17.1 用提公因式法分解因式（知识清单，知识点3&易错&7题型）数学新教材人教版八年级上册

第十七章 因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 🔷知识点一　 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解． ⚠️特别提醒 1.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 2．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 🔷知识点二　  公因式 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. ⚠️特别提醒 公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母--各项含有的相同字母； ③指数--相同字母的最低次数. 🔷知识点三　  提公因式法 1.定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 2.提公因式法的步骤： （1）确定公因式 ①先确定系数：取各项系数的最大公约数； ②再确定字母和字母的指数：取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的. （2）提取公因式：用多项式每一项除以公因式，把公因式写在括号外面，括号内写上各项除以公因式得到的式子。 （3）检查结果：看括号内是否还有公因式，确认分解彻底。 ⚠️特别提醒 ①提取公因式后各因式应该是最简形式，所提的公因式必须是最大公因式，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的． 易错点 1 提取公因式时符号错误 错例：分解 -10a³-35a²+15a 错解：-5a(2a²-7a+3) 正解：-5a(2a²+7a-3) 错因：当提取的公因式带有负号时，括号内各项必须全部变号。学生常因粗心只变了部分项的符号，或忘记”负负得正”。 规避方法：提取负公因式后，立即对括号内每一项进行”变号检查”。可用乘法逆运算验证：将公因式乘回括号内，看是否等于原多项式。 易错点 2 提后丢项 错例：分解 3x²y+6x³y²+3xy 错解：3xy(x+2x²y) 正解：3xy(x+2x²y+1) 错因：当多项式的某一项恰好等于公因式时，提取后该项位置应留下数字 1。学生常误以为该项被”提走”而直接丢弃。 规避方法：提公因式后，检查括号内多项式的项数是否与原多项式一致。若某项被完全提取，务必补上 “+1” 或 “-1”。 易错点 3 公因式提取不彻底 错例：分解 2x²-4x+6x 错解：2x(x-2+3) 正解：2x(x+1) 错因：只完成了提取公因式的步骤，未对括号内的多项式进行化简和继续分解。因式分解要求必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 规避方法：提公因式只是第一步。提取后必须检查括号内：① 是否有同类项需合并；② 是否还能继续提公因式或用公式法分解。 题型一：因式分解的概念 📝方法技巧 1.左边一定是多项式（不能是单项式、等式） 2. 右边必须是整式相乘（整式：单项式、多项式；分母不能含字母） 3. 等号左右两边相等（恒等变形） 4. 结果要分解到不能再分解为止（在指定数域内，初中一般有理数范围） 1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是单项式乘以多项式运算，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、是因式分解，故该选项正确，符合题意； 、左右两边不相等，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、不是因式分解，故该选项错误，不符合题意． 2．下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； B、该变形不是恒等变形，且未把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意； D、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意． 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 题型二：已知因式分解的结果求参数 📝方法技巧 因式分解是恒等变形：左右两个多项式相等 ⇨ 对应项的系数相等（待定系数法） 1．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 2．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 3．若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 题型三：公因式的概念 📝方法技巧 1.先看每一项； 2. 分开看系数、相同字母、次数； 3. 合并写出公因式； 4. 检验：公因式能整除多项式每一项 1．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 2．对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式中，系数2与8的最大公约数为2，两项共有的字母为，的最低次数为1，仅在第二项出现，不属于共有字母， ∴应提取的公因式是． 3．整式，，下列结论：①；②A，B的公因式为x．下列判断正确的是（   ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法运算与公因式的概念，先计算①的左边进行验证，再对因式分解后确定公因式，即可判断结论正误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，因此①正确； 对因式分解得 ，， 可得，的公因式为，不是，因此②不正确； 故选：A． 题型四：提公因式法分解因式的认识 1．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项、C选项、D选项的各项均无公因式，不能用提公因式法分解； B选项，有公因式，能用提公因式法分解． 2．因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 3．甲、乙两位同学分解因式的结果分别为和．下列说法正确的是（     ） A．甲错误，乙正确 B．甲乙都正确 C．甲正确，乙错误 D．甲乙都错误 【答案】A 【详解】解： ∵ ， ∴ 甲的分解错误； ∵ ， ∴ 乙的分解正确． 题型五：利用提公因式法求代数式的值 📝方法技巧 先对所求代数式提公因式因式分解，变形为含已知整体的式子，再整体代入求值，一般不单独求字母的值 1．若，，则（     ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法，将已知条件代入计算即可． 【详解】解：， 又，， 代入得原式． 2．已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题利用提公因式法对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】解：∵ 已知， ∴ 整体代入得，原式 ． 3．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型六：利用提公因式法进行数字计算 📝方法技巧 逆用乘法分配律，提取相同数字公因数，简化大数运算，避免硬算 1．下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 2．利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 3．计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 题型七：利用提公因式法进行几何应用 📝方法技巧 几何里常见：面积、周长、边长关系，列式后多项式可以提公因式化简，再代入边长求值。本质还是提公因式 + 整体代入 1．已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的判定，因式分解，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 通过因式分解关系式，讨论可能情况，结合三角形三边关系排除不可能情形，最终确定三角形形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴若，则，为等腰三角形； 若，则，不符合三角形三边关系，舍去； 综上，三角形为等腰三角形， 故选：C． 2．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 3．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第干七章 因式分解 17.1用提公因式法分解因式 知识速记 ◇知识点一 因式分解 定义：把一个 化成 的形式，这种变形叫做这个多项式的 △特别提醒 1.掌握其定义应注意以下几点： (1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要 素缺一不可 (2)因式分解必须是恒等变形： (3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 2.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化 为和差的形式 ◇知识点二 公因式 定义：一个多项式中 的 叫做这个多项式各项的 △特别提醒 公因式的构成一般情况下有三部分： 1/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①系数一各项系数的最大公约数： ②字母-各项含有的相同字母： ③指数-相同字母的最低次数， ◇知识点三 提公因式法 1.定义：一般地，如果多项式的 有公因式，可以把这个公因式提取出来，将 多项式写成 与 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作 。 2.提公因式法的步骤： (1)确定公因式 ①先确定系数：取各项系数的 ②再确定 取各项都含有的 相同字母的指数 (2)提取公因式：用多项式每一项除以公因式，把 写在括号外面，括号内写 (3)检查结果：看括号内是否还有公因式，确认分解彻底。 △特别提醒 ①提取公因式后各因式应该是最简形式，所提的公因式必须是最大公因式，即提取公因式 后，另一个因式中不再含有公因式： ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是 正的. 易错辨析 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点1提取公因式时符号错误 错例：分解-10a3-35a2+15a错解：-5a(2a-7a+3)正解：-5a(2a+7a-3) 错因：当提取的公因式带有负号时，括号内各项必须全部变号。学生常因粗心只变了部分项 的符号，或忘记”负负得正”。 规避方法：提取负公因式后，立即对括号内每一项进行”变号检查”。可用乘法逆运算验证： 将公因式乘回括号内，看是否等于原多项式。 易错点2提后丢项 错例：分解3xy+6xy+3xy错解：3xy(x+2xy)正解：3xyx+2xy+1) 错因：当多项式的某一项恰好等于公因式时，提取后该项位置应留下数字1。学生常误以为 该项被”提走”而直接丢弃。 规避方法：提公因式后，检查括号内多项式的项数是否与原多项式一致。若某项被完全提取， 务必补上“+1”或“-1”。 易错点3公因式提取不彻底 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 错例：分解2x2-4x+6x错解：2x(x-2+3)正解：2xx+1) 错因：只完成了提取公因式的步骤，未对括号内的多项式进行化简和继续分解。因式分解要 求必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 规避方法：提公因式只是第一步。提取后必须检查括号内：①是否有同类项需合并；②是 否还能继续提公因式或用公式法分解。 解题攻略 题型一：因式分解的概念 国方法技巧 1.左边一定是多项式（不能是单项式、等式） 2.右边必须是整式相乘（整式：单项式、多项式：分母不能含字母） 3.等号左右两边相等（恒等变形） 4. 结果要分解到不能再分解为止 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是() A.ylx-yl=x-y B.X-9=x+3x-3到 C.ab+a=a(b+1) D.2ab+ab2-1=ab(2+b-1 2.下列从左到右的变形是因式分解的是() 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x-1川x-2=1-x2-x B.x+xy-1=x(x-yl-1 C.alx-3)+b(3-x]=(x-3lla-bl D.{a-1la+1=a2-1 3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.ala+b)=a2+ab B.d+2a+1=aa+2+1 C.(a+blla-b)=a2-b2 D.2d2-6ab=2ala-3bl 题型二：已知因式分解的结果求参数 ☐方法技巧 因式分解是恒等变形：左右两个多项式相等一对应项的系数相等（待定系数 法) 1.若多项式x+mx-12可分解为x-3)(x+4),则m的值为() A.-1 B.1 C.7 D.-7 2.如果多项式x2+bx+c分解因式的结果是x-3x+2,那么b,c的值分别是() A.3,-2 B.-2,3 C.-1,-6 D.1,-6 3.若多项式x2-ax-2可分解为x-1x-b,则a-b的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 519 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：公因式的概念 方法技巧 1.先看每一项： 2.分开看系数、相同字母、次数： 3.合并写出公因式： 4.检验：公因式能整除多项式每一项 1. 多项式4x2y-6xy2+2xy的公因式是() A.2x B.2y C.2xy D.4xy 2.对多项式2m+8mn进行因式分解，应提取的公因式是() A.4 B.m2 C.2m D.2n 3.整式A=X-1,B=x-X,下列结论：①A·X=B;②A,B的公因式为x.下列判断正确的是() A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确 题型四：提公因式法分解因式的认识 1.下列各式中，能用提公因式法分解因式的是() A.x-y B.2mn+4n C.x2+y2 D.x2-xy+1 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.因式分解：a2-4a=() A.a(a-4) B.(a+2(a-2) c.a(a+2(a-2) D.(a-2}-4 3.甲、乙两位同学分解因式-mn+mn的结果分别为-mnm+n和mnn-m.下列说法正确的是 () A.甲错误，乙正确 B,甲乙都正确 C.甲正确，乙错误 D.甲乙都错误 题型五：利用提公因式法求代数式的值 方法技巧 先对所求代数式提公因式因式分解，变形为含已知整体的式子，再整体代入求 值，一般不单独求字母的值 1.若a+b=4,ab=3,则a2b+ab=() A.6 B.9 C.10 D.12 2.已知a+b=3,3a-2c=2,则9aa+b-6ca+b的值为() A.6 B.8 C.12 D.18 3.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2026的值为() A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：利用提公因式法进行数字计算 国方法技巧 00000000000000000000000000000 1.下列各数中，不能整除99+99的是() A.9 B.99 c.100 D.101 2.利用提取公因式法计算-526+-5021，结果是（） A.-4×52026 B.4×(-52026 C.-4×52027 D.4×(-52027 3.计算32×2024+42×2024+7×2024的结果为() A.2024 B.20240 C.202400 D.2024000 题型七：利用提公因式法进行几何应用 ☐方法技巧 几何里常见：面积、周长、边长关系，列式后多项式可以提公因式化简，再代 入边长求值.本质还是提公因式+整体代入 1.已知三角形的三边。'b'c满足关系式a-b尸+a-b1c=0:则这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知△ABC的三边长a,b,c满足a-cP-bla-c=0则△ABC的形状是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 3.如图，长宽分别为。b的长方形周长为16.面积为12，则ala+b1a-b-ala+b2的值为（） b a A.193 B.-192 C.384 D.-384 919