16.3.2 完全平方公式（第1课时）课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 1 经验唤醒 相等 有一块正方形农田，边长为 a 米，现在把边长加长 b 米，恰好分成四块地，用来种不同的庄稼（见图）. 这块农田的总面积，你能想出几种不同的表示办法？ a b b a 整体看：总面积 = 分块算：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 旧知铺垫 1．多项式乘多项式，就是拿其中一个式子的每一项________另一个式子的________ ，再把它们的________. 乘 每一项 积相加 2．动手试算下面各式： (1)(x＋1)2＝　 　； (2)(x－1)2＝　 　； (3)(m＋n)2＝　 　； (4)(m－n)2＝　 　. x2＋2x＋1 x2－2x＋1 m2＋2mn＋n2 m2－2mn＋n2 （1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = ______________； （2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = ___________ ； （3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = ____________ ； （4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = ____________. p2 + 2p + 1 m + 2 求下面几组式子的积. 探 究 m + 2 m2 + 4m + 4 p – 1 p – 1 p2 – 2p + 1 m – 2 m – 2 m2 – 4m + 4 猜想验证 5 （1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1； （2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4； （3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1； （4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1. p2 + 2·p·1 + 12 m2 + 2·m·2 + 22 p2 – 2·p·1 + 12 m2 – 2·m·2 + 22 它们都是形如 (a ± b)2 的式子相乘 等号右边的首尾两项，恰好是左边两个数的平方；而正中间那项，是这两个数乘积的2倍 大家有什么发现？ 猜一猜： (a + b)2 =____________ (a – b)2 =____________ a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 7 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 两数和(或差)的平方，就等于两数的平方和，再添(或减去)它们积的2倍. 完全平方公式： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 其实就是 (a+b)·(p+q) 里 p = a，q = b 时的一种特例. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 头平方，尾平方，乘积的2倍在中央 积是二次三项式 其中两项是两数各自的平方之和 余下那项是两数积的2倍，符号与两数间符号一致 式里的字母 a、b 可以是数、单项式或多项式 这两个公式的结构有何特征？ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 观 察 (a±b)2 a b a2 ± 2ab + b2 (1+x)2 (−3+a)2 (1+a)2 (0.3x−1)2 1 x 3 a 12 + 2x + x2 a2 – 2a·3 + 32 a 1 12 + 2a + a2 0.3x 1 (0.3x)2 – 2×(0.3x)×1 + 12 试一试： 1 + 2x + x2 a2 – 6a + 9 1 + 2a + a2 0.09x2 – 0.6x + 1 动笔练 10 两幅图形的面积，能用来验证完全平方公式吗？ a a b b a b b a ab b2 a2 ab ab b2 ab 思 考 直接算：S = 分块算：S = (a + b)2 a2 + 2ab + b2 S = S = (a – b)2 a2 – 2ab + b2 试算： 解：（1）原式 = 72 + 2·7·a + a2 （1）(7 + a)2； = a2 + 14a + 49 （2）原式 = (–3a)2 + 2·(–3a)·2 + 22 = 9a2 – 12a + 4 也可以看成(2 – 3a)2 （2）(–3a + 2)2 . （2）原式 = 22 – 2×3a×2 + 3a2 = 9a2 – 12a + 4 算一算 2.请用完全平方公式来算：　 (1) 1022； (2) 992 . 解：(1) 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2×100×2 + 22 = 10000 + 400 + 4 = 10404 (2) 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2×100×1 + 12 = 10000 – 200 + 1 = 9801 像这样灵活拆数，套用完全平方公式，算起来又快又准. （1）(a + b)2 和 (– a – b)2 值一样吗？ (–a – b)2 = [–(a + b)]2 = (a + b)2 (–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 或 （2）(a – b)2 跟 (b – a)2 是不是相等？ (a – b)2 = [–(b – a)]2 = (b – a)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 或 = (b – a)2 （3）(a – b)2 同 a2 – b2 能直接画等号吗？ (a – b)2 = (a – b)(a – b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) 相等 相等 不相等 观 察 (–4x + 6y)2 . = (6y)2 – 2·6y·4x + (4x)2 = 36y2 – 48xy + 16x2 解：原式 = (6y – 4x)2 试一试 拓展阅读 杨辉三角 (单击播放) 借助上面的三角形，请写出 (a + b)6 的展开式. a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 练一练 1. 下面各式的计算，正确的是（ ） A. (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1 B. = C. (x + y)2 = x2 + y2 D. (a – b)2 = b2 – a2 A 当堂检测 2.下面这些运算做得对不对？ 若不对，该怎么改？ （1）(a + b)2 ＝ a2 + b2； （2）(a – b)2 ＝a2 – ab + b2. 原式 = a2 + 2ab + b2 原式 = a2 – 2ab + b2 3. 请用完全平方公式求： （1）(x + 6)2； （2）(y – 5)2；（3）(–2x + 5)2； 解：(1) (x + 6)2 = x2 + 2·x·6 + 62 (2) (y – 5)2 = y2 – 2·y·5 + 52 = x2 + 12x + 36 = y2 – 10y + 25 (3) (–2x + 5)2 = 52 – 2·2x·5 + (2x)2 = 4x2 – 20x + 25 = (5 – 2x)2 4. 用完全平方公式算： （1）982； （2）70.52 . 解：(1) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2×100×2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604 (2) 70.52 = (70 + 0.5)2 = 702 + 2×70×0.5 + 0.52 = 4900 + 70 + 0.25 = 4970.25 完全平方公式 两数和(或差)的平方，展开得到两数的平方和，带上(或减去)它们积的2倍. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 要点回放 课后完成学生用书上对应练习 作业指南 $