递增区间为和； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 16. 某装备制造企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位）． （1）现有旧设备生产的零件共个，其中直径大于的有个．现从这个零件中随机抽取个，记表示取出的零件中直径不大于的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率． 参考数据：，，且时，标准正态分布函数表如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0.1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0.2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0.3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0.4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0.5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的概率分布可得的概率分布，再利用期望的计算公式求. （2）利用正态分布的性质，先求，再结合独立事件、对立事件的计算公式求值. 【小问1详解】 现有零件有7个，直径不大于的零件有3个， 所以的可能取值为0,1,2,3， 且，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且数学期望. 【小问2详解】 因为，所以，. 所以. 记事件“至少有一个零件直径大于”，则事件“10个零件直径都不大于”， 则，所以. 17. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：点，， ，切线斜率. 切线点斜式：. ，得 . 要证点在轴下方,即证. 构造函数 ， 则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ， 综上，时，恒有，即点纵坐标小于 0， 故点在轴下方，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，由极小值点处导数为0求出参数，再检验； （2）求导后对参数分类讨论，判断导数正负，得到函数单调性； （3）求出切线方程，得到点纵坐标，构造函数证明纵坐标恒小于 0. 【小问1详解】 ，定义域为，求导得. 因为在处取得极小值，则，，解得. 检验：当时，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故是极小值点，符合题意. 【小问2详解】 . 当时，，故恒成立， 所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 所以时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】方法归纳：（1）可导函数极值点处导数等于0，但要检验左右导数符号； （2）含参导数问题，按参数范围分类讨论导函数符号； （3）切线交坐标轴问题，代入坐标轴条件求出交点坐标，转化为不等式证明，常用构造函数求最值. 18. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） （2）存在，正弦值最大值为 【解析】 【分析】（1）（i）由平面平面，得 平面，推出； （ii）方法1（坐标法）：建系写出所有点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式算出距离；方法2（等体积法）：，分别求出底面面积、高，解方程得到点到平面距离； （2）求出锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【小问1详解】 （i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以， 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； 【小问2详解】 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 19. 将1，2，…，（）这个正整数随机分为和两组，每组各个数，所有分法等可能．记组中最小数为，组中最小数为，． （1）当时，求，； （2）当时，求关于的表达式； （3）求的数学期望关于的表达式，并证明． 参考公式： 【答案】（1）, （2） （3）, 证明不等式： 由于,故 则,所以 即（当且仅当时取等号） 【解析】 【分析】根据题意把各个题目条件表示出来，进而求解。 【小问1详解】 当时,将1，2，3，4随机分为两组各2个数，总分法为种, 表示1在A组，A组剩余1个数从2，3，4三个数中选取，有种，则 等价于一组最小数为1，另一组最小数为2. 若1在A组、2在B组：A组从3，4两个数中选一个，有种 若1在B组、2在A组：同理有2种 则. 【小问2详解】 等价于：1组最小数为1，另一组最小数为4，同时2，3必须与1在同一组，4在另一组. 含1的组已有1，2，3共3个数，还需从剩余个数中选个，选法为 1在A组或者B组，即一共有种, 总分法有,因此 且, 【小问3详解】 的取值范围为,对任意的,与（2）同理 由组合数的性质得 因此 由参考公式代入可得 又因为,代入化简 证明略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $