专题11 特殊三角形常考的综合计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题11 特殊三角形常考的综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 直角三角形中两个锐角互余的应用 题型02 含30°角的直角三角形的性质综合 题型03 等腰三角形中“三线合一”综合 题型04 等腰三角形的性质与判定综合 题型05 等边三角形的性质与判定综合 题型06 等腰三角形中动点问题 题型07 等腰三角形中分类讨论问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01：等腰三角形的性质和判定 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2） “等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【针对训练】 例1．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 【变式训练】将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【思路引导】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明： 沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 知识点02：等边三角形及其性质和判定 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （3） 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【针对训练】 例2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】如图，在等边三角形中，点分别在边和边上（点不与点重合，点不与点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【针对训练】 例3．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 【变式训练】已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【思路引导】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． （2）证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 典例精析 题型1：直角三角形中两个锐角互余的应用 【例1】对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①，推出，得到是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出是直角三角形；③，推出，得到是直角三角形；④，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ②∵， 设， ∴， ∴是直角三角形；故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定是直角三角形的条件有①②③； 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键． 【变式1-1】的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ，， 不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ， 即为直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 即为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 题型2：含30°角的直角三角形的性质综合 【例1】如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中，，       故选：B． 【变式1-1】如图，，，若，则的长度为 （      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线定理作出辅助线． 过点作，由题意得出，即可得出，再证明为角平分线，则． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即为的角平分线， ， ∴， 故选：B 题型3：等腰三角形中“三线合一”综合 【例1】如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形底边三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=4， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=2， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=2.5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=2+2.5+2.5=7． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形底边三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键 ． 先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴, ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型4：等腰三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用及等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于， 为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ， ， 故答案为：B． 【变式1-1】如图，和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，证明即可求出结论． 【详解】解：和均为等腰直角三角形， ， ，即， ， ， 故选：A． 题型5：等边三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，D是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，然后得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 题型6：等腰三角形中动点问题 【例1】如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2． （1）求证： BD=DC； （2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒： ①当______时，PD平分∠BDC； ②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①3s；②1.5s或s 【分析】（1）由平行线的性质，即可得到∠DBC=∠DCB，进而得出DB=DC； （2）①依据△DCB是等腰三角形，可得当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC，即可得到BP=BC，可得t=×6=3（s）； ②分两种情况讨论：①当点Q在AC上，PC=QC时，②当点Q在AE上，且QP=QC时，依据等腰三角形的性质，即可得到t的值． 【详解】解：（1）∵AE∥BC， ∴∠1=∠DBC，∠2=∠DCB， 又∵∠1=∠2， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC； （2）①由（1）知△DCB是等腰三角形， ∴当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC， ∴BP=BC， 即t=×6=3（s）； 故答案为：3s； ②分两种情况讨论： 当点Q在AC上，PC=QC时， 则6-t=3t， 解得t=1.5； 当点Q在AE上，且QP=QC时，AQ=PC， 即3t-6=（6-t）， 解得t=； 综上所述，t为1.5s或s时，△PCQ是等腰三角形． 故答案为：1.5s或s． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质的运用，解题时注意：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【变式1-1】如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，点D为的中点， ，， 设点P、Q的运动时间为， ， ， 当时．则有：，， ， 解得：， ， 故点Q的运动速度为：； 当时，则，， ， ， ． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或， 故选：D． 题型7：等腰三角形中分类讨论问题 【例1】如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； (2)如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)当点在上方时，；当点在与之间时，． 【分析】（1）证即可得解； （2）见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （3）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【详解】（1）解：在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)当第秒或第秒时，为直角三角形 【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴． （2）的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． （3）由题意知， ①当时， ∵， ∴，得，解得； ②当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】三线合一 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质． 2．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 5．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理及对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、根据等角对等边求边长 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，则的度数为________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】根据等边对等角以及三角形内角和定理，可得，接着利用平角求得，最后再次根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 【答案】等边 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定 【分析】根据非负数的性质可得的关系，从而判断三角形形状． 【详解】解：由题意，得， 所以， 所以是等边三角形． 9．如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】利用三线合一性质得到，然后根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 10．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 【答案】(1)解：如图，过点D，作，交于E； (2)证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）过点D，作交于； （2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】由等腰三角形性质求出，再根据是的垂直平分线得出，求出，即可求出结论． 【详解】解：在等腰中，， ， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ． 12．学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、大（小）边对大（小）角定理 【详解】解：已知，，， 若，由大角对大边得，此时为锐角，存在两种不同的三角形满足条件（为锐角或钝角），均符合，无法判定全等； 若，则，故，得，结合，由可判定全等； 若，由大角对大边得，若为钝角则三角形内角和超过，故唯一，三角形唯一，可判定全等； 若，则，为直角三角形，满足条件的三角形唯一，可判定全等． 13．如图所示，与均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连结交于点G，连结交于点F，连结，、交于点P，连结．有下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有几个？（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】先证明，得到，，，再证明，得到，则①正确； 在线段上取一点，使，连接，证明，得到是等边三角形，则，故②正确；再结合，得到，故③正确；根据，，得到，则，故④正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 在线段上取一点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的序号为①②③④． 14．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】设，，求出，继而得到，，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，， ， 由题意得，， ，， ，， ． 15．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 16．如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， 如图，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 即的最小值是． 17．如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为_______ 度． 【答案】30 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质得到，结合题意利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角，三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．如图，在等腰中，，垂直平分，则的度数等于_____． 【答案】 /度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用线段垂直平分线的性质得出，进而得到，由于点在上，即为，即可求解. 【详解】解： ， ∴， ∵垂直平分 ， ∴， ∴， ∵点在上 ， ∴. 19．如图，，，平分，，交的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是_________．（填序号） 【答案】①③⑤ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据题意证明，得到，即可判断①；证明，得到，若，判断出是等边三角形，得出，然后求出，即可判断②④；由全等三角形的性质得到，然后等量代换即可判断③；由全等三角形的性质得到，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴，故①正确； ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 若 ∴是等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴，，故②④错误； ∵ ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴，即 ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①③⑤． 20．如图，在中，，．根据尺规作图痕迹，可得的大小为_________． 【答案】/20度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角 【详解】解：根据尺规作图痕迹，可得在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．已知，点，分别是两边，上的两点，将沿折叠，点落在平面内点处． (1)如图1，当时，___________． (2)当直线时，求的度数； (3)当折叠后与内部的重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，求解即可． （2）利用分类思想，根据垂直的意义，折叠的性质，解答即可； （3）利用分类思想，等腰三角形的定义，折叠的性质，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得沿折叠，点落在平面内点处， ， ，， ， ． （2）解：如图所示，于点，根据题意，得，， ， 根据折叠的性质，得， ； 如图所示，于点，根据题意，得， ， 根据折叠的性质，得，， ； ， ． 综上，的度数为或； （3）解：如图，设与的交点为，折叠后与内部的重叠部分为，且， 则，， ， ， 解得； 如图，设与的交点为，折叠后与内部的重叠部分为，且， 则，， ， ， ， 解得； 当时，则，， ， ， 矛盾，故此情况不存在； 如图，当时，折叠后与内部的重叠部分为， ； 如图，设与的交点为，折叠后与内部的重叠部分为， 当时， 则，， ， ， ， 解得； ； 当时， 则，， ， ， ， 解得； ； 当时，则，， ， ， 矛盾，故此情况不存在； 综上所述，符合要求的的度数为或或或或． 22．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于点，交于点，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】结论①：设，，利用三角形外角性质，表示出，，可得，因此不成立． 结论②：由平分，根据角平分线性质，点到、距离相等，三角形面积之比等于底边长之比，得到，不一定等于，故此结论不一定正确． 结论③：已知，平分外角，是等腰三角形，是顶角平分线，根据等腰三角形三线合一，既是高也是中线，所以垂直平分，结论一定成立． 结论④：平分，平分外角，可得平分外角，由，利用平行线内错角相等得到，等量代换得，根据等角对等边，证出，结论一定成立． 【详解】解：验证①：设 ，，则 ． 在中，， ∴， 故①不正确； 验证②：∵平分， ∴设点到、的距离均为，则 故 ，而 不一定等于 ，故②不一定正确； 验证③：，且平分，由等腰三角形三线合一，得垂直平分，故③一定成立． 验证④：平分，平分外角 平分外角 ， ， ， 故④一定成立． 23．如图，在中，，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】先证明，则可得为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边大于直角边，即可判断①；延长交于，根据三角形内角和定理证明，即可判断②；通过三角形的外角性质即可判断③；最后根据等腰三角形的判定证明④． 【详解】解：如图，延长交于， ∵分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵在中，， ∴，故①错误； ， ， ， ， ∴， ∴，故②正确； 由三角形外角性质可得，，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有2个． 24．如图，的和的外角角平分线交于点，若，，则的度数是___________ 【答案】/82度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】延长至，使，连接，，利用“”可得，从而，设，根据等腰三角形和角平分线的定义，易得，，，再根据角平分线的性质和判定，可得平分，进而可求，最后利用三角形内角和定理，列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，，交的延长线于点， ， ， ， 平分，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 设， 是的的外角角平分线， ， ， ， ， 的和的外角角平分线交于点， 点到直线、和的距离相等， 平分， ， ， ， 解得， 的度数是． 25．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作交于点，作于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论是________． 【答案】①②③ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】①证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得是等腰直角三角形，则，进而得到；②根据，，，可依据“”判定和全等得；③先证明得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得；④根据点在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，故③正确； ∵点在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故④不正确， 故正确结论的是①②③． 26．四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【答案】(1) (2)证明：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分． 作于点，作交的延长线于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵、、三点共线，、、三点共线， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】（1）由知、、都是等腰三角形，用“等边对等角”把三个内角都用同一个字母表示，再作差求出； （2）先用“等边对等角”求出，结合已知条件得，从而平分；再作、，由角平分线的性质得，依次证明、，把结论转化为角的关系； （3）在上取点使，先证得，再证得，从而把转化为． 【详解】（1）解：设． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，且， ∴． ∴． （2）略 （3）解：在上取一点，使． ∵，，， ∴， ∴，． ∵在上，且， ∴， ∴． ∵在上，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在上，在的延长线上， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点、、在同一条直线上，且点在、之间， ∴． 【点睛】本题综合考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质：解题关键是反复使用“等边对等角”把已知的角条件转化为相等的角——先得平分，由角平分线的性质得到，再配合证出两组全等三角形，把逐步转化；求时，通过把转化为，再证，最终把所求线段转化为已知线段之和（）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 特殊三角形常考的综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 直角三角形中两个锐角互余的应用 题型02 含30°角的直角三角形的性质综合 题型03 等腰三角形中“三线合一”综合 题型04 等腰三角形的性质与判定综合 题型05 等边三角形的性质与判定综合 题型06 等腰三角形中动点问题 题型07 等腰三角形中分类讨论问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01：等腰三角形的性质和判定 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2） “等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【针对训练】 例1．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【变式训练】将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 知识点02：等边三角形及其性质和判定 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （3） 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【针对训练】 例2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在等边三角形中，点分别在边和边上（点不与点重合，点不与点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围． 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【针对训练】 例3．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【变式训练】已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 典例精析 题型1：直角三角形中两个锐角互余的应用 【例1】对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1-1】的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型2：含30°角的直角三角形的性质综合 【例1】如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【变式1-1】如图，，，若，则的长度为 （      ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型3：等腰三角形中“三线合一”综合 【例1】如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1-1】如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型4：等腰三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-1】如图，和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型5：等边三角形的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，D是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型6：等腰三角形中动点问题 【例1】如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2． （1）求证： BD=DC； （2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒： ①当______时，PD平分∠BDC； ②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形． 【变式1-1】如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 题型7：等腰三角形中分类讨论问题 【例1】如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； (2)如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 【变式1-1】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，，则的度数为________． 8．已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 9．如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____． 10．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 11．如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．学习了三角形全等的判定方法后，我们知道满足“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“”）的两个三角形不一定全等．那么在和中，，，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 13．如图所示，与均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连结交于点G，连结交于点F，连结，、交于点P，连结．有下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有几个？（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 15．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 17．如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为_______ 度． 18．如图，在等腰中，，垂直平分，则的度数等于_____． 19．如图，，，平分，，交的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是_________．（填序号） 20．如图，在中，，．根据尺规作图痕迹，可得的大小为_________． 21．已知，点，分别是两边，上的两点，将沿折叠，点落在平面内点处． (1)如图1，当时，___________． (2)当直线时，求的度数； (3)当折叠后与内部的重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 22．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于点，交于点，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 23．如图，在中，，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，的和的外角角平分线交于点，若，，则的度数是___________ 25．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作交于点，作于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论是________． 26．四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $